湖南师大附中2019届高三上学期月考试卷(一)数学(理)(共15页).docx

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1、精选优质文档-倾情为你奉上炎德英才大联考湖南师大附中2019届高三月考试卷(一)数学(理科)命题人：朱海棠贺祝华张天平欧阳普审题：高三数学备课组时量：120分钟 满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设复数zxyi，其中x，y是实数，i是虚数单位，若xi，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于(D)A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【解析】由已知，y(1i)(xi)x1(1x)i，则yx1，且1x0，即x1，y2.所以xyi12i，所对应的点(1，2)位于第四象限，选D.2已知向量a与b的夹角是，且|a|

2、1，|b|4，若(3ab)a，则实数的值为(B)A. B C. D【解析】由已知，(3ab)a0，即3a2ba0，所以320，即，选B.3下列说法中正确的是(C)A若样本数据x1，x2，xn的平均数为5，则样本数据2x11，2x21，2xn1的平均数为10B用系统抽样法从某班按学号抽取5名同学参加某项活动，若抽取的学号为5，16，27，38，49，则该班学生人数可能为60C某种圆环形零件的外径服从正态分布N(4，0.25)(单位：cm)，质检员从某批零件中随机抽取一个，测得其外径为5.6 cm，则这批零件不合格D对某样本通过独立性检验，得知有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，则在该样本吸烟的

3、人群中有95%的人可能患肺病【解析】对于A，若x1，x2，xn的平均数为5，则2x11，2x21，2xn1的平均数为25111，所以说法错误；对于B，由抽取的号码可知样本间隔为11，则对应的人数为11555人若该班学生人数为60，则样本间隔为60512，所以说法错误对于C，因为4，0.5，则(u3，u3)(2.5，5.5)，因为5.6(2.5，5.5)，则这批零件不合格，所以说法正确对于D，有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指对该样本所得结论：“吸烟与患肺病有关系”有95%的正确性，所以说法错误选C.4已知(nN*)的展开式中各项的二项式系数之和为128，则其展开式中含项的系数是(A)A

4、84 B84 C24 D24【解析】由已知，2n128，得n7，所以Tr1C(2x2)7r(1)r27rCx143r.令143r1，得r5，所以展开式中含项的系数为(1)5275C84，选A.5.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)在R上单调递增，若a，b，c成等差数列，且b0，则下列结论正确的是(A)Af(b)0，且f(a)f(c)0 Bf(b)0，且f(a)f(c)0Cf(b)0，且f(a)f(c)0 Df(b)0，且f(a)f(c)0【解析】由已知，f(b)f(0)0.因为ac2b0，则ac，从而f(a)f(c)f(c)，即f(a)f(c)0，选A.6设x为区间2，2内的均匀

5、随机数，则计算机执行下列程序后，输出的y值落在区间内的概率为(C)A. B. C. D.【解析】因为当x2，0时，y2x；当x(0，2时，y2x1(1，5所以当y时，x1，1，其区间长度为2，所求的概率P，选C.7已知函数f(x)sin 2x2sin2x1，给出下列四个结论：(B)函数f(x)的最小正周期是2；函数f(x)在区间上是减函数；函数f(x)的图象关于直线x对称；函数f(x)的图象可由函数ysin 2x的图象向左平移个单位得到其中正确结论的个数是A1 B2 C3 D4【解析】f(x)sin 2xcos 2xsin.因为2，则f(x)的最小正周期T，结论错误当x时，2x，则f(x)在区

6、间上是减函数，结论正确因为f为f(x)的最大值，则f(x)的图象关于直线x对称，结论正确设g(x)sin 2x，则gsin 2sincos 2xf(x)，结论错误，选B.8.已知命题p：若a2且b2，则abab；命题q：x0，使(x1)2x1，则下列命题中为真命题的是(A)Apq B(綈p)q Cp(綈q) D(綈p)(綈q)【解析】若a2且b2，则且，得1，即0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，若双曲线上存在点M满足|MF1|2|MO|2|MF2|，则双曲线的离心率为(C)A6 B3 C. D.【解析】过点M作x轴的垂线，垂足为A，因为|MO|MF2|，则A为OF2的中点，

7、所以|AF2|，|AF1|.设|MF2|m，则|MF1|2m.在RtMAF1中，|MA|24m2c2.在RtMAF2中，|MA|2m2，则4m2c2m2，即3m22c2.因为|MF1|MF2|2a，则m2a，所以3(2a)22c2，即c26a2，所以e，选C.12对于给定的正整数n，设集合Xn1，2，3，n，AXn，且A记I(A)为集合A中的最大元素，当A取遍Xn的所有非空子集时，对应的所有I(A)的和记为S(n)，则S(2 018)(D)A2 01822 0181 B2 01822 0171 C2 01722 0171 D2 01722 0181【解析】对于集合Xn，满足I(A)1的集合A只

8、有1个，即1；满足I(A)2的集合A有2个，即2，1，2；满足I(A)3的集合A有4个，即3，1，3，2，3，1，2，3；满足I(A)n的集合A有2n1个，所以S(n)122322n2n1.由错位相减法，得S(n)(n1)2n1，所以S(2 018)2 01722 0181，选D.二、填空题，本大题共4小题，每小题5分，共20分13已知cos，则sin_【解析】sinsincos 22cos21.14如图，在ABC中，P是线段BD上一点，若m，则实数m的值为_【解析】因为，则4，所以m.因为B，P，D三点共线，则m1，所以m.15已知函数f(x)|2x1|a，若存在实数x1，x2(x1x2)，

9、使得f(x1)f(x2)1，则a的取值范围是_(1，2)_【解析】令f(x)1，则|2x1|a1.据题意，直线ya1与函数y|2x1|的图象两个不同的交点，由图可知，0a11，即1a2.16设数列an的前n项和为Sn，已知a11，且Sn4an(nN*)，则数列an的通项公式是an_【解析】当n2时，anSnSn1an1an，则anan1，即，所以数列是首项为1，公比为的等比数列，则，即an.三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22，23题为选考题，考生根据要求作答(一)必考题：60分17(本小题满分12分)如图，在平面四边形A

10、BCD中，AB4，AD2，BAD60，BCD120.(1)若BC2，求CBD的大小；(2)设BCD的面积为S，求S的取值范围【解析】(1)在ABD中，因为AB4，AD2，BAD60，则BD2AB2AD22ABADcosBAD16424212，所以BD2.(3分)在BCD中，因为BCD120，BC2，BD2，由，得sinCDB，则CDB45.(5分)所以CBD60CDB15.(6分)(2)设CBD，则CDB60.在BCD中，因为4，则BC4sin(60)(8分)所以SBDBCsinCBD4sin(60)sin 4sin 3sin 22sin23sin 2(1cos 2)3sin 2cos 22s

11、in(230).(11分)因为060，则30230150，sin(230)1，所以0S.故S的取值范围是(0，(12分)18(本小题满分12分)如图，在三棱锥PABC中，PA底面ABC，AB2，AC4，BAC120，D为BC的中点(1)求证：ADPB；(2)若二面角APBC的大小为45，求三棱锥PABC的体积【解析】(1)在ABC中，由余弦定理得BC2416224cos 12028，则BC2.因为D为BC的中点，则BDCD.(2分)因为()，则2()2(222)(416224cos 120)3，所以AD.(4分)因为AB2AD2437BD2，则ABAD.(5分)因为PA底面ABC，则PAAD，

12、所以AD平面PAB，从而ADPB.(6分)(2)解法一：因为AD平面PAB，过点A作AEPB，垂足为E，连结DE.则DEPB，所以AED为二面角APBC的平面角(8分)在RtDAE中，由已知，AED45，则AEAD.(9分)在RtPAB中，设PAa，则PB.(10分)因为ABAPPBAE，则2a，即4a23(4a2)，解得a212，所以PAa2.(11分)所以VPABCSABCPA24sin 12024.(12分)解法二：分别以直线AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图设PAa，则点B(2，0，0)，D(0，0)，P(0，0，a)所以(2，0)，(2，0，a)(8分)设平面

13、PBC的法向量为m(x，y，z)，则即取x，则y2，z，所以m.(9分)因为n(0，1，0)为平面PAB的法向量，则|cosm，n|cos 45，即.所以，解得a212，所以PAa2.(11分)所以VPABCSABCPA24sin 12024.(12分)19(本小题满分12分)有甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司底薪80元，送餐员每单抽成4元；乙公司无底薪，40单以内(含40单)的部分送餐员每单抽成6元，超过40单的部分送餐员每单抽成7元现从这两家公司各随机选取一名送餐员，分别记录其50天的送餐单数，得到如下频数分布表：送餐单数3839404142甲公司天数101015105

14、乙公司天数101510105(1)从记录甲公司的50天送餐单数中随机抽取3天，求这3天的送餐单数都不小于40单的概率；(2)假设同一个公司的送餐员一天的送餐单数相同，将频率视为概率，回答下列两个问题：()求乙公司送餐员日工资的分布列和数学期望；()小张打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日均工资的角度考虑，小张应选择哪家公司应聘？说明你的理由【解析】(1)由表知，50天送餐单数中有30天的送餐单数不小于40单，记抽取的3天送餐单数都不小于40为事件A，则P(A).(3分)(2)()设乙公司送餐员的送餐单数为n，日工资为X元，则当n38时，X386228；当n39时，X396234；

15、当n40时，X406240；当n41时，X4067247；当n42时，X40614254.所以X的分布列为X228234240247254p(7分)E228234240247254238.6.(9分)()依题意，甲公司送餐员的日平均送餐单数为380.2390.2400.3410.2420.139.8，(10分)所以甲公司送餐员的日平均工资为80439.8239.2元，(11分)因为238.6b0)的一个焦点与抛物线y24x的焦点重合，且直线yx与圆x2y210x200相切(1)求椭圆C的方程；(2)设斜率为k且不过原点的直线l与椭圆C相交于A、B两点，O为坐标原点，直线OA，OB的斜率分别为k

16、1，k2，若k1，k，k2成等比数列，推断|OA|2|OB|2是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由【解析】(1)因为抛物线y24x的焦点为(，0)，则c，所以a2b23.(2分)因为直线bxay0与圆(x5)2y25相切，则，即a24b2.(4分)解得a24，b21，所以椭圆C的方程是y21.(5分)(2)设直线l的方程为ykxm(m0)，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线l的方程代入椭圆方程，得x24(kxm)24，即(4k21)x28kmx4m240，则x1x2，x1x2.(7分)由已知，k2k1k2，则k2x1x2(kx1m)(kx2m)，即km(x1x2)m20，所

17、以m20，即(14k2)m20.因为m0，则k2，即k，从而x1x22m，x1x22m22.(10分)所以|OA|2|OB|2xyxyx(kx1m)2x(kx2m)2(k21)(xx)2km(x1x2)2m2(k21)(x1x2)22x1x22km(x1x2)2m2.4m22(2m22)2m22m25为定值(12分)21(本小题满分12分)已知函数f(x)exa(x1)，aR，e为自然对数的底数(1)若存在x0(1，)，使f(x0)0，求实数a的取值范围；(2)若f(x)有两个不同零点x1，x2，证明：x1x2x1x2.【解析】(1)解法一：f(x)exa.(1分)若a0，因为ex0，则f(x

18、)0，此时f(x)在R上单调递增当x(1，)时，f(x)f(1)e0，不合题意(2分)若a0，由f(x)0，得exa，即xln a，则f(x)在(ln a，)上单调递增，在(，ln a)上单调递减，所以f(x)minf(ln a)eln aa(ln a1)a(2ln a)(4分)据题意，则ln a2，即ae2，所以a的取值范围是(e2，)(5分)解法二：当x(1，)时，由f(x)0，得ex.(1分)设g(x)(x1)，据题意，当x(1，)时，ag(x)能成立，则ag(x)min.(2分)因为g(x)(x1)，(3分)则当x2时，g(x)0，g(x)单调递增；当1x2时，g(x)0，g(x)单调

19、递减(4分)所以g(x)ming(2)e2，故a的取值范围是(e2，)(5分)(2)由题设，f(x1)f(x2)0，即则ex1ex2a2(x11)(x21)，即ex1x2a2(x1x2x1x21)(7分)要证x1x2x1x2，只要证ex1x2a2，即证x1x22ln a，即证x1e2，且x1ln ax2，从而2ln ax2ln a.因为f(x)在(，ln a)上单调递减，所以只要证f(x1)f(2ln ax2)，即证f(x2)f(2ln ax2)(9分)设h(x)f(x)f(2ln ax)，则h(x)f(x)f(2ln ax)ex2ae2ln axex2a22a0，所以h(x)在R上单调递增因

20、为x2ln a，则h(x2)h(ln a)f(ln a)f(ln a)0，即f(x2)f(2ln ax2)0，即f(x2)f(2ln ax2)，所以原不等式成立(12分)(二)选考题：共10分请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22(本小题满分10分)选修44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C1的极坐标方程为4cos ，直线l的参数方程为(t为参数)(1)求曲线C1的直角坐标方程及直线l的普通方程；(2)若曲线C2的参数方程为(为参数)，点P在曲线C1上，其极角为，点Q为曲线C2上的动点，求

21、线段PQ的中点M到直线l的距离的最大值【解析】(1)由4cos ，得24cos .将2x2y2，xcos 代入，得曲线C1的直角坐标方程为x2y24x0.(3分)由得x2y3，所以直线l的普通方程为x2y30.(5分)(2)由题设，点P的极坐标为，其直角坐标为(2，2)(7分)设点Q(2cos ，sin )，则PQ的中点M的坐标为.(8分)点M到直线l的距离d.所以点M到直线l的距离的最大值为.(10分)23(本小题满分10分)选修45：不等式选讲已知函数f(x)|xa|x2|，其中a为实常数(1)若函数f(x)的最小值为3，求a的值；(2)若当x1，2时，不等式f(x)|x4|恒成立，求a的取值范围【解析】(1)因为f(x)|xa|x2|(xa)(x2)|a2|，(3分)当且仅当(xa)(x2)0时取等号，则f(x)min|a2|.令|a2|3，则a1或a5.(5分)(2)当x1，2时，f(x)|xa|2x，|x4|4x.由f(x)|x4|，得|xa|2x4x，即|xa|2，即2xa2，即x2ax2.所以(x2)maxa(x2)min.(8分)因为函数yx2和yx2在1，2上都是减函数，则当x1时，(x2)max3；当x2时，(x2)min0，所以a的取值范围是3，0(10分)专心-专注-专业