三角函数讲义适用于高三第一轮复习(共21页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上三角函数1同角三角函数的基本关系式： 2诱导公式 （奇变偶不变，符号看象限） 3两角和与差的公式 4倍角公式 5降幂公式 6幅角公式 ，其中8补充公式 ， 知识点睛一三角函数的图象与性质图象最值当且仅当时取到最大值；当且仅当时取到最小值当且仅当时取到最大值；当且仅当时取到最小值周期最小正周期为最小正周期为奇偶性奇函数偶函数单调性在上单调增；在上单调减在上单调增；在上单调减对称轴；对称中心对称轴；对称中心说明：表格中的都是属于，在选择“代表”的区间或点时，先尽量选择离坐标原点近的，再尽量选择正的。正切函数的图象与性质：定义域为，值域为最小正周期是，在上单调增没有对称轴，

2、对称中心为，奇函数二正弦型函数的图象方法一：先平移变换后伸缩变换平移变换：将图象向左或向右平移个单位，得到的图象；伸缩变换：纵坐标不变，将图象上所有点的横坐标缩短或伸长到原来的倍，得到的图象，此时函数周期为；振幅变换：横坐标不变，将图象上所有点的纵坐标伸长或缩短到原来的倍，得到的图象，此时函数的最值分别为、；方法二：先伸缩变换后平移变换伸缩变换：纵坐标不变，将图象上所有点的横坐标缩短或伸长到原来的 倍，所得函数的图象，此时函数的周期为；平移变换：将图象向左或向右平移个单位，得到的图象振幅变换：同上解三角形1解三角形：（1）边的关系：，（或满足：两条较短的边长之和大于较长边）（2）角的关系：，

3、，2正弦定理：，其中为的外接圆半径3余弦定理：在中，角的对边分别为，则有 余弦定理： ， 其变式为：4三角形的面积公式：三角恒等变换例题精讲【例1】考查对三角函数值“知一求二”的掌握（1）已知是第二象限角，且，则_ ,_（2）已知是第四象限角，且，则_，_（3）已知，求、的值点评：利用同角三角函数的基本关系式能够做到三角函数值“知一求二”，但要注意正负符号的确定【例2】已知，计算：（1）； （2）； （3） 点评：如果根据的值求、的值，则需考虑的象限，这里把写成构造关于、的齐次式，解法干净利索【例3】（1）的值是 _ （2）已知，则（3）若记，则_点评：此题主要考查诱导公式的使用，关于诱导公式

4、希望大家牢记：互补的两个角正弦值相等，余弦值、正切值互为相反数，互余的两个角正弦值、余弦值互换。【例4】（1）已知，是第三象限角，求（2）已知，是第四象限角，求、（3）若为第二象限角，且，则_【例5】（1）已知，求的值（2）已知，求的值点评：正切的和差角公式把、联系到一块，任一项都能由另两项表示，如 【例6】（1）若，则 （2）若，则_（3）设，若，则_点评：在三角函数的化简与求值问题中，一要尽量减少三角函数名，二要尽量减少角的个数，这里用到“化切为弦”，即将正切化为我们更熟悉的正弦和余弦【例7】（1）已知是第三象限角，且，则_（2）已知是第三象限角，且，则_【例8】（1）已知，则的值为 _，

5、的值为 （2）已知，且，则的值为_点评：此题主要考查与之间的关系：【例9】若， 求值：（1）；（2）；（3）常见题型一：给角求值在求值过程中，先整体分析三角函数式的特点，如果整体符合三角公式，则整体变形，否则进行局部变换。另外要观察所给角与特殊角之间的关系，要尽量利用三角公式将非特殊角转化为特殊角。【例1】求值：（1）_； （2）_；（3）_； （4）_【例2】求值：（1）_； （2）_；常见题型二：给值求值解决此类问题的关键在于角的“整体代换”，找出已知式与欲求式的角的和、差、倍、半、互余、互补等关系，另外还要注意角的范围的讨论【例】（1）已知，则_；（2）已知，则_；（3）已知，则_常见题

6、型三：给值求角解决此类问题的关键是先求出此角的某一个三角函数值，然后根据角的范围确定角的大小，此时要注意根据三角函数值的正负号或比较特殊角的三角函数值大小挖掘隐含条件，要尽量减小角的范围。【例1】若，且、为锐角，求【例2】已知、均为锐角，且，求【例3】已知，、，求三角函数的图象与性质说明：（1）伸缩变换不会改变的值，只是将变为；（2）若相同，就不用做伸缩变换，若不同，就一定要做伸缩变换；若相同，就不用做平移变换，若不同，就一定要做平移变换；（2）左右平移的量要看发生在自变量上的变化。三复合函数的性质最 值：和；单调性：若，则正向讨论，即令，可求得函数的单调增区间；若，则反向讨论，即令，可求得函

7、数的单调增区间 周 期：最小正周期是对称性：函数的图象仍然是波形，它有无数条对称轴和无数个对称中心令，可求得函数的所有对称轴；令，可求得函数的所有对称中心【例1】考查三角函数图象的变换（1）由函数的图象怎么变换到函数的图象（2）将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位，得到的图象的对应解析式是（ ）A B C D（3）要得到的图象，只需将函数的图象（）A向左平移单位 B向左平移单位 C向右平移单位D向右平移单位【例2】考查三角函数的对称轴和对称中心（1）函数是上的偶函数，则的值是（ ）A B C D（2）已知函数的最小正周期为,则函数的图象（ ）A

8、关于对称 B关于对称 C关于对称 D关于对称（3）已知函数的图象关于直线成轴对称图形，则实数_（4）若函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为（ ） A B C D （5）已知函数，且在区间上有最小值，无最大值，则_【例3】考查三角函数的单调性（1）函数的单调减区间是 _（2）函数的单调递增区间是_【例4】已知函数，（1）求函数的最小正周期；（2）求函数的最小值，并求函数取得最小值时的的集合；（3）求函数在区间上的最小值；（4）求函数的单调增区间； （5）求函数在区间上的单调增区间； （6）求函数的所有对称轴和对称中心；（7）函数的图象可以由函数，的图象经过怎样的变换得到；【例5】已知函数（1

9、）求函数的最小正周期和对称轴方程； （2）求函数在区间上的值域【例6】考查三角函数的最值求法（1）设和分别表示函数的最大值和最小值，则 _（2）若函数，则的最小值为_ （3）当时，函数的最小值是_，最大值是_（4）求函数的值域（5）求函数的值域（6）求函数，的最大值和最小值（7）函数的值域是 _点拨：三角函数的值域、最值求法（1）(或)型：利用三角函数的有界性；（2）型：利用幅角公式转化为形式，再利用有界性；（3）型：配方后求二次函数的最值，应注意的约束；（4）型：分离常数，利用三角函数的有界性（5）型：数形结合法，这里用到直线斜率的几何意义，也可用纯代数法求法（6）型：换元，要注意变量的范围

10、【例7】（1）求函数的值域；（2）求函数的值域；（5）已知函数有最大值，求实数的值【例8】设函数（1）若方程有实数根，求实数的取值范围；（2）若方程在内有解，求实数的取值范围；（3）若对一切实数恒成立，求实数的取值范围点拨：解决方程有解问题最有效的方法是分离变量求值域【例9】若关于的方程在上有两个不同实根，求实数的取值范围【例10】（1）若函数，则是（ ）A最小正周期为的奇函数 B最小正周期为的奇函数C最小正周期为的偶函数D最小正周期为的偶函数（2）函数的最小正周期是_，最小值是_ （3）函数的最小正周期是_；（4）函数 的最小正周期是_点拨：（1）利用降幂公式、幅角公式把已知函数转化为形式，

11、从而得到周期； （2）根据图象变换知识画出函数图象可以直观得到函数周期。【例12】已知函数，有下列命题： 当时，的最小正周期是； 当时，的最大值是，最小值是；当时，将函数的图象向左平移可以得到函数的图象；当时，的对称中心是 其中正确命题的序号是_（把你认为正确的命题的序号都填上）13.已知函数的图象的一部分如下图所示。（1）求函数的解析式；（2）当时，求函数的最大值与最小值及相应的的值。解三角形例题精讲【例1】（1）在中，是的_条件 （2）在锐角中，则的取值范围是 _ （3）在中，已知，则_【例2】（1）在中，若，则中最大角的余弦值为_（2）某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为，则

12、（ ） A不能作出这样的三角形 B作出一个锐角三角形 C作出一个直角三角形 D作出一个钝角三角形（3）以为三边组成一个锐角三角形，则的取值范围为_点评：最大角决定三角形的形状，由余弦定理得，较小两边的平方和与最大边的平方的差决定最大角是锐角、直角和钝角。【例3】考查正余弦定理的灵活使用（1）在中，若，其面积，则_（2）在中，若，则_（3）在中，若，则_（4）在锐角中，若，则_【例4】判断满足下列条件的三角形形状 （1）； （2）； （3）； （4） 点评：与三角形形状相关的几个结论:（1）在中，若，则为等腰三角形或直角三角形（2）在中，若，则为等边三角形（3）在中，若，则为直角三角形（4）在中

13、，若，则为直角三角形【例5】在中，角的对边分别为、，求【例6】在中，角的对边分别为，且， （1）当时，求角的度数； （2）求面积的最大值【例7】中，所对的边分别为，,.（1）求； （2）若,求 【例8】在中，, （1）求的值； （2）设，求的面积【例9】在中，角的对边分别为，且 （1）求的大小； （2）求的最大值 【例10】在中，角的对边分别为， （1）求的大小； （2）求的范围【例11】设的内角的对边分别为，已知，求【例12】在中，角的对边分别是，已知.（1）求的值； （2）若，求边的值.【例13】在中，角的对边分别是，已知.（1）求的值； （2）若，求边的值2012高考真题分类汇编：三角函

14、数一、选择题1.设是方程的两个根，则的值为（A）-3 （B）-1 （C）1 （D）32.把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图像是3.已知，函数在上单调递减.则的取值范围是（ ） 4.如图，正方形的边长为，延长至，使，连接、则（ ）A、 B、 C、 D、5.在中，角所对边长分别为，若，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 6.若，则（A） （B） （C） （D）7.已知，(0，)，则=(A) 1 (B) (C) (D) 18.若tan+ =4,则sin2=A B. C. D. 9.函数f（x

15、）=sinx-cos(x+)的值域为 A -2 ,2 B.-, C.-1,1 D.- , 10.在中，若，则的形状是（ ）A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D不能确定11.设则“”是“为偶函数”的（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分与不必要条件12.在中，内角A，B，C所对的边分别是，已知8b=5c，C=2B，则cosC=（A） （B） （C） （D）13.已知为第二象限角，则cos2=(A) （B） (C) (D)二、填空题14.函数f（x）=sin ()的导函数的部分图像如图4所示，其中，P为图像与y轴的交点，A,C为图像与x轴的两个交点

16、，B为图像的最低点.（1）若，点P的坐标为（0，），则 ;（2）若在曲线段与x轴所围成的区域内随机取一点，则该点在ABC内的概率为 .15.设的内角，所对的边分别为，. 若，则角 16.在ABC中，若=2，b+c=7，cosB=，则b=_。17.设的内角所对的边为；则下列命题正确的是若；则 若；则 若；则 若；则若；则18.已知ABC得三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为_.19.设的内角的对边分别为，且，,则 21.当函数取得最大值时，x=_.22.设为锐角，若，则的值为 三、解答题23.已知分别为三个内角的对边，（1）求 （2）若，的面积为；求.24.已知向量，设函数的图象关于直

17、线对称，其中，为常数，且. （）求函数的最小正周期； （）若的图象经过点，求函数在区间上的取值范围.25. 设函数。（I）求函数的最小正周期；（II）设函数对任意，有，且当时， ，求函数在上的解析式。26. 函数在一个周期内的图象如图所示，为图象的最高点，、为图象与轴的交点，且为正三角形。（）求的值及函数的值域；（）若，且，求的值。27.函数（）的最大值为3， 其图像相邻两条对称轴之间的距离为，（1）求函数的解析式；（2）设，则，求的值。28.已知函数，（其中0，xR）的最小正周期为10（1）求的值；（2）设，求cos（）的值29.已知向量，函数的最大值为6.（）求；（）将函数的图象向左平移个

18、单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象.求在上的值域.30.已知函数。（1）求的定义域及最小正周期；（2）求的单调递减区间。31.设，其中（）求函数 的值域（）若在区间上为增函数，求 的最大值.32.在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知cosA，sinBcosC()求tanC的值；()若a，求ABC的面积33. 在中，角A、B、C的对边分别为a，b，c。角A，B，C成等差数列。 ()求的值； ()边a，b，c成等比数列，求的值。34.在ABC中，角A,B,C的对边分别为a，b，c。已知，。（1）求证：（2）若，求ABC的面积。35.三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知cos（A-C）cosB=1，a=2c，求c.36.已知函数（）求函数的最小正周期；（）求函数在区间上的最大值和最小值.37.在中，已知（1）求证：；（2）若求A的值专心-专注-专业