集合的基本运算(共34页).docx

《集合的基本运算(共34页).docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《集合的基本运算(共34页).docx（36页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、精选优质文档-倾情为你奉上1.1.3集合的基本运算第一课时并集和交集Q 已知一个班有30人，其中5人有兄弟，5人有姐妹，你能判断这个班有多少是独生子女吗？如果不能判断，你能说出需哪些条件才能对这一问题做出判断吗？事实上，如果注意到“有兄弟的人也可能有姐妹”，我们就知道，上面给出的条件不足以判断这个班独生子女的人数，为了解决这个问题，我们还必须知道“有兄弟且有姐妹的同学的人数”应用本小节集合运算的知识，我们就能清晰地描述并解决上述问题了X 1并集和交集的定义定义并集交集自然语言一般地，由所有属于集合A_或_集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作_AB_一般地，由属于集合A_且_属于集

2、合B的所有元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作_AB_符号语言ABx|_xA_，或xBABx|xA，且_xB_图形语言知识点拨(1)简单地说，集合A和集合B的全部(公共)元素组成的集合就是集合A与B的并(交)集；(2)当集合A，B无公共元素时，不能说A与B没有交集，只能说它们的交集是空集；(3)在两个集合的并集中，属于集合A且属于集合B的元素只显示一次；(4)交集与并集的相同点是：由两个集合确定一个新的集合，不同点是：生成新集合的法则不同2并集和交集的性质并集交集简单性质AA_A_；A_A_AA_A_；A_常用结论ABBA；A(AB)；B(AB)；ABBABABBA；(AB)A；(AB)

3、B；ABBBAY 1(2017全国卷文，1)设集合A1,2,3，B2,3,4，则AB(A)A1,2,3,4B1,2,3C2,3,4D1,3,4解析AB1,2,32,3,41,2,3,4，故选A2(2016全国卷文，1)设集合A1,3,5,7，Bx|2x5，则AB(B)A1,3B3,5C5,7D1,7解析集合A与集合B公共元素有3,5，故AB3,5，选B3设集合A2,4,6，B1,3,6，则如图中阴影部分表示的集合是(C)A2,4,6B1,3,6C1,2,3,4,6D6解析图中阴影表示AB，又因为A2,4,6，B1,3,6，所以AB1,2,3,4,6，故选C4已知集合A1,2,3，B2,4,5，

4、则集合AB中元素的个数为_5_.解析AB1,2,3,4,5，故填5.5已知集合A1,2,3，B2，m,4，AB2,3，则m_3_.解析因为AB2,3，所以3B.所以m3.H 命题方向1并集的概念及运算典题1 (1)设集合A1,2,3，B2,3,4,5，求AB；(2)设集合Ax|3x5，Bx|2x6，求AB.思路分析第(1)题由定义直接求解，第(2)题借助数轴求很方便解析(1)AB1,2,32,3,4,51,2,3,4,5(2)画出数轴如图所示：ABx|3x5x|2x6x|3x6规律方法并集运算应注意的问题(1)对于描述法给出的集合，应先看集合的代表元素是什么，弄清是数集，还是点集，然后将集合化

5、简，再按定义求解(2)求两个集合的并集时要注意利用集合元素的互异性这一属性，重复的元素只能算一个(3)对于元素个数无限的集合进行并集运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点的值能否取到跟踪练习1(1)已知集合A0,2,4，B0,1,2,3,5，则AB_0,1,2,3,4,5_(2)若集合Ax|1x2，Bx|0x3，则AB_x|1x3_(3)已知集合A1,3，B1，m，ABA，则m(B)A0或B0或3C1或D1或3解析(1)AB0,2,40,1,2,3,50,1,2,3,4,5(2)结合数轴，分析可得ABx|1x3(3)方法一：利用并集的性质及子集的含义求解ABA，BA，又A1,3，

6、B1，m，m3或m.由m得m0或m1.但m1不符合集合中元素的互异性，故舍去，故m0或m3，故选B方法二：利用排除法求解B1，m，m1，可排除选项C、D又当m3时，A1,3，B1,3，AB1,3，A，故m3适合题意，故选B命题方向2交集的概念及其运算典题2 (1)设集合M1,0,1，Nx|x2x则MN(B)A1,0,1B0,1C1D0(2)若集合Ax|2x3，Bx|x4，则集合AB等于(D)Ax|x3或x4 Bx|1x3Cx|3x4 Dx|2x1(3)已知A(x，y)|4xy6，B(x，y)|3x2y7，则AB_(1,2)_.思路分析(1)先求出集合N中的元素再求M、N的交集(2)借助数轴求A

7、B.(3)集合A和B的元素是有序实数对(x，y)，A、B的交集即为方程组的解集解析(1)Nx|x2x0,1，MN0,1故选B(2)将集合A、B表示在数轴上，由数轴可得ABx|2x1，故选D(3)AB(x，y)|4xy6(x，y)|3x2y7(1,2)规律方法求集合AB的方法与步骤(1)步骤首先要搞清集合A、B的代表元素是什么；把所求交集的集合用集合符号表示出来，写成“AB”的形式；把化简后的集合A、B的所有公共元素都写出来即可(若无公共元素则所求交集为)(2)方法若A、B的代表元素是方程的根，则应先解方程求出方程的根后，再求两集合的交集；若集合的代表元素是有序数对，则AB是指两个方程组成的方程

8、组的解集，解集是点集若A、B是无限数集，可以利用数轴来求解但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实点表示，不含有端点的值用虚点表示跟踪练习2(1)(2015广东卷理科，1题)若集合Mx|(x4)(x1)0，Nx|(x4)(x1)0，则MN(D)A1,4B1，4C0D(2)已知集合Ax|1x3，Bx|2x5，则AB(C)A2Bx|1x3Cx|2x3Dx|3x5(3)已知Ax|x是等腰三角形，Bx|x是直角三角形，则AB_x|x是等腰直角三角形_解析(1)M4，1，N4,1，MN，故选D(2)在数轴上表示集合A、B，如下图所示，则ABx|2x3，故选C(3)既是等腰又是直角的三角形为等腰直

9、角三角形所以ABx|x是等腰直角三角形命题方向3集合交集、并集运算的性质及应用典题3 (1)(20162017临沂高一检测)已知集合Ax|x2px20，Bx|x2qxr0，且AB2,1,5，AB2，则pqr_14_.(2)设集合A2，Bx|ax10，aR，若ABB，则a的值为_a0或_.思路分析(1)2是不是方程x2px20的根？怎样确定集合B?(2)条件中的ABB应如何转化？解析(1)AB2，2A且2B，将x2代入x2px20，得p1，A1，2，AB2,1,5，AB2，B2,5，q(2)53，r(2)510，pqr14.(2)ABB，BA.A2，B或B.当B时，方程ax10无解，此时a0，满

10、足BA.当B时，此时a0，则B，A，即2，得a.综上，得a0得a.规律方法利用集合交集、并集的性质解题的方法及关注点(1)方法：利用集合的交集、并集性质解题时，常常遇到ABB，ABA等这类问题，解答时常借助于交集、并集的定义及已知集合间的关系去转化为集合间的关系求解，如ABAAB，ABBAB.(2)关注点：当集合AB时，若集合A不确定，运算时要考虑A的情况，否则易漏解跟踪练习3已知集合Mx|2x40，Nx|x23xm0(1)当m2时，求MN，MN；(2)当MNM时，求实数m的值解析由已知得M2，(1)当m2时，N1,2，所以MN2，MN1,2(2)若MNM，则MN，2N，所以46m0，m2.命

11、题方向4利用交集、并集运算求参数的值典题4 已知集合A4,2a1，a2，Ba5，1a，9，分别求适合下列条件的a值.(1)9AB；(2)9AB.思路分析9AB与9AB意义不同，9AB说明9是A与B的一个公共元素，但A与B中允许有其他公共元素9AB，说明A与B的公共元素有且只有一个9.解析(1)9AB，9A.2a19或a29，a5或a3.检验知：a5或a3满足题意(2)9AB，9AB，a5或a3.检验知：a5时，AB4,9不合题意，a3.规律方法利用交集、并集、集合相等求参数的值时，求出值后要注意检验。一是看是否满足元素的“互异性”；二是看是否满足子集、真子集、交集、并集的条件跟踪练习4已知Ax

12、|2x2axb0，Bx|bx2(a2)x5b0，且AB，求AB.分析由交集的定义知A，且B，于是可得关于a、b的二元方程组解方程组求a、b的值，即可得集合A、B，再求AB.解析AB，A，且B.，解之得，于是Ax|18x243x260，Bx|26x225x190，AB，Y 集合运算时忽略空集致错 典题5 集合Ax|x23x20，Bx|x22xa10，ABB，求a的取值范围.错解由题意，得A1,2ABB，1B，或者2B，a2或a1.错因分析ABBAB.而B是二次方程的解集，它可能为空集，如果B不为空集，它可能是A的真子集，也可以等于A.思路分析ABB，B可能为空集，千万不要忘记正解由题意，得A1,

13、2，ABB，当B时，(2)24(a1)2；当1B时，12a10，解得a2，且此时B1，符合题意；当2B时，44a10，解得a1，此时B0,2，不合题意；当1B且2B时，此时a无解综上所述，a2.跟踪练习设集合Mx|2x5，Nx|2tx2t1，tR，若MNN，则实数t的取值范围为_t2_.解析当2t12t即t时N.满足MNN；当2t12t即t时若MNN应满足解得t2.t2.综上t2.X 数形结合思想的应用 对于和实数集有关的集合的交集、并集等运算问题，常借助于数轴将集合语言转化为图形语言，或借助Venn图，通过数形结合可直观、形象地看出其解集典题6 已知集合Ax|0x4，集合Bx|m1x1m，且

14、ABA，求实数m的取值范围.思路分析先将ABA等价转化，再借助于数轴直观表达A、B之间的关系，列出关于m的不等式组，解不等式组得到m的取值范围解析ABA，BA.Ax|0x4，B或B.当B时，有m11m，解得m0.当B时，用数轴表示集合A和B，如图所示，BA，解得1m0.检验知m1，m0符合题意综上可得，实数m的取值范围是m0或1m0，即m1.规律方法求解此类问题一定要看是否包括端点(临界)值集合问题大都比较抽象，解题时要尽可能借助Venn图、数轴等工具利用数形结合思想将抽象问题直观化、形象化、明朗化，从而使问题获解K 1(2017全国卷文，1)已知集合A1,2,3,4，B2,4,6,8，则AB

15、中元素的个数为(B)A1B2C3D4解析AB1,2,3,42,4,6,82,4，AB中共有2个元素，故选B2(2016天津卷)已知集合A1,2,3，By|y2x1，xA，则AB(A)A1,3B1,2C2,3D1,2,3解析A1,2,3，B1,3,5，AB1,3，选A3(2016全国卷理，2)已知集合A1,2,3，Bx|(x1)(x2)0，xZ，则AB(C)A1B1,2C0,1,2,3D1,0,1,2,3解析Bx|(x1)(x2)0，xZx|1x2，xZ，B0,1，AB0,1,2,3，故选C4设Ax|1x3，Bx|x0或x2，则AB_x|2x3_，AB_x|x0或x1_.5已知集合Ax|x1，B

16、x|xa，且ABR，则实数a的取值范围是_a1_.解析利用数轴画图解题要使ABR，则a1.6设集合Aa2，3,9，B4，3,8，若AB4，3，求实数a的值.解析AB4，3，4A.a24，a2.A级基础巩固一、选择题1下面四个结论：若a(AB)，则aA；若a(AB)，则a(AB)；若aA，且aB，则a(AB)；若ABA，则ABB.其中正确的个数为(C)A1B2C3D4解析不正确，正确，故选C2已知集合Mx|33，则MN(A)Ax|x3Bx|3x5Cx|333(2016北京文，1)已知集合Ax|2x4，Bx|x5，则AB(C)Ax|2x5Bx|x5Cx|2x3Dx|x5解析在数轴上表示集合A与集合

17、B，由数轴可知，ABx|2x3，故选C4(2016浙江省期中试题)集合A1,2，B1,2,3，C2,3,4，则(AB)C(D)A1,2,3B1,2,4C2,3,4D1,2,3,4解析AB1,2，(AB)C1,2,3,4，故选D5已知集合A2，3，集合B满足BAB，那么符合条件的集合B的个数是(D)A1B2C3D4解析由BAB可得BA，因此B就是A的子集，所以符合条件的集合B一共有4个：，2，3，2，36设集合Ax|1x2，集合Bx|xa，若AB，则实数a的取值集合为(C)Aa|a2Ba|a1Ca|a1Da|1a2解析如图要使AB，应有a0，则ST(D)A2,3B(，23，)C3，)D(0,23

18、，)解析Sx|(x2)(x3)0x|x2或x3，且Tx|x0，STx|0x2或x3故选D3当xA时，若x1A，且x1A，则称x为A的一个“孤立元素”，由A的所有孤立元素组成的集合称为A的“孤星集”，若集合M0,1,3的孤星集为M，集合N0,3,4的孤星集为N，则MN(D)A0,1,3,4B1,4C1,3D0,3解析由条件及孤星集的定义知，M3，N0，则MN0,34设AxN|1x10，BxR|x2x60，则如图中阴影部分表示的集合为(A)A2B3C3,2D2,3解析B3,2，图中阴影部分表示AB2，故选A二、填空题5(2017江苏卷，1)已知集合A1,2，Ba，a23，若AB1，则实数a的值为_

19、1_.解析AB1，1B.a1.6已知集合Ax|x2pxq0，Bx|x2px2q0，且AB1，则AB_2，1,4_.解析因为AB1，所以1A，1B，即1是方程x2pxq0和x2px2q0的解，所以解得所以A1，2，B1,4，所以AB2，1,4C级能力拔高1设Ax|x28x0，Bx|x22(a2)xa240，其中aR.如果ABB，求实数a的取值范围.解析Axx28x00，8，ABB，BA.当B时，方程x22(a2)xa240无解，即4(a2)24(a24)0，得a2.当B0或8时，这时方程的判别式4(a2)24(a24)0，得a2.将a2代入方程，解得x0，B0满足当B0，8时，可得a2.综上可得

20、a2或a2.2(20162017四川宜宾三中高一期中)集合Ax|x2axa2190，Bx|x25x60，Cx|x22x80.(1)若ABAB，求a的值；(2)若AB，AC，求a的值解析由已知得B2,3，C2，4(1)ABAB，AB.2,3是关于x的一元二次方程x2axa2190的两个根.得a5.(2)由 ABAB.又AC，得3A,2A，4A.由3A，得323aa2190，解得a5或a2.当a5时，Ax|x25x602,3，与2A矛盾；当a2时，Axx22x1503，5，符合题意a2.第二课时补集Q 如果你所在班级共有60名同学，要求你从中选出56名同学参加体操比赛，你如何完成这件事呢？你不可能

21、直接去找张三、李四、王五、，一一确定出谁去参加吧？如果按这种方法做这件事情，可就麻烦多了若确定出4位不参加比赛的同学，剩下的56名同学都参加，问题可就简单多了不要小看这个问题的解决方法，它可是这节内容(补集)的现实基础X 1全集文字语言一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为_全集_2补集文字语言对于一个集合A，由全集U中_不属于_集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于_全集U_的补集，简称为集合A的补集，记作_UA_符号语言UAx|xU，且x_A图形语言知识点拨(1)简单地说，UA是从全集U中取出集合A的全部元素之后，所有剩余的元素组成的集合(2)性质：

22、A(UA)U，A(UA)，U(UA)A，UU，UU，U(AB)(UA)(UB)，U(AB)(UA)(UB)(3)如图所示的阴影部分是常用到的含有两个集合运算结果的Venn图表示Y 1若全集M1,2,3,4,5，N2,4，则MN(B)AB1,3,5C2,4D1,2,3,4,5解析MN1,3,5，选B2(2017北京文，1)已知全集UR，集合Ax|x2，则UA(C)A(2,2)B(，2)(2，)C2,2D(，22，)解析Ax|x2，全集UR，UAx|2x2，故选C3设集合U1,2,3,4,5，A1,2,3，B2,5，则A(UB)(D)A2B2,3C3D1,3解析U1,2,3,4,5，UB1,3,4

23、，AUB1,34设集合S三角形，A直角三角形，则SA_钝角三角形或锐角三角形_.解析三角形直角三角形，锐角三角形，钝角三角形结合补集的定义求得H 命题方向1补集的基本运算典题1 已知全集U，集合A1,3,5,7，UA2,4,6，UB1,4,6，求集合B.思路分析先由集合A与UA求出全集，再由补集定义求出集合B，或利用Venn图求出集合B.解析方法一：A1,3,5,7，UA2,4,6，U1,2,3,4,5,6,7，又UB1,4,6，B2,3,5,7方法二：借助Venn图，如图所示，由图可知B2,3,5,7规律方法求集合补集的基本方法及处理技巧(1)基本方法：定义法(2)两种处理技巧：当集合用列举

24、法表示时，可借助Venn图求解当集合是用描述表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解跟踪练习1(1)设全集UxN|x2，集合AxN|x25，则UA(B)AB2C5D2,5(2)已知全集Ux|1x5，Ax|1xa，若UAx|2x5，则a_2_.解析(1)由题意知集合AxN|x，则UAxN|2x2，故选B(2)AUAU，且AUA，Ax|1x2，a2.命题方向2交集、并集、补集的综合运算典题2 (1)已知全集U0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，集合A0,1,3,5,8，集合B2,4,5,6,8，则(UA)(UB)(B)A5,8B7,9C0,1,3D2,4,6(2)已知全集Ux|x4，集合

25、Ax|2x3，Bx|3x2，求AB，(UA)B，A(UB).思路分析(1)有限集利用Venn图求解；(2)无限集利用数轴，分别表示出全集U及集合A，B，先求出UA及UB，再求解解析(1)由图(1)知，UA2,4,6,7,9，UB0,1,3,7,9，(UA)(UB)7,9，故选B图(1)图(2)(2)如图(2)，Ax|2x3，Bx|3x2，UAx|x2，或3x4，UBx|x3，或2x4ABx|2x2，(UA)Bx|x2，或3x4；A(UB)x|2x3规律方法求集合交、并、补运算的方法跟踪练习2(1)(2015湖南文)已知集合U1,2,3,4，A1,3，B1,3,4，则A(CUB)_1,2,3_(

26、2)设UR，Ax|x0，Bx|x1，则A(UB)(B)Ax|0x1Bx|0x1Cx|x0Dx|x1解析(1)CUB2，A(CUB)1,2,3(2)UR，Bx|x1，UBx|x1又Ax|x0，A(UB)x|0x1Y 忽视空集或补集的性质易致错 典题3 已知全集U1,2,3,4,5，Ax|x25xq0，AU，求UA及q的值.错解当q0时，x25xq0的根为x5，x0，5U，此时A5，UA1,2,3,4当q0时，由韦达定理知方程x25xq0的根在1、2、3、4、5中取时，只可能是3或2,1或4，因此q6时，A2,3，UA1,4,5q4时，A1,4，UA2,3,5所以q0时，UA1,2,3,4，q4时

27、，UA2,3,5，q6时，UA1,4,5错因分析错解中没有注意到AU，当q0时，A0,5U，另外，当A时，UAU，此时方程x25xq0无实数解正解若A，则UAU，此时方程x25xq0无实数解0，即254q0，q.若A，由于方程x25xq0的两根之和为5，又由于两根只能从1,2,3,4,5中取值，因此A1,4或2,3当A1,4时，UA2,3,5，q4；当A2,3时，UA1,4,5，q6.警示本题易错点：(一)忽略AU，求出q的值后不验证AU是否成立；(二)不考察A的情形跟踪练习设全集U2,3，a22a3，A|2a1|,2，UA5，则实数a的值为_2_.错解UA5，5U，且5A，a22a35，且|

28、2a1|5，解得a2或a4.故实数a的值为2或4.错因分析上述求解的错误在于忽略验证“AU”这一隐含条件正解方法一：UA5，5U，且5A，a22a35，且|2a1|5，解得a2或a4.当a2时，|2a1|3，A2,3，符合题意；而当a4时，A9,2，不是U的子集故实数a的值为2.方法二：UA5，5U，且5A，且|2a1|3.解得a2.故实数a的值为2.警示准确理解补集的概念是求解此类问题的关键实际上UA的数学意义包括两个方面，首先必须具备AU，其次是定义UAx|xU，且xA因此本题应先由5U求出a的值，再利用5A验证a的值是否符合题意X “正难则反”思想的应用 “正难则反”策略是指当某一问题从

29、正面解决较困难时，我们可以从其反面入手解决已知全集U，求子集A，若直接求A困难，可运用“正难则反”策略先求UA，再由U(UA)A求A.补集作为一种思想方法给我们研究问题开辟了新思路，今后要有意识地去体会并运用在顺向思维受阻时，改用逆向思维，可能“柳暗花明”从这个意义上讲，补集思想具有转换研究对象的功能，这是转化思想的又一体现典题4 已知集合Ax|x24x2m60，Bx|x0，若AB，求实数m的取值范围.分析A是一元二次方程的解集，AB表明方程x24x2m60有负根，其包含情况比较复杂，因此可转化为先求AB时，m的取值范围，再利用补集思想求满足题意的m的取值范围解析先求AB时m的取值范围(1)当

30、A时，方程x24x2m60无实根，所以(4)24(2m6)1.(2)当A，AB时，方程x24x2m60的根为非负实根设方程x24x2m60的两根为x1，x2，则即解得3m1.综上，当AB时，m的取值范围是m|m3又因为UR，所以当AB时，m3.即AB时，m的取值范围是m|m3跟踪练习3若集合Ax|ax23x20中至多有1个元素，求实数a的取值范围解析假设集合A中含有2个元素，即ax23x20有两个不相等的实数根，则，解得a且a0，则此时实数a的取值范围是.在全集UR中，集合的补集是.所以满足题意的实数a的取值范围是.K 1设全集UR，Ax|0x6，则RA等于(B)A0,1,2,3,4,5,6B

31、x|x6Cx|0x6Dx|x0或x6解析由补集定义并结合数轴易知RAx|x6，故选B2已知集合Ux|x0，UAx|0x2，那么集合A(C)Ax|x0或x2Bx|x0或x2Cx|x2Dx|x2解析利用数轴分析，可知Ax|x23已知全集UR，Ax|x0，Bx|x1，则集合U(AB)(D)Ax|x0Bx|x1Cx|0x1Dx|0x1解析ABx|x0或x1，U(AB)x|0x1故选D4(2016山东文，1)设集合U1,2,3,4,5,6，A1,3,5，b3,4,5，则U(AB)(A)A2,6B3,6C1,3,4,5D1,2,4,6解析由题知AB1,3,4,5，所以U(AB)2,6故选A5设全集UnN|

32、1n10，A1,2,3,5,8，B1,3,5,7,9，则(UA)B_7,9_.解析由题意，得U1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，故UA4,6,7,9,10，所以(UA)B7,9A级基础巩固1(2016全国卷文，1)设集合A0,2,4,6,8,10，B4,8，则AB(C)A4,8B0,2,6C0,2,6,10D0,2,4,6,8,10解析依据补集的定义，从集合A0,2,4,6,8,10中去掉集合B4,8，剩下的四个元素为0,2,6,10，故AB0,2,6,10，故应选答案C2已知全集U0,1,2,3,4，集合A1,2,3，B2,4，则(UA)B为(C)A1,2,4B2,3,4C0,2,4D0,2,3,4解析因为U0,1,2,3,4，A1,2,3，所以UA0,4，故UAB0,2,43若全集U1,2,3,4,5,6，M2,3，N1,4，则集合5,6等于(D)AMN