三角函数最值问题的几种常见类型(共8页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上 求三角函数最值问题的几种常见类型 1： 此类函数利用即可求解，显然例1 求的最大值与最小值 例. 在直角三角形中，两锐角为A和B，求的最大值。解：由，得，则当时，有最大值。2y=asinx+bcosx型的函数特点是含有正余弦函数，并且是一次式。解决此类问题的指导思想是把正、余弦函数转化为只有一种三角函数。应用课本中现成的公式即可：y=sin(x+)，其中例1（2004年全国，理4）函数在区间0，上的最小值为_。解析 ： =2（） =2（）=2 因为，所以，当时，易知y的最小值为答案 所以应填“1”。例2已知函数f(x)=2cosxsin(x+)sin2x+sinxc

2、osx(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求f(x)的最小值及取得最小值时相应的x的值；(3)若当x，时，f(x)的反函数为f1(x)，求f-1(1)的值.解：(1)f(x)=2cosxsin(x+)sin2x+sinxcosx=2cosx(sinxcos+cosxsin)sin2x+sinxcosx=2sinxcosx+cos2x=2sin(2x+)f(x)的最小正周期T=(2)当2x+=2k，即x=k (kZ)时，f(x)取得最小值2.(3)令2sin(2x+)=1，又x,2x+,2x+=，则x=，故f-1(1)= .3y=asin2x+bsinxcosx+cos2x型的函数。 此类函

3、数可先降次，再整理转化形式解决，例求y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最小值，并求出y取最小值时的x的集合。4y=asin2x+bcosx+c型的函数特点是含有sinx, cosx，并且其中一个是二次，处理方式是应用sin2x+cos2x=1,使函数式只含有一种三角函数，再应用换元法，转化成形如的二次函数来求解。例是否存在实数a，使得函数y=sin2x+acosx+a在闭区间0，上的最大值是1？若存在，求出对应的a值；若不存在，试说明理由.综合上述知，存在符合题设5y=型的函数 特点是一个分式，分子、分母分别会有正、余弦的一次式。几乎所有的分式型都可以通过分子，分母的化简，最后

4、整理成这个形式，它的处理方式有多种，如利用万能公式换元后用判别式处理。例求函数y=的最大值和最小值。解法1：原解析式即：sinx-ycosx=2-2y, 即sin(x+)=， |sin(x+)|1, 1，解出y的范围即可。 解法2：表示的是过点(2, 2)与点(cosx, sinx)的斜率，而点(cosx, sinx)是单位圆上的点，观察图形可以得出在直线与圆相切时取极值。 解法3：应用万能公式设t=tg() 则y=，即(2-3y)t2-2t+2-y=0 根据0解出y的最值即可。 可看作是单位圆上的动点P与Q连线的斜率，设直线的方程为 即，则圆心（0,0）到它的距离 解得或 【附】： 求的值域

5、（反解法） 又 函数的值域 利用正（余）弦函数的有界性，转化为以函数y为主元的不等式，是解决这类问题的最佳方法。例. 求函数的最大值和最小值。解：由已知得，即，所以因，即解得，故6y=sinxcos2x型的函数。 它的特点是关于sinx，cosx的三次式（cos2x是cosx的二次式）。因为高中数学不涉及三次函数的最值问题，故几乎所有的三次式的最值问题（不只是在三角）都用均值不等式来解（没有其它的方法）。但需要注意是否符合应用的条件（既然题目让你求，多半是符合使用条件的，但做题不能少这一步），及等号是否能取得。 例、如右图，在半径为R的圆桌的正中央上空挂一盏电灯，桌子边缘一点处的照度和灯光射到

6、桌子边缘的光线与桌面的夹角的正弦成正比，角和这一点到光源的距离 r的平方成反比，即I=k，其中 k是一个和灯光强度有关的常数，那么怎样选择电灯悬挂的高度h，才能使桌子边缘处最亮？ 解：R=rcos，由此得：，注：本题的角和函数很难统一，并且还会出现次数太高的问题。 7含有“的三角函数的最值问题此类函数的常用解决方法是将转化为的函数关系，并应用(sinx+cosx)2=1+2sinxcosx进行转化最终划归为二次函数的最值问题。解此类型最值问题通常令例求y=2sinxcosx+sinx+cosx的最大值。 解：令sinx+cosx=t,(- t)，则1+2sinxcosx=t2，所以 2sinx

7、cosx=t2-1, 所以y=t2-1+t=(t+)2-. 根据二次函数的图象，解出y的最大值是1+。 求函数的最值。 8：利用函数单调性求最值 求的最值及对应的的集合 ：将分子展开转化为的形式来解决 令则且设 窗体顶端9、形如的形式 例4. 求函数的最大值和最小值。解：由，得，即此题是利用了分离分母的方法求解的。例1：求函数的值域。解：由变形为，知，则有，则此函数的值域是利用函数的有界性求解10、形如的形式 例5. 求的最小值。解：设，则。从图2中可以看到在区间上是减函数（也可以利用函数的单调性定义来证明这一结论）。当时，点评若由，可得最小值是错误的。这是因为当等号成立时，即是不可能的。若把此题改为就可以用不等式法求解了，同学们不妨琢磨一下。条件最值问题。例1：已知，求的取值范围。解：， sin=0时，； 时， 。专心-专注-专业