历届数学高考试题精选——导数及其应用(共50页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上历届高考中的“导数”试题精选(文科自我测试)一、选择题：（每小题5分，计50分）1.(2005全国卷文)函数,已知在时取得极值,则=( ) （A）2（B）3（C）4（D）52(2008海南、宁夏文)设，若，则（ ）A. B. C. D. 3（2005广东）函数是减函数的区间为（ ）A B C D（0，2）4.（2008安徽文）设函数 则（ ）A有最大值 B有最小值 C是增函数D是减函数5（2007福建文、理)已知对任意实数x有f(x)=f(x)，g(-x)=g(x)，且x0时，f(x)0，g(x)0，则x0，g(x)0 B f(x)0，g(x)0C f(x)0 D f

2、(x)0，g(x)0）有极大值9. （）求m的值； （）若斜率为-5的直线是曲线的切线，求此直线方程.历届高考中的“导数”试题精选(文科自我测试) 参考答案一. 选择题：（每小题5分，计50分）二、填空题：(每小题5分,计20分)11. ; 12. ；13. 32 ；14. 2 , -2 .三、解答题：(15,16小题各12分,其余各小题各14分)15. 解：（I） f (x)3x26x9令f (x)0，解得x3， 所以函数f(x)的单调递减区间为（，1），（3，） （II）因为f(2)81218a=2a，f(2)81218a22a， 所以f(2)f(2)因为在（1，3）上f (x)0，所以f

3、(x)在1, 2上单调递增，又由于f(x)在2，1上单调递减，因此f(2)和f(1)分别是f(x)在区间2，2上的最大值和最小值，于是有 22a20，解得 a2 故f(x)=x33x29x2，因此f(1)13927， 即函数f(x)在区间2，2上的最小值为716.解（），。从而是一个奇函数，所以得，由奇函数定义得；（）由（）知，从而，由此可知，和是函数是单调递增区间；是函数是单调递减区间；在时，取得极大值，极大值为，在时，取得极小值，极小值为。17.解：()由的图象过点P（0，2）,d=2知,所以 ,(x)=3x2+2bx+c,由在(-1,(-1)处的切线方程是6x-y+7=0,知-6-f(-

4、1)+7=0,即f(-1)=1, (-1)=6,即解得b=c=-3.故所求的解析式为f(x)=x3-3x2-3x+2,() (x)=3x2-6x-3,令3x2-6x-3=0即x2-2x-1=0,解得x1=1-,x2=1+,当x1+时, (x)0;当1-x1+时, (x)0f(x)=x3-3x2-3x+2在(1+,+)内是增函数,在(-, 1-)内是增函数,在(1-,1+)内是减函数.18.解：设长方体的宽为x（m），则长为2x(m)，高为.故长方体的体积为从而令V（x）0，解得x=0（舍去）或x=1，因此x=1.当0x1时，V（x）0；当1x时，V（x）0，故在x=1处V（x）取得极大值，并且

5、这个极大值就是V（x）的最大值。从而最大体积VV（x）912-613（m3），此时长方体的长为2 m，高为1.5 m.答：当长方体的长为2 m时，宽为1 m，高为1.5 m时，体积最大，最大体积为3 m3。解：（）因为是的极值点，所以，即，因此经验证，当时，是函数的极值点（）由题设，当在区间上的最大值为时，对一切都成立，解法一：即对一切都成立令，则由，可知在上单调递减，所以， 故a的取值范围是 解法二：也即对一切都成立， （1）当a=0时，-3x-60在上成立； （2）当时，抛物线的对称轴为，当a0时，有h(0)= -60, 所以h(x)在上单调递减，h(x) 0时,因为h(0)= -60）.

6、（）令F（x）xf（x），讨论F（x）在（0.）内的单调性并求极值；（）求证：当x1时，恒有xln2x2a ln x1.历届高考中的“导数”试题精选(理科自我测试)参考答案一、选择题：（每小题5分，计50分）二、填空题：(每小题5分,计20分)11. 3 ； 12； 13. 2 ； 14. ,球的体积函数的导数等于球的表面积函数三、解答题：(15,16小题各12分,其余各小题各14分)15. 解：每月生产x吨时的利润为 ，故它就是最大值点，且最大值为： 答：每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元.16. 解：()因为, 所以 即当 因斜率最小的切线与平行，即该切线的斜率为-1

7、2， 所以 解得 ()由()知 17解：（1） 求导：当时，, 在上递增当，求得两根为即在递增, 递减, 递增（2）要使f(x)在在区间内是减函数，当且仅当，在恒成立，由的图像可知，只需，即, 解得。a2。所以，的取值范围。18.解：（）因为 所以切线的斜率为故切线的方程为即。（）令y= 0得x=t+1, x=0得所以S（t）=从而当（0，1）时，0, 当（1,+）时,0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak+1,，若a1=16，则a1+a3+a5的值是_【命题立意】本题考查导数的几何意义、函数的切线方程以及数列的通项等内容。【思路点拨】先由导数的几何意义求得函数y=x

8、2(x0)的图像在点(ak,ak2)处的切线的斜率，然后求得切线方程，再由，即可求得切线与x轴交点的横坐标。【规范解答】由y=x2(x0)得，所以函数y=x2(x0)在点(ak,ak2)处的切线方程为：当时，解得，所以.【答案】217.（2010江苏高考4）将边长为1m正三角形薄片沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记,则S的最小值是_ _。【命题立意】 本题考查函数中的建模在实际问题中的应用，以及等价转化思想。【思路点拨】可设剪成的小正三角形的边长为，然后用分别表示梯形的周长和面积，从而将S用x表示，利用函数的观点解决.【规范解答】设剪成的小正三角形的边长为，则：方法一：利用导数

9、的方法求最小值。，当时，递减；当时，递增；故当时，S的最小值是。方法二：利用函数的方法求最小值令，则：故当时，S的最小值是。【答案】【方法技巧】函数的最值是函数最重要的性质之一，高考不但在填空题中考查，还会在应用题、函数导数的的综合解答题中考察。高中阶段，常见的求函数的最值的常用方法有：换元法、有界性法、数形结合法、导数法和基本不等式法。8.（2010陕西高考理科3）从如图所示的长方形区域内任取一个点M（x,y）,则点M取自阴影部分的概率为 ；【命题立意】本题考查积分、几何概率的简单运算，属送分题。【思路点拨】由积分求出阴影部分的面积即可【规范解答】阴影部分的面积为所以点M取自阴影部分的概率为

10、答案：9（2010 海南高考理科T13）设y=f(x)为区间0,1上的连续函数，且恒有0f(x) 1,可以用随机模拟方法近似计算积分,先产生两组（每组N个）区间0,1上的均匀随机数,和,由此得到N个点（i=1,2,N）,在数出其中满足（i=1,2,N）的点数，那么由随机模拟方法可得积分的近似值为 .【命题立意】本题主要考查了定积分的几何意义以及几何概型的计算公式.【思路点拨】由随机模拟想到几何概型，然后结合定积分的几何意义进行求解.【规范解答】由题意可知，所有取值构成的区域是一个边长为1的正方形，而满足的点落在y=f(x)、以及、围成的区域内，由几何概型的计算公式可知的近似值为.答案：10.（

11、2010北京高考理科8）已知函数()=In(1+)-+， (0)。()当=2时，求曲线=()在点(1，(1)处的切线方程；()求()的单调区间。【命题立意】本题考查了导数的应用，考查利用导数求切线方程及单调区间。解决本题时一个易错点是忽视定义域。【思路点拨】（1）求出，再代入点斜式方程即可得到切线方程；（2）由讨论的正负，从而确定单调区间。【规范解答】（I）当时， 由于， 所以曲线在点处的切线方程为 即 （II），.当时，.所以，在区间上，；在区间上，.故的单调递增区间是，单调递减区间是.当时，由，得，所以，在区间和上，；在区间上，故的单调递增区间是和，单调递减区间是.当时，故的单调递增区间是

12、.当时，得，.所以在区间和上，；在区间上，故得单调递增区间是和，单调递减区间是【方法技巧】（1）过的切线方程为。（2）求单调区间时要在定义域内讨论内的正负。11.（2010安徽高考文科20）设函数，求函数的单调区间与极值。【命题立意】本题主要考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性与极值的方法，考查考生运算能力、综合分析问题能力和问题的化归转化能力。【思路点拨】对函数求导，分析导数的符号情况，从而确定的单调区间和极值。【规范解答】+-0+极大值极小值【方法技巧】利用导数研究函数的单调性和极值是解决函数单调性、极值问题的常用方法，简单易行，具体操作流程如下：（1）求导数；（2）求方程的全部实根；

13、（3）列表，检查在方程的根左、右的值的符号；（4）判断单调区间和极值。12.（2010北京高考文科8） 设定函数，且方程的两个根分别为1，4。（）当a=3且曲线过原点时，求的解析式；（）若在无极值点，求a的取值范围。【命题立意】本题考查了导数的求法，函数的极值，二次函数等知识。【思路点拨】(1)由的两个根及过原点，列出三个方程可解出；（2）是开口向上的二次函数，无极值点，则恒成立。【规范解答】由 得 因为的两个根分别为1,4，所以 （*）（）当时，（*）式为解得又因为曲线过原点，所以故（）由于a0,所以“在（-，+）内无极值点”等价于“在（-，+）内恒成立”。由（*）式得。又解 得即的取值范围

14、【方法技巧】（1）当在的左侧为正，右侧为负时，为极大值点；当在的左侧为负，右侧为正时，为极小值点（2）二次函数恒成立问题可利用开口方向与判别式来解决。恒大于0，则；恒小于0，则；13.（2010安徽高考理科17）设为实数，函数。 (1)求的单调区间与极值；(2)求证：当且时，。【命题立意】本题主要考查导数的运算，利用导数研究函数的单调区间、求函数的极值、证明函数不等式，考查考生运算能力、综合分析问题能力和问题的化归转化能力。【思路点拨】(1)先分析的导数的符号情况，从而确定的单调区间和极值；(2) 设，把问题转化为：求证：当且时，。【规范解答】（1），令，得，极小值在上单调递减，在上单调递增；

15、当时，取得极小值为（2）设，由（1）问可知，恒成立，当时，则0恒成立，所以在上单调递增，所以当时，即当且时，。【方法技巧】1、利用导数研究函数的单调性是解决函数单调性问题的常用方法，简单易行；2、证明函数不等式问题，如证，通常令，转化为证明：。14.（2010天津高考文科20）已知函数f（x）=，其中a0. （）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2）处的切线方程；（）若在区间上，f（x）0恒成立，求a的取值范围.【命题立意】本小题主要考查曲线的切线方程、利用导数研究函数的单调性与极值、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。【思路点拨】应用导数知识求解曲线的切线方程及函数

16、最值。【规范解答】（）当a=1时，f（x）=，f（2）=3；f(x)=, f(2)=6.所以曲线y=f（x）在点（2，f（2）处的切线方程为y-3=6（x-2），即y=6x-9.（）f(x)=.令f(x)=0，解得x=0或x=.以下分两种情况讨论：若，当x变化时，f(x)，f（x）的变化情况如下表：X0f(x)+0-f(x)极大值 当等价于 解不等式组得-5a2，则.当x变化时，f(x),f（x）的变化情况如下表：X0f(x)+0-0+f(x)极大值极小值当时，f（x）0等价于即解不等式组得或.因此2a5. 综合（1）和（2），可知a的取值范围为0a0，此时，函数单调递减；当时，0，此时，函数

17、单调递增.当时，由，即 ，解得. 当时， ， 恒成立，此时，函数在（0，+）上单调递减; 当时， ，时，,此时,函数单调递减时，0,此时,函数单调递增时，此时，函数单调递减 当时，由于,时，,此时,函数单调递减：时，0时，令,解得=,所以当0 时，在上递增。所以x=是在（0， + ）上的唯一极致点，且是极小值点，从而也是的最小值点。（2）当a0时，在（0，+）递增，无最小值。故（）由（）知由由所以所以又所以当时，17.（2010陕西高考理科2）已知函数 （）若曲线与曲线相交，且在交点处有相同的切线，求的值及该切线的方程；（）设函数,当存在最小值时，求其最小值的解析式；（）对（）中的和任意的，证

18、明：【命题立意】本题将导数、不等式知识有机的结合在一起，考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数求函数的最值问题，考查了分类讨论的数学思想以及解不等式的能力；考查了学生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力。【思路点拨】曲线与在交点处有相同的切线交点坐标的值及该切线的方程；由利用导数法求的最小值的解析式利用基本不等式证明（）【规范解答】（） 两条曲线交点的坐标为（e2,e），切线的斜率为所以切线的方程为（）由已知条件知当0时，令,解得=,所以当0 时，在上递增。所以x=是在（0， + ）上的唯一极致点，且是极小值点，从而也是的最小值点。（2）当a0时，在（0，+）递增，无最小值。故（）由（）

19、知综上可得：【方法技巧】不等式的证明方法1证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法仍是证明不等式的最基本方法要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点2在证明不等式前，要依据题设和待证不等式的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法通过等式或不等式的运算，将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式，从而使原不等式得到证明；反之亦可从明显的、熟知的不等式入手，经过一系列的运算而导出待证的不等式，前者是“执果索因”，后者是“由因导果”，为沟通联系的途径，证明时往往联合使用分析综合法，两面夹击，相辅相成，达到欲证的目的1

20、8.（2010湖南高考理科4）已知函数对任意的，恒有。（）证明：当时，；（）若对满足题设条件的任意b，c，不等式恒成立，求M的最小值.知识点检索号新课标：4【命题立意】以二次函数为载体，考查导数，不等式的证明，消元等知识。认真的考查了等价转化的思想.【思路点拨】（1）在对任意的，恒有下可以得到b,c的关系，目标是证明当时，其实是寻找条件和目标的关系，连接的纽带是b和c的关系.（2）恒成立，转化为求函数的最值，而且是二元函数的最值的求法，没有等式的条件下常常用整体消元.【规范解答】（1）易知f(x)=2x+b.由题设，对任意的x恒成立，所以(b-2)2+-4(c-b)0,从而c于是c1，且c|b

21、|,因此2c-b=c+(c-b)0.故当x0时，有(x+c)2-f(x)=(2c-b)x+c(c-1)0.即当x0时，.(2)由（1）知，c|b|时，有M当c=|b|时，由（1）知，b=2,c=2.此时f(c)-f(b)=-8或0，c2-b2=0,从而f(c)-f(b).综上所述，M的最小值为.【方法技巧】求最值是高考中重点也是难点。解题的思路是，首先看变量的个数，如果是三个变量常有三条路，一是利用柯西不等式、均值不等式和排序不等式，二是消元转化为二元再转化为一元，三是有时利用几何背景解题。如果是两个变量常常有三条路可走，一是利用柯西不等式、均值不等式，二是消元转化为一元函数，三是如果条件是不

22、等式，常常也可以数学规划.如果是一个变量，常用方法：基本函数模型，单调性法和导数法.19.（2010辽宁高考文科21）已知函数f(x)=(a+1)lnx+ax2+1.()讨论函数f(x)的单调性；()设a-2，证明：对任意x2,x2(0,+)，|f(x1)-f(x2)|4|x1-x2|.【命题立意】本题考查了函数的单调性与导数，求参数的取值范围，考查了分类讨论、转化等思想方法以及运算推理能力。【思路点拨】（I）求导数，对参数分类，讨论导数的符号，判断单调性， （II）转化为等价命题，构造新函数g(x)=f(x)+4x,通过g(x)r的单调性证明。【规范解答】【方法技巧】讨论函数的单调性首先要明

23、确函数的定义域，一般用导数的方法，对参数分类做到不重不漏。2、直接证明一个命题，不好证时可考虑证明它的等价命题。20.（2010辽宁高考理科21）已知函数（I）讨论函数的单调性；（II）设.如果对任意，求的取值范围。【命题立意】本题考查了函数的单调性与导数，求参数的取值范围，考查了分类讨论、转化等思想方法以及运算能力。【思路点拨】（I）求导数，对参数分类，讨论导数的符号，判断单调性， （II）转化为等价命题，构造新函数g(x)=f(x)+4x,分离参数，求a的范围。【规范解答】【方法技巧】讨论函数的单调性首先要明确函数的定义域，一般用导数的方法，对参数分类做到不重不漏。求参数的取值范围往往要分

24、离变量，分离时一定要使分离后的式子有意义，如分母不为0等。直接证明一个命题，不好证时可考虑证明它的等价命题。21.（2010天津高考理科2）已知函数（）求函数的单调区间和极值；（）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，证明当时，（III）如果，且，证明【命题立意】本小题主要考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及用函数思想分析解决问题的能力。【思路点拨】利用导数及函数的性质解题。【规范解答】（）解：f，令f(x)=0,解得x=1，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表x()1()f(x)+0-f(x)极大值所以f(x)在()内是增函数，在()内是减函数。函数f(x)在x=1处取得极大值f(1)且f(1)=（）证明：由题意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)令F(x)=f(x)-g(x),即于是当x1时，2x-20,从而(x)0,从而函数F（x）在1,+)是增函数。又F(1)=F(x)F(1)=0,即f(x)g(x).()证明