北师大九年级数学特殊的平行四边形证明题(共8页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上1如图，已知E，F，G，H分别是四边形ABCD四边形的中点；（1）当满足条件四边形EFGH是矩形；（2）当满足条件四边形EFGH是菱形；（3）当满足条件四边形EFGH是正方形2已知，如图，四边形ABCD是菱形，B是锐角，AFBC于点F，CHAD于点H，在AB边上取点E，使得AE=AH，在CD边上取点G，使得CG=CF，连接EF、FG、GH、HE（1）求证：四边形EFGH是矩形；（2）当B为多少度时，四边形EFGH是正方形？并证明3如图，根据图形解答下列问题（1）如图，以ABC三边向外分别作等边ACD、ABE、BCF，证明四边形ADFE是平行四边形（2）ABC满足什么条

2、件时，四边形ADFE是矩形？（3）ABC满足什么条件时，四边形ADFE是菱形？（4）ABC满足什么条件时，四边形ADFE是正方形？4） 如图（1），RtABC中，ACB=90，中线BE、CD相交于点O，点F、G分别是OB、OC的中点（1）求证：四边形DFGE是平行四边形；（2）如果把RtABC变为任意ABC，如图（2），通过你的观察，第（1）问的结论是否仍然成立（不用证明）；（3）在图（2）中，试想：如果拖动点A，通过你的观察和探究，在什么条件下四边形DFGE是矩形，并给出证明；（4）在第（3）问中，试想：如果拖动点A，是否存在四边形DFGE是正方形或菱形？如果存在，画出相应的图形（不用证明）

3、5如图1，正方形ABCD的对角线相交于点M，正方形MNPQ与正方形ABCD全等，MN、MQ分别交正方菜ABCD的边于E、F两点（1）试判断ME与MF之间的数量关系，并给出证明（2）若将题中的“正方形MNPQ与正方形ABCD”改为“矩形MNPQ与矩形ABCD”，且BC=2AB，其他条件不变，当矩形MNPQ与矩形ABCD的位置如图2所示时，请判断ME与MF之间的数量关系，并给出证明6如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别为边BC、CD的中点，AF、DE相交于点G，则可得结论：AF=DE，AFDE（不须证明）（1）如图，若点E、F不是正方形ABCD的边BC、CD的中点，但满足CE=DF，则上面的结

4、论、是否仍然成立；（请直接回答“成立”或“不成立”）（2）如图，若点E、F分别在正方形ABCD的边CB的延长线和DC的延长线上，且CE=DF，此时上面的结论、是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由（3）如图，在（2）的基础上，连接AE和EF，若点M、N、P、Q分别为AE、EF、FD、AD的中点，请先判断四边形MNPQ是“矩形、菱形、正方形”中的哪一种，并写出证明过程7如图，E是矩形ABCD边BC的中点，P是AD边上一动点，PFAE，PHDE，垂足分别为F，H（1）当矩形ABCD的长与宽满足什么条件时，四边形PHEF是矩形？请予以证明；（2）在（1）中，动点P运动到什么位置时

5、，矩形PHEF变为正方形？为什么？8）如图，在正方形纸片ABCD中，对角线AC，BD交于点O，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合展开后，折痕DE分别交AB，AC于点G，E，连接GF（1）求AGD的度数；（2）证明四边形AEFG是菱形；9已知：如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点（1）求证：ABMDCM；（2）判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；（3）当AD：AB= ： 时，四边形MENF是正方形（只写结论，不需证明）10如图，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上，且

6、PE=PB，PE交CD于点F，连接DE（1）请判断PDE的形状，并给予证明；（2）把正方形ABCD改为菱形，其它条件不变（如图），若ABC=56，求DPE的度数11在综合实践活动课中，王老师出了这样一道题：如图1，在矩形ABCD中，M是BC的中点，过点M作MEAC交BD于点E，作MFBD交AC于点F求证：四边形OEMF是菱形做完题后，同学们按照老师的要求进行变式或拓展，提出新的问题让其它同学解答（1）小明同学说：“我把条件中的矩形ABCD改为菱形ABCD，如图2所示，发现四边形OEMF是矩形”请给予证明；（2）小芳同学说：“我把条件中的点M是BC的中点改为点M是BC延长线上的一个动点，发现点F

7、落在AC的延长线上，如图3所示，此时OB、ME、MF三条线段之间存在某种数量关系”请你写出这个结论，并说明理由12在菱形ABCD和正三角形BGF中，ABC=60，P是DF的中点，连接PG、PC（1）如图1，当点G在BC边上时，易证：PG=PC（不必证明）（2）如图2，当点F在AB的延长线上时，线段PC、PG有怎样的数量关系，写出你的猜想，并给与证明；（3）如图3，当点F在CB的延长线上时，线段PC、PG又有怎样的数量关系，写出你的猜想（不必证明）13（1）如图，正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，EAF=45，延长CD到点G，使DG=BE，连结EF，AG求证：EF=FG（2） 如图

8、，等腰直角三角形ABC中，BAC=90，AB=AC，点M，N在边BC上，且MAN=45，若BM=1，CN=3，求MN的长14已知：如图，ABC中，BAC的平分线交BC于点D，E是AB上一点，且AE=AC，EFBC交AD于点F，求证：四边形CDEF是菱形。14解：AD是BAC的平分线，CAD=DAE，在ABD和ADE中， AEAB CADDAE ADAD ，ABDADE，BD=DE，同理BAFEAF，BF=EF，在BFD和EDF中， BDDE DFDF BFEF ，BFDEDF，BFD=DFE，又EFBC，DFE=FDC，BFD=BDF，BF=BD，BF=BD=EF=DE，四边形BDEF是菱形1

9、3（1）证明：在正方形ABCD中，ABE=ADG，AD=AB，在ABE和ADG中，ABEADG（SAS），BAE=DAG，AE=AG，EAG=90，在FAE和GAF中，FAEGAF（SAS），EF=FG（2）解：如图2，过点C作CEBC，垂足为点C，截取CE，使CE=BM连接AE、ENAB=AC，BAC=90，B=C=45CEBC，ACE=B=45在ABM和ACE中，ABMACE（SAS）AM=AE，BAM=CAEBAC=90，MAN=45，BAM+CAN=45于是，由BAM=CAE，得MAN=EAN=45在MAN和EAN中，MANEAN（SAS）MN=EN在RtENC中，由勾股定理，得EN2

10、=EC2+NC2MN2=BM2+NC2BM=1，CN=3，MN2=12+32，MN=12解答：（1）提示：如图1：延长GP交DC于点E，利用PEDPGF，得出PE=PG，DE=FG，CE=CG，CP是EG的中垂线，在RTCPG中，PCG=60，PG=PC（2）如图2，延长GP交DA于点E，连接EC，GC，ABC=60，BGF正三角形GFBCAD，EDP=GFP，在DPE和FPG中DPEFPG（ASA）PE=PG，DE=FG=BG，CDE=CBG=60，CD=CB，在CDE和CBG中，CDECBG（SAS）CE=CG，DCE=BCG，ECG=DCB=120，PE=PG，CPPG，PCG=ECG=

11、60PG=PC11）证明：MEAC，MFBD，四边形OEMF是平行四边形又四边形ABCD是菱形，ACBD，即EOF=90，四边形OEMF是矩形（2）结论：OB=ME-MF理由如下：MEAC，MFBD，四边形OEMF 是平行四边形，OE=MF，又四边形ABCD是矩形，OB=1 2 BD，OC=1 2 AD，且AC=BD，OB=OC，OBC=OCB，由MEAC可知，OCB=EMB，BE=ME，OB=BE-OE=ME-MF10（1）PDE为等腰直角三角形证明：在正方形ABCD中，BC=DC，BCP=DCP=45，在BCP和DCP中，BCDC BCPDCP PCPC BCPDCP（SAS）；CBP=C

12、DP，PD=PBPE=PB，CBP=CEP，PD=PECFE=PFD（对顶角相等）180-PFD-CDP=180-CFE-CEP即DPE=DCE=90PDE为等腰直角三角形（2）解：ABCDDCE=ABC，DPE=DCEDPE=ABCABC=56DPE=569（1）证明：四边形ABCD是矩形，AB=CD，A=D=90，又M是AD的中点，AM=DM在ABM和DCM中， ABCD AD AMDM ，ABMDCM（SAS）（2）解：四边形MENF是菱形证明如下：E，F，N分别是BM，CM，CB的中点，NEMF，NE=MF四边形MENF是平行四边形由（1），得BM=CM，ME=MF四边形MENF是菱形

13、（3）解：2：1当AD：AB=2：1时，四边形MENF是正方形理由：M为AD中点，AD=2AMAD：AB=2：1，AM=ABA=90，ABM=AMB=45同理DMC=45，EMF=180-45-45=90四边形MENF是菱形，菱形MENF是正方形8：（1）根据折叠的对称性，可知ADG=BDG=22.5四边形ABCD是正方形，DCG=45，AGD=45+67.5=112.5证明：（2）由对称性，可知AE=EF，AG=FG，AEG=90-22.50=67.5，AGE=180-112.5=67.5，AE=AG，AE=AG=EF=GF，四边形AEFG是菱形；证明：（3）EFBD，AOBD，EFAC，D

14、OGDFE，OG EF =DO DF = 2 2 ，EF= 2 OG，在直角三角形BEF中，EBF=45，BE= 2 EF=2OG7：（1）AD=2AB证明：四边形ABCD是矩形，AD=BC，AB=CD；E是BC的中点，AB=BE=EC=CD；则ABE、DCE是等腰Rt；AEB=DEC=45；AED=90；四边形PFEH中，PFE=FEH=EHP=90，故四边形PFEH是矩形；（2）点P是AD的中点时，矩形PHEF变为正方形；理由如下：由（1）可得BAE=CDE=45；FAP=HDP=45；又AFP=PHD=90，AP=PD，RtAFPRtDHP；PF=PH；在矩形PFEH中，PF=PH，故P

15、FEH是正方形6解：（1）DF=CE，AD=DC，且ADF=DCE，DECAFD；结论、成立（1分）（2）结论、仍然成立理由为：四边形ABCD为正方形，AD=DC=CB且ADC=DCB=90，在RtADF和RtECD中 ADDC ADCDCB CEDF ，RtADFRtECD（SAS），（3分）AF=DE，DAF=CDE，ADE+CDE=90，ADE+DAF=90，AGD=90，AFDE；（5分）（3）结论：四边形MNPQ是正方形（6分）证明：AM=ME，AQ=QD，MQDE且MQ=1 2 DE，同理可证：PNDE，PN=1 2 DE；MNAF，MN=1 2 AF；PQAF，PQ=1 2 AF

16、；AF=DE，MN=NP=PQ=QM，四边形MNPQ是菱形，（8分）又AFDE，MQP=90，四边形MNPQ是正方形（10分）5）解：ME=MF理由如下：如图1，过点M作MGBC于点G，MHCD于点HMGE=MHF=90M为正方形对角线AC、BD的交点，MG=MH又1+GMQ=2+GMQ=90，1=2在MGE和MHF中， 12 MGMH MGEMHF ，MGEMHF（ASA）ME=MF（2）解：ME MF =1 2 理由如下：如图2，过点M作MGBC于点G，MHCD于点HMGE=MHF=90M为矩形对角线AC、BD的交点，1+GMQ=2+GMQ=901=2在MGE和MHF中，1=2 MGE=M

17、HFMGEMHFME MF =MG MH M为矩形对角线AB、AC的交点，MB=MD=MC又MGBC，MHCD，点G、H分别是BC、DC的中点BC=2AB=4，MG=1 2 AB，MH=1 2 BCME MF =1 2 4证明证明：（1）BE、CD是中线，D、E是两边的中点DEBC且DE=1 2 BC（1分）又点F、G分别是OB、OC的中点，FGBC且FG=1 2 BCDEFG且DE=FG四边形DFGE是平行四边形（1分）解：（2）成立（1分）（3）如图，当AB=AC时，四边形DFGE是矩形（1分）作AHBC，如图所示，AB=AC，AHBCAH是BC边的中线，又BE、CD是中线，AH必过点O（

18、三角形三条中线相交于一点）（1分）DF为ABO的中位线，DFAO，即DFAH，又FG为BCO的中位线，FGBC，又FGBC，AHBC，AHFGDFG=90度又四边形DFGE是平行四边形，四边形DFGE是矩形（1分）3：（1）连接EF、DF，ABE、CBF是等边三角形，BE=AB，BF=CB，EBA=FBC=60；EBF=ABC=60-ABF；EFBACB；EF=AC=AD；同理由CDFCAB，得DF=AB=AE；由AE=DF，AD=EF即可得出四边形AEFD是平行四边形；（2）若BAC=150，则平行四边形AEFD是矩形；由（1）知四边形AEFD是平行四边形，则EAD=90时，可得平行四边形A

19、EFD是矩形，BAC=360-60-60-90=150，即ABC满足BAC=150时，四边形AEFD是矩形；（3）若AB=AC，则平行四边形AEFD是菱形；此时AE=AB=AC=AD，即ABC是等腰三角形；故ABC满足AB=AC时，四边形AEFD是菱形；（4）综合（2）（3）的结论知：当ABC是顶角BAC是150的等腰三角形时，四边形AEFD是正方形2）如图，连结BD，FH，可证得四边形AFCH为矩形，AH=CF=AE=CG，AE：AB=AH：AD，AEHABD，AEH=ABD，EH：BD=AE：AB，EHBD，同理FGBD，FG：BD=DF：CB，EHFG，EH：BD=FG：BD，EH=FG，四边形EFGH是平行四边形，BE=BF，EBD=FBD，BDEF，EHEF，EFGH是矩形；（2）当B等于45度时，四边形EFGH是正方形，理由如下：在正方形EFGH中，EHF=45，FEH=FAH=90，AEFH四点共圆，EAF=EHF=45，ABC=45B等于45度时，四边形EFGH是正方形专心-专注-专业