周矶中学圆的证明与计算第1问证切线(连半径证垂直)第2问计算(共30页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上圆的证明与计算第1问证切线（连半径证垂直）第2问计算1.（内蒙古呼和浩特8分）如图所示，AC为O的直径且PAAC，BC是O的一条弦，直线PB交直线AC于点D，（1）求证：直线PB是O的切线；（2）求cosBCA的值【答案】（1）证明：连接OB、OP 且D=D， BDCPDO。DBC=DPO。BCOP。BCO=POA ，CBO=BOP。OB=OC，OCB=CBO。BOP=POA。又OB=OA， OP=OP， BOPAOP（SAS）。PBO=PAO。又PAAC， PBO=90。 直线PB是O的切线 。（2）由（1）知BCO=POA。设PB，则BD=，又PA=PB，AD=。

2、又 BCOP ，。 。 cosBCA=cosPOA=。 【考点】切线的判定和性质，平行的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义，勾股定理，切线长定理。【分析】（1）连接OB、OP，由，且D=D，根据三角形相似的判定得到BDCPDO，可得到BCOP，易证得BOPAOP，则PBO=PAO=90。（2）设PB，则BD=，根据切线长定理得到PA=PB，根据勾股定理得到AD=，又BCOP，得到DC=2CO，得到，则，利用勾股定理求出OP，然后根据余弦函数的定义即可求出cosBCA=cosPOA的值。2.（内蒙古巴彦淖尔、赤峰12分）如图，等圆O1 和O2 相交于A

3、,B两点，O2 经过O1 的圆心O1,两圆的连心线交O1于点M，交AB于点N,连接BM,已知AB=2。（1） 求证：BM是O2的切线；（2）求 的长。 【答案】解（1）证明：连结O2B，MO2是O1的直径，MBO2=90。BM是O2的切线。(2)O1B=O2B=O1O2，O1O2B=60。AB=2，BN=，O2B=2。=。【考点】切线的判定和性质，相交两圆的性质，锐角三角函数，特殊角的三角函数值，弧长的计算。【分析】（1）连接O2B，由MO2是O1的直径，得出MBO2=90从而得出结论：BM是O2的切线。（2）根据O1B=O2B=O1O2，则O1O2B=60，再由已知得出BN与O2B，从而计算

4、出弧AM的长度。3.（2012浙江省义乌市，20，8分）如图,已知AB是O的直径,点C、D在O上,点E在O外,EAC=D=60. （1）求ABC的度数；（2）求证：AE是O的切线； （3）当BC=4时，求劣弧AC的长.【解析】（1）根据相等的弧长对应的圆周角相等，得ABC=D =60。（2）直径对应的圆周角为直角，则由三角形内角和为180，得出BAC的大小，继而得出BAE的大小为90，即AE是O的切线。（3）由题意易知，OBC是等边三角形，则由劣弧AC对应的圆心角可求出劣弧AC的长。3解：（1）ABC与D都是弧AC所对的圆周角 ABC=D =60 2分（2）AB是O的直径 ACB=90 3分B

5、AC=30BAE =BACEAC=3060=90 4分即BAAE AE是O的切线 5分OABCDE（3） 如图，连结OCOB=OC,ABC=60OBC是等边三角形OB=BC=4 , BOC=60AOC=1207分劣弧AC的长为 8分【点评】此题考查圆弧的长与其对应的圆心角、圆周角的关系，及三角形的内角和为180。相等的弧长对应的圆周角、圆心角相等4. ( 2012年浙江省宁波市,23,8)如图在ABC中,BE是它的角平分线,C=900,D在AB边上,以DB为直径的半圆O经过点E交BC于点F.(1)求证:AC是O的切线;(2)已知sinA=,O的半径为4,求图中阴影部分的面积.【解析】1）连接O

6、E，OB=OEOBE=OEB.BE是ABC角平分线,OBE=EBC,OEB=EBC, OEBC,C=900,AEO=C=900,AC是O切线. 连接OFsinA= ，A=30 O的半径为4，AO=2OE=8，AE=4 ，AOE=60，AB=12，23题图 BC= AB=6 AC=6 ，CE=AC-AE=2 OB=OF，ABC=60，OBF是正三角形FOB=60，CF=6-4=2，EOF=60S梯形OECF= （2+4）2 =6 S扇形EOF=6042 360 = S阴影部分=S梯形OECF-S扇形EOF6-【答案】（1）连接OE，OB=OEOBE=OEB.BE是ABC角平分线,OBE=EBC,

7、OEB=EBC, OEBC,C=900,AEO=C=900,AC是O切线.(2) 6-【点评】本题考查了切线的判定与性质及扇形面积的计算，解题的关键是连接圆心和切点，利用过切点且垂直于过切点的半径来判定切线5. (2012山东省聊城，24，10分）如图，O是ABC外接圆，AB=AC=10，BC=12，P是弧上一动点，过点P作BC的平行线交AB延长线与点D.（1）当点P在什么位置时，DP是O的切线？说明理由.（2）当DP是O的切线时，求DP的长.解析：（1）根据PD/BC，可以天加辅助线由切线判定定理解题；（2）根据勾股定理与垂径定理求出O半径r，再结合ABEADP即可.解：（1）当P是BC中点

8、时，DP是O的切线.理由如下：AB=AC，又PA是O的直径.又AB=AC，PABC.DP/BC，PDAP.DP是O的切线.（2）连接OB，设PA交BC于点E.由垂径定理得，BE=.在RtABE中，据勾股定理，.设O的半径为r，则OE=8-r.在RtOBE中，.解得r=.DP/BC，ABE=D.又1=1，ABEADP.，即，DP=点评：本题是一道综合试题，以圆为载体考查了圆的基本知识、圆的切线、平行线、勾股定理、相似三角形、方程思想等，解题要冷静、细心、充分拓展数学核心知识，达到灵活解决问题.6(2012山东德州中考,21,10,)如图，点A，E是半圆周上的三等分点，直径BC=2，垂足为D，连接

9、BE交AD于F，过A作BE交BC于G（1）判断直线AG与O的位置关系，并说明理由（2）求线段AF的长ABCEDFGO21【解析】（1）由题意可知点A是弧的中点，由垂径定理即可得出： OABE，又AGBE，OAAG所以AG和O的半径垂直，直线AG与O的位置关系相切（2）要求AF的长，先由已知得出AOB为等边三角形；在求出AD、BD的长，在RtBDF中由三角函数求出DF的值，然后求出AF=ADDF解：（1）AG与O相切. （1分）ABCEDFGO证明：连接OA，点A，E是半圆周上的三等分点，弧BA、AE、EC相等，点A是弧BE的中点，OABE又AGBE，OAAGAG与O相切 （5分）（2）点A，E

10、是半圆周上的三等分点，AOB=AOE=EOC=60又OA=OB，ABO为正三角形（6分）又ADOB，OB=1，BD=OD=， AD=（8分）又EBC=30，在RtFBD中， FD=BDtanEBC= BD tan30=，AF=ADDF=-=（10分）【点评】本题综合考查了圆与解直角三角形的相关知识，垂径定理和三角函数的定义考查是中考中的常考问题之一，需要重点掌握次知识7. (2012山东省临沂市，23，9分）如图，点A、B、C分别是O上的点，B=600，AC=3，CD是O的直径，P是CD延长线上的一点，且AP=AC.(1)求证：AP是O的切线；（2）求PD的长。【解析】（1）证明AP是O的切线

11、，连接OA，只需证明半径与直线的夹角是900，即PAO=900便可。（2）CD是O的直径，连接AD，ADC=900，又B=600，AC=3，应用三角函数可求得PD=AD=ACtan300=.解：（1）证明: 连接OA，B=600，AOC=2B=1200,OA=OC,ACP=CAO=300,AOP=600,又AP=AC.P=ACP=300，OAP=900，即OAAP,AP是O的切线；(2) CD是O的直径，连接AD，CAD=900，AD=ACtan300=.ADC=B=600，PAD=ADC-P=300,P=PAD,PD=AD=.【点评】本题考查了切线的判定与性质：过半径的外端点与半径垂直的直线

12、是圆的切线；也考查了圆周角定理的推论以及三角函数的应用要求学生掌握常见的解题方法，并能结合图形选择简单的方法解题8（2012北京，20，5）已知：如图，是的直径，是上一点，于点，过点作的切线，交 的延长线于点，连结（1）求证：与相切；（2）连结并延长交于点，若，求的长【解析】圆与直线的位置关系；相似和三角函数【答案】（1）证明：连结OCODBC所以EOC=EOB在EOC和EOB中EOCEOB（SAS）OBE=OCE=90BE与O相切（2）解：过点D作DHABODHOBDOD：OB=OH：OD=DH：BD又sinABC=OD=6OH=4，OH=5，DH=2又ADHAFBAH：AB=DH：PB13

13、:18=2:FBFB=【点评】（1）利用全等三角形求出角度为90，即得到相切的结论。（2）利用三角形相似和三角函数求出三角形各线段的长。9（2012浙江省温州市，22，10分）如图，ABC中，D是边AB上一点，且是BC边上的一点，以EC为直径的经过点D。（1）求证：AB是的切线；（2）若CD的弦心距为1，BE=EO，求BD的长。【解析】欲证AB是的切线，只需证明ODAB欲求BD的长，只需利用特殊的三角函数值或勾股定理即可。【答案】（1）证明：连结OD，DOB=2DCB，又A=2DCB，A=DOBA+B=90，BDO=90，ODAB，AB是O的切线（2）解法一：过点O作OMCD于点M，OD=OE

14、=BE=BO， BDO=90，B=30，DOB=60，DCB=30，OC=2OM=2，OD=2，BO=4，BD=解法二：过点O作OMCD于点M，连结DE，OMCD， CM=DM又OC=OE，DE=2OM=2，RtBDO中，OE=BE，BO=4，OD=OE=2，BD=【点评】本题涉及到圆的切线性质，勾股定理等知识考查.本题运用圆的切线性质是关键，圆的切线是圆的重点内容之一，也是中考考点内容之一，该题难度较小.10（2012湖北襄阳，25，10分）如图11，PB为O的切线，B为切点，直线PO交O于点E，F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交O于点A，延长AO与O交于点C，连接BC，AF（1）求

15、证：直线PA为O的切线；（2）试探究线段EF，OD，OP之间的等量关系，并加以证明；（3）若BC6，tanF，求cosACB的值和线段PE的长图11ACBDEFOP【解析】（1）要证PA是O的切线，只要连接OB，再证PAOPBO90即可（2）OD，OP分别是RtOAD，RtOPA的边，而这两个三角形相似且这两边不是对应边，所以可证得OA2ODOP，再将EF2OA代入即可得出EF，OD，OP之间的等量关系（3）利用tanF，得出AD，OD之间的关系，据此设未知数后，根据ADBD，ODBC3，AOOCOFFDOF，将AB，AC也表达成含未知数的代数式，再在RtABC中运用勾股定理构建方程求解【答案

16、】解：（1）证明：如下图，连接OB，PB是O的切线，PBO90OAOB，BAPO于D，ADBD，POAPOB又POPO，PAOPBOPAOPBO90直线PA为O的切线ACBDEFOP（2）EF24ODOP证明：PAOPDA90，OADAOD90，OPAAOP90OADOPAOADOPA，即OA2ODOP又EF2OA，EF24ODOP（3）OAOC，ADBD，BC6，ODBC3设ADx，tanF，FD2x，OAOF2x3在RtAOD中，由勾股定理 ，得(2x3)2x232解之得，x14，x20（不合题意，舍去）AD4，OA2x35AC是O的直径，ABC90而AC2OA10，BC6，cosACBO

17、A2ODOP，3(PE5)25PE【点评】本题考查了切线的判定、相似三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，综合性很强，并富有探究性要证某线是圆的切线，若已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可；若此线与圆的切点未知，可以过圆心作这条直线的垂线段（即为垂直），再证半径即可另外，与圆有关的探究、计算问题，多与相似三角形和勾股定理有关，上来从这方面着手分析思考，有利于思路的快速打开11. （2012湖北省恩施市，题号23 分值12）如图11，AB是O的弦，D是半径OA的中点，过D作CDOA交弦AB于点E，交O于F，且CE=CB。（1）求证：BCO是的切线；（2）连接AF、BF，求

18、ABF的度数；（3）如果CD=15，BE=10，sinA=，求O的半径。【解析】（1）连接OB，证OBBC，即证OBE+EBC=90。通过OA=OB，CE=CB，AED=BEC，可将OBE、EBC分别转化为A、AED，结合CDOA可证OBE+EBC=90；（2）连接OF，由CD垂直平分OA得AF=OF=OA，再结合圆心角与圆周角关系易求ABF的度数；，（3）作CGBE于G，得A=ECG，CG是BE垂直平分线，由CD=15，BE=10，sinA=，可求EG、CE、CG、DE长度，通过ADECGE可求AD，从而计算半径OA。【答案】（1）证明：连接OB。OA=OB，A=OBE。CE=CB，CEB=

19、EBC，AED =EBC，AED = EBC，又CDOA A+AED=OBA+EBC=90，BCO是的切线；（2）CD垂直平分OA，OF=AF，又OA=OF，OA=OF=AF，O=60，ABF=30；（3）作CGBE于G，则A=ECG。CE=CB，BD=10，EG=BG=5，sinECG=sinA=，CE=13，CG=12.又CD=15，DE=2。ADECGE，即，AD=，OA=，即O的半径是。【点评】本题将多个知识点结合在一起，问题设计层层递进，梯度鲜明，是一道中档偏上的题，有一定区分度我们必须学会由已知条件寻找相应的定理、性质的基本图形，以及在不能直接根据已知条件解决问题时，要学会运用转化

20、的思想。12、（2012甘肃兰州，26,10分）如图，RtABC中，ABC=90，以AB为直径的O交AC于点D，E是BC的中点，连结DE、OE。第26题图（1）判断DE与O的位置关系并说明理由；（2）求证：BC2=2CDOE；（3）若tanC=，DE=2，求AD的长.解析：（1）连接OD，BD，求出ADB=BDC=90，推出DE=BE=CE，推出EDB=EBD，OBD=ODB，推出EDO=EBO=90即可；（2）由题意可得OE是ABC的中位线，即AC=2OE，易证ABCBDC，可得BC2=CDAC，把AC=2OE代入即可；（3）由tanC= ，可设BD=，CD=2x，在RtBCD中，由勾股定理

21、得出，求出x，求出BD，再根据tanABD=tanC求出，代入求出即可解：（1）DE与O相切.理由如下：连接OD,BDAB是直径， ADB=BDC=90.E是BC的中点,DE=BE=CE.EBD=EDB.OD=OB,OBD=ODB.EDO=EBO=90. （用三角形全等也可得到）DE与O相切.（2）由题意可得OE是ABC的中位线，AC=2OEABC=BDC=90, C=CABCBDC,即BC2=CDAC (另：用射影定理直接得到也可)BC2=2CDOE（3）tanC=，可设BD=，CD=2x，在RtBCD中，BC=2DE=4，BD2+CD2=BC2()2+（2x）2=16，解得：x=（负值舍去

22、）BD=ABD=C，tanABD=tanC答：AD的长是点评：本题综合考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上中线性质，切线的判定等知识点，主要培养学生分析问题和解决问题的能力，注意：证切线的方法，方程思想的运用13（2012贵州遵义，24, 分）如图，OAC中，以O为圆心，OA为半径作O，作OBOC交O于B，垂足为O，连接AB交OC于点D，CAD=CDA（1）判断AC与O的位置关系，并证明你的结论；（2）若OA=5，OD=1，求线段AC的长解析：（1）根据已知条件“CAD=CDA”、对顶角BDO=CDA可以推知BDO=CAD；然后根据等腰三角形OAB的两个底角相等、直角三角形的

23、两个锐角互余的性质推知B+BDO=OAB+CAD=90，即OAC=90所以线段AC是O的切线；（2）根据“等角对等边”可以推知AC=DC，所以由图形知OC=OD+CD；然后利用（1）中切线的性质可以在在RtOAC中，根据勾股定理来求AC的长度答案：解：（1）线段AC是O的切线；理由如下：CAD=CDA（已知），BDO=CDA（对顶角相等），BDO=CAD（等量代换）；又OA=OB（O的半径），B=OAB（等边对等角）；OBOC（已知），B+BDO=OAB+CAD=90，即OAC=90，线段AC是O的切线；（2）设AC=xCAD=CDA（已知），DC=AC=x（等角对等边）；OA=5，OD=1，

24、OC=OD+DC=1+x；由（1）知，AC是O的切线，在RtOAC中，根据勾股定理得，OC2=AC2+OA2，即（1+x）2=x2+52，解得x=12，即AC=12点评：本题综合考查了勾股定理、切线的判定与性质欲证某线是圆的切线，只需证明连接圆心与此线过圆上的点的线段（圆的半径）与该直线垂直即可14.（2012贵州省毕节市，26，14分）如图，AB是O的直径，AC为弦，D是 的中点，过点D作EFAC的延长线于E，交AB的延长线于E，交AB的延长线于F.（1）求证：EF是O的切线.（2）若F=,AE=4,求O的半径和AC的长.解析：（1）连接OD，根据圆周角定理，可得BOD=A，则ODAC，从而

25、得出ODF=90，即EF是O的切线；（2）先解直角AEF，由sinF= ，得出AF=3AE=12，再在直角ODF中，由sinF= ，得出OF=3OD，设O的半径为R，由AF=12列出关于R的方程，解方程即可求出O的半径；连接BC，证明BCEF，根据平行线分线段成比例定理得出AC：AE=AB：AF，即可求出AC的长解答：（1）证明：连接OD，D是 的中点，BOD=A，ODAC，ODAC，EFAC，E=90，ODF=90，即EF是O的切线；（2）解：在AEF中，E=90，sinF=，AE=4，AF=设O的半径为R，则OD=OA=OB=R，AB=2R在ODF中，ODF=90，sinF=，OF=3OD

26、=3ROF+OA=AF，3R+R=12，R=3连接BC，则ACB=90E=90，BCEF，AC：AE=AB：AF，AC：4=2R：4R，AC=2故O的半径为3，AC的长为2点评：本题考查了切线的判定，圆周角定理，解直角三角形及平行线分线段成比例定理，难度中等，综合性较强15（2012四川达州，22，7分）(7分)如图，C是以AB为直径的O上一点，过O作OEAC于点E，过点A作O的切线交OE的延长线于点F，连结CF并延长交BA的延长线于点P.（1）求证：PC是O的切线.（2）若AF=1，OA=，求PC的长. 解析：对于（1），欲证PC是O的切线，自然要联想到连接OC，证明FCO =90即可，可证

27、明OAFOCF；对于（2），由（1），可证PAFPCO，因而可得PC=PA，在直角三角形OPC中，由勾股定理可求出PC的长。答案：（1）证明：连结OCOEACAE=CEFA=FCFAC=FCAOA=OCOAC=OCAOAC+FAC=OCA+FCA即FAO=FCO .（2分）FA与O相切，且AB是O的直径FAABFCO=FAO=90PC是O的切线.（3分）（2）PC是O的切线PCO=90而FPA=OPCPAF=90PAFPCO .（4分）CO=OA=,AF=1PC=PA .（5分）设PA=，则PC=在RtPCO中，由勾股定理得 .（6分）解得：PC.（7分）点评：本题考查了切线的性质和判定，等腰

28、三角形的性质，三角形全等的判定及性质、三角形相似的判定及性质、勾股定理的运用等知识点，考查了学生作辅助线解决问题及计算能力。ACBDEO图1016. ( 2012年四川省巴中市,28,10)如图10,四边形ABCD是平行四边形,以AB为直径的圆O经过点D,E是O上一点,且ADE=450.(1) 判断CD与O的位置关系,并说明理由;(2) 若O的半径为6,AE=10,求ADE的正弦值.【解析】（1）连接BD、DC，则DBA=E=450, AB是O的直径，ADB=900, 即ABD是等腰直角三角形 DCAB,ACBDEO28题图答案图 又ABCD ODDC CD与O相切.(3) 连接BE,ADE=

29、ABE,AEB=900 sinADE= sinABE=【答案】相切 【点评】本题综合考查了圆周角及推论，直线与圆的位置关系的判定，准确连接辅助线是解决问题的关键。17(2012广安中考试题第25题，9分)（9分）如图11，在ABC中，ABC=ACB，以AC为直径的O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且CAB=2BCP。（1）求证：直线CP是O的切线；（2）若BC=2，sinBCP=，求点B到AC的距离；（3）在（2）的条件下，求ACP的周长。图11思路导引：添加直径所对的圆周角是解决问题的关键，由于题目中有锐角三角函数值，因此结合题目信息构造直角三角形，并且灵活运用锐角三角函数

30、、勾股定理以及相似三角形的判定方法与性质是进行点到直线距离以及三角形周长的前提.解析：（1）连接AN，ABC=ACB，AB=AC，AC是O的直径，ANBC，CAN=BAN，BN=CN，CAB=2BCP，CAN=BCP，CANACN=90，BCPACN=90，CP是O的切线.（2）过点B 作BDAC于点D，由（1）得BN=CN=BC=，ANBC，sinCAN=,又CAN=BCP，sinBCP=，=，AC=5，在RtCAN中，AN=，在CAN和CBD中，ANC=BDC=90，ACN=BCD，CANCBD，BD=4.（3）在RtBCD中，CD=2，AD=ACCD=52=3，BDCP，,CP=,在Rt

31、APC中，AP=，APC的周长是ACPCAP=20；点评：与直线型、圆构造的综合探究型问题，几何图形的特征、性质是构造算式、方程，函数式的基础，注意图形信息向数式信息的转，另外图形的转化一般化为特殊，也十分关键，进行图形的计算往往联系三角形的相似，是构造比例式，进行有关计算的前提，直角三角形的性质、勾股定理等在运算中也具有十分重要的作用.18（2012湖南衡阳市，26，8）如图，AB是O的直径，动弦CD垂直AB于点E，过点B作直线BFCD交AD的延长线于点F，若AB=10cm（1）求证：BF是O的切线（2）若AD=8cm，求BE的长（3）若四边形CBFD为平行四边形，则四边形ACBD为何种四边

32、形？并说明理由解析：（1）欲证明BF是O的切线，只需证明ABBF即可；（2）连接BD，在直角三角形ABD中，利用摄影定理可以求得AE的长度，最后结合图形知BE=ABAE；（3）连接BC四边形CBFD为平行四边形，则四边形ACBD是正方形根据平行四边形的对边平行、平行线的性质、圆周角定理以及同弧所对的圆周角相等可以推知CAD=BDA=90，即CD是O的直径，然后由全等三角形的判定与性质推知AC=BD；根据正方形的判定定理证得四边形ACBD是正方形答案：解：（1）AB是O的直径，CDAB，BFCD，BFAB，即BF是O的切线；（2）如图1，连接BDAB是O的直径，ADB=90（直径所对的圆周角是直

33、角）；又DEABAD2=AEAB；AD=8cm，AB=10cm，AE=6.4cm，BE=ABAE=3.6cm；（3）连接BC四边形CBFD为平行四边形，则四边形ACBD是正方形理由如下：四边形CBFD为平行四边形，BCFD，即BCAD；BCD=ADC（两直线平行，内错角相等），BCD=BAD，CAB=CDB，（同弧所对的圆周角相等），CAB+BAD=CDB+ADC，即CAD=BDA；又BDA=90（直径所对的圆周角是直角），CAD=BDA=90，CD是O的直径，即点E与点O重合（或线段CD过圆形O），如图2，在OBC和ODA中，OBCODA（SAS），BC=DA（全等三角形的对应边相等），四边

34、形ACBD是平行四边形（对边平行且相等的四边形是平行四边形）；ACB=90（直径所对的圆周角是直角），AC=AD，四边形ACBD是正方形点评：本题综合考查了切线的判定、全等三角形的判定与性质、圆周角定理、垂径定理等知识点要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可19. （2012浙江衢州8分）如图，在RtABC中，C=90，ABC的平分线交AC于点D，点O是AB上一点，O过B、D两点，且分别交AB、BC于点E、F（1）求证：AC是O的切线；（2）已知AB=10，BC=6，求O的半径r【答案】（1）证明：连接OD。 OB=OD，OBD=ODB。BD平分ABC

35、，ABD=DBCODB=DBC。ODBC。又C=90，ADO=90。ACOD，即AC是O的切线。（2）解：由（1）知，ODBC，AODABC。，即。解得，即O的半径r为。【考点】切线的判定，等腰三角形的性质，平行的判定和性质，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）连接OD欲证AC是O的切线，只需证明ACOD即可。（2）利用平行线知AODABC，即；然后将图中线段间的和差关系代入该比例式，通过解方程即可求得r的值，即O的半径r的值。20. （2012湖北荆州12分）如图甲，四边形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点在B点的抛物线交x轴于点A、D，交y轴于点E，连接AB、AE、B

36、E已知tanCBE=，A（3，0），D（1，0），E（0，3）（1）求抛物线的解析式及顶点B的坐标；（2）求证：CB是ABE外接圆的切线；（3）试探究坐标轴上是否存在一点P，使以D、E、P为顶点的三角形与ABE相似，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（4）设AOE沿x轴正方向平移t个单位长度（0t3）时，AOE与ABE重叠部分的面积为s，求s与t之间的函数关系式，并指出t的取值范围【答案】解：（1）抛物线经过点A（3，0），D（1，0），设抛物线解析式为y=a（x3）（x+1）。将E（0，3）代入上式，解得：a=1。抛物线的解析式为y=（x3）（x+1），即y=x2+2x+3。

37、又y=x2+2x+3=（x1）2+4，点B（1，4）。（2）证明：如图1，过点B作BMy于点M，则M（0，4）在RtAOE中，OA=OE=3，1=2=45，。在RtEMB中，EM=OMOE=1=BM，MEB=MBE=45，。BEA=1801MEB=90。AB是ABE外接圆的直径。在RtABE中，BAE=CBE。在RtABE中，BAE+3=90，CBE+3=90。CBA=90，即CBAB。CB是ABE外接圆的切线。（3）存在。点P的坐标为（0，0）或（9，0）或（0，）。（4）设直线AB的解析式为y=kx+b将A（3，0），B（1，4）代入，得，解得。直线AB的解析式为y=2x+6。过点E作射线

38、EFx轴交AB于点F，当y=3时，得x=，F（，3）。情况一：如图2，当0t时，设AOE平移到DNM的位置，MD交AB于点H，MN交AE于点G。则ON=AD=t，过点H作LKx轴于点K，交EF于点L由AHDFHM，得，即，解得HK=2t。=33（3t）2t2t=t2+3t。情况二：如图3，当t3时，设AOE平移到PQR的位置，PQ交AB于点I，交AE于点V。由IQAIPF，得即，解得IQ=2（3t）。=（3t）2（3t）（3t）2=（3t）2=t23t+。综上所述：。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数

39、定义，圆的切线的判定，相似三角形的性质，平移的性质。【分析】（1）已知A、D、E三点的坐标，利用待定系数法可确定抛物线的解析式，从而能得到顶点B的坐标。 （2）过B作BMy轴于M，由A、B、E三点坐标，可判断出BME、AOE都为等腰直角三角形，易证得BEA=90，即ABE是直角三角形，而AB是ABE外接圆的直径，因此只需证明AB与CB垂直即可BE、AE长易得，能求出tanBAE的值，结合tanCBE的值，可得到CBE=BAE，由此证得CBA=CBE+ABE=BAE+ABE=90，从而得证。（3）在RtABE中，AEB=90，tanBAE=，sinBAE=，cosBAE=。若以D、E、P为顶点的三角形与ABE相似，则DEP必为直角三角形。DE为斜边时，P1在x轴上，此时P1与O重合。由D（1，0）、E（0，3），得OD=1、OE=3， 即tanDEO=tanBAE，即DEO=BAE，满足DEOBAE的条件。因此 O点是符合条件的P1点，坐标为（0，0）。DE为短直角边时，P2在x轴上。若以D、E、P为顶点的三角形与ABE相似DEP2=AEB=90sinDP2E=sinBAE=。而DE=，则DP2=DEsinDP2E=10，OP2=DP2OD=9。即P2（9，0）。DE为长直角边时，点P3在y轴上。若以D、E、P为顶点的三角形与ABE相似，