2013-2014学年第一学期概率论与数理统计期末考试试卷(A卷)答案(共9页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上一（本题满分8分） 某人钥匙丢了，他估计钥匙掉在宿舍里、教室里以及路上的概率分别为、和，而钥匙在上述三个地方被找到的概率分别为、和如果钥匙最终被找到，求钥匙是在路上被找到的概率 解： 设“钥匙被找到” “钥匙掉在宿舍里”，“钥匙掉在教室里”，“钥匙掉在路上”由Bayes公式，得 二（本题满分8分） 抛掷3枚均匀的硬币，设事件，判断随机事件与是否相互独立（4分）？如果抛掷4枚均匀的硬币，判断上述随机事件与是否相互独立（4分）？ 解： 如果抛掷3枚硬币，则样本点总数为 ，所以有 ，因此此时随机事件与是相互独立的 如果抛掷4枚硬币，则样本点总数为 ，所以有 ，因此此时随机事

2、件与不是相互独立的三（本题满分8分） 设随机变量的密度函数为求： （4分）； （4分） 解： 四（本题满分8分） 某加油站每周补给一次汽油，如果该加油站每周汽油的销售量（单位：千升）是一随机变量，其密度函数为试问该加油站每次的储油量需要多大，才能把一周内断油的概率控制在以下？ 解： 设该加油站每次的储油量为则由题意，应满足，而且而 所以，应当有， 所以，得 ，即 ，因此有 因此可取（千升），即可使一周内断油的概率控制在以下五（本题满分8分） 设平面区域是由双曲线，以及直线，所围，二维随机变量服从区域上的均匀分布求： 二维随机变量的联合密度函数（4分）； 随机变量的边缘密度函数（4分） 解： 区

3、域的面积为 ，所以，二维随机变量的联合密度函数为 当时， ； 当时， 所以，随机变量的边际密度函数为 六（本题满分8分） 设随机变量与满足：，再设随机变量，求二维随机变量的相关系数 解： ， ， 所以，二维随机变量的相关系数为 七（本题满分8分） 设是取自正态总体中的一个样本试求随机变量的分布（不必求出的密度函数，只需指出是哪一种分布，以及分布中的参数即可） 解： 由于，而且与相互独立，所以 ，由于 ，而且服从二元正态分布，所以与相互独立所以，；而且与相互独立所以，八（本题满分8分） 某射手射击，他打中10环的概率为，打中9环的概率为，打中8环的概率为，打中7环的概率为，打中6环的概率为他射击

4、次，试用中心极限定理近似计算他所得的总环数介于环与环之间的概率（附表：标准正态分布分布函数的部分数值表： 解： 设表示该射手射击的第发时所得的环数，则的分布律为所以， ，所以， 因此，是独立同分布的随机变量，故 九（本题满分9分） 设随机变量与相互独立而且同分布，其中随机变量的分布列为，再设随机变量 写出随机变量的联合分布律以及与各自的边缘分布律； 问取什么值时，随机变量与相互独立？ 解： 与的联合分布列以及与各自的边际分布列为 其中； ； ； ； 如果与相互独立，则有 ，解方程 ，得并且当时，有 可以验证，此时与是相互独立的十（本题满分9分） 两台相同型号的自动记录仪，每台无故障工作的时间分

5、别为和，假设与相互独立，都服从参数为的指数分布的密度函数为 现首先开动其中一台，当其损坏停用时另一台自动开动，直至第二台记录仪损坏为止令：从开始到第二台记录仪损坏时记录仪的总共工作时间，试求随机变量的概率密度函数 解： 的密度函数为 ， 的密度函数为由题意，知 ，设的密度函数为，则 作变换 ，则 ， 当时， ；当时， 代入上式，得 当时，由，知 ；当时， 综上所述，可知随机变量的密度函数为 十一（本题满分9分） 设总体的密度函数为，其中是未知参数是从中抽取的一个样本求的最大似然估计量 解： 的似然函数为 ，则有 ，对求导，得，令，即有，解似然方程，得所以，的最大似然估计量为十二（本题满分9分） 设总体的密度函数为 ，其中是未知参数，是从该总体中抽取的一个样本 . 求未知参数的矩估计量（5分）；. 求方差（4分） 解： . ，所以， ，将用样本均值来替换，得未知参数的矩估计为 . ，而 所以，专心-专注-专业