高中数学复习学(教)案(第8讲)函数的奇偶性与周期性(共10页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上2.4函数的奇偶性与周期性【高考要求】理解函数的奇偶性的概念，了解函数的周期性的定义，掌握函数奇偶性和周期性的判定方法和图像特征；会利用函数奇偶性、周期性，分析、探究函数值、性质及图像等问题。【知识点归纳】一、奇函数、偶函数的定义：一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数。一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数。说明：1、函数的定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要不充分条件，所以判定函数的奇偶性时，首先要看定义域是否关于原点对称。2、函数按奇偶性分类：（1）奇函数：如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那

2、么函数就叫做奇函数。（2）偶函数：如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数。（3）既是奇函数又是偶函数：如果对于函数的定义域内任意一个，都有且，那么函数就既是奇函数又是偶函数。（4）非奇非偶函数：如果函数的定义域不关于原点对称或如果对于函数的定义域内任意一个，都有且，那么函数就是非奇非偶函数。3、（1）；（2）若，则。4、判断函数的奇偶性的步骤：（1）考察函数的定义域是否关于原点对称。若不关于原点对称，则可判断函数为非奇非偶函数；若关于原点对称，则继续判断下列式子哪个成立；（2）根据定义域考察表达式是否等于或。若，则函数为奇函数；若，则函数偶奇函数。若且，则函数既是奇函数又是

3、偶函数。若且，则函数为非奇非偶函数。二、奇函数、偶函数的图像与性质：1、函数为奇函数的图像关于原点对称；2、函数为偶函数的图像关于轴对称。3、若为奇函数，且在函数的定义域内，则；若函数为偶函数，则。4、奇函数在对称区间上具有相同的单调性。即：奇函数在和上有相同的单调性；偶函数在对称区间上具有相反的单调性。即：偶函数在和上有相反的单调性；5、偶函数的和、差、积、商（分母不为零）仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数；奇（偶）数个奇函数的积、商（分母不为零）为奇（偶）函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数。（注意：利用以上结论时要注意各函数的定义域）6、若奇函数存在反函数，则它的反函数也为奇函数。

4、三、判断函数奇偶性的方法：定义法、图像法、性质法。四、周期函数的概念与性质：1、周期函数的定义：对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有（或）成立，那么函数就叫做周期函数，非零常数叫做函数的一个周期。如果所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫做函数的最小正周期。以后没有特别说明，一般都是找函数的最小正周期。说明：（1）周期函数不一定有最小正周期，但若存在最小正周期，则最小正周期唯一。（2）若是函数的一个周期，则也一定是函数的周期。（3）周期函数的定义域无上、下界。2、设为正数，若对定义域内的任意，恒有下列条件之一成立：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）

5、；（6）。则是它的一个周期。（证明略）3、若的图像同时关于与对称,则是周期函数，是它的一个周期；证明：的图像同时关于与对称， 是周期函数，是它的一个周期。4、若的图像关于对称同时关于点对称,则是周期函数，是它的一个周期；证明：的图像关于对称同时关于点对称， 是周期函数，是它的一个周期。5、若的图像关于点对称同时关于点对称,则是周期函数，是它的一个周期；证明：的图像同时点与点对称， 是周期函数，是它的一个周期。【基础自测】步步高 学生用书 基础自测【题型讲解】例1、判断下列函数的奇偶性，并说明理由。（1） （2）（3） （4）练习1、判断下列各函数的奇偶性：（1） （2） （3）例2、设，函数。

6、（1）讨论的奇偶性；（2）求的最小值。练习2、已知，（1）判断的奇偶性；（2）求证：。例3、已知函数对一切都有。（1）求证：是奇函数；（2）若，用表示。例4、设是定义在上的偶函数，且当时，单调递减，若成立，求的取值范围。例5、已知是上的奇函数，且当时，求的解析式。练习3、（1）是定义在上的奇函数，且满足，又当时，求的值。（2）是定义在上以2为周期的函数，对，用表示区间，已知当时，求在上的解析式。练习4、是定义在上的偶函数，且恒成立，当时，求当时的表达式。例6、定义在实数集上的函数，对任意，有有。（1）求证：；（2）求证：是偶函数；（3）若存在常数，使得。求证：对任意，有成立；试问函数是不是周期

7、函数，如果是，找出它的一个周期；如果不是，请说明理由。练习5、已知函数，当时，恒有。（1）求证：是奇函数；（2）如果并且试求在区间上的最值。例7、设是定义在上的偶函数，其图像关于直线对称，对任意都有，且。（1）求及；（2）证明：是周期函数；（3）记：，求.练习6、已知是定义在上的函数，且对任意，成立。（1）是周期函数；（2）已知，求。【反思感悟】1、正确理解函数奇偶性的概念。必须掌握以下两点：（1）函数的定义区间关于原点对称是该函数具有奇偶性的必要不充分条件；（2）定义中或应是定义域上的恒等式。2、奇函数的图像关于原点对称；反之亦然。偶函数的图像关于轴对称；反之亦然。3、能运用奇函数及偶函数的定义及性质解决有关问题。【课后作业】1、自我测试 第8课 函数的性质（1）2、一课一测 2.4 函数的奇偶性与周期性专心-专注-专业