计算流体力学算例(共12页).docx
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1、精选优质文档-倾情为你奉上有限差分法的一个算例计算流体力学大作业作者:郝柏函指导:李嵩1. 题目编程计算热传导方程, 边界条件:初始条件:(1) 用FTCS格式分别在满足和不满足稳定性条件两种情况下计算,给出结果比较和分析。(2)自选一种其他格式编程计算,并给出结果和分析注:原题中给出的初始条件与边界条件是矛盾的,所以将其改为2. FTCS格式2.1. 计算方法2.1.1. 差分格式及其相容性对于方程,采用FTCS差分格式,即 (1.1)其中,。以下讨论这一格式的相容性。 所以因此,该格式与原微分方程是相容的,而且对于时间精度是一阶的,对于空间,精度是二阶的。2.1.2. 稳定性与收敛性对于适
2、定的线性微分方程,格式如果差分格式,那么稳定和收敛是等价的。所以只需要讨论稳定性就可以了。设则式可写为 即 放大因子 所以为保证,应有 (1.2)只要满足式,差分格式就是稳定的。2.1.3. 初始、边界条件处理以及全部计算过程初始条件,差分格式为 (1.3)边界条件,为了保证空间的二阶精度,采用二次多项式来构造差分格式,结果为,其中是方向上位置的格点数。给出了初始、边界条件,以及之前的差分格式,就可以给出完整地算法:(1)首先用式计算出第一个时层的温度;(2)然后使用式就算出下一时层的温度值,但是,此时还没有就算出,然后利用边界条件求出(3)不断使用第(2)步,直至计算出所要求时层所对应的温度
3、值注:为了保证计算效率,不应过小。如果要求计算结果是稳定的,应满足式,如果要求不稳定,应不满足式。2.2. 计算结果与分析本文采用matlab编程,程序见于第Error! Reference source not found.小节。 在不稳定的差分格式下,计算结果是不可采信的,如Error! Reference source not found.所示。图 1 不稳定格式计算得到温度分布,s=1.04,其中,时间采用2400步,空间采用100步采用不稳定格式虽然也能得到比较光滑的温度分布图,但是,根据本算例的物理意义,左端为恒定温度0,右端为绝热壁面,所以计算结果应该是,温度始终大于0,别且距左
4、端越近,温度越低。可见,非稳定格式的计算结果是定性错误的。而稳定格式的计算结果是可以采信的。如Error! Reference source not found.,Error! Reference source not found.,Error! Reference source not found.所示。图 2 稳定格式计算得到温度分布,s=0.05,其中,时间采用50,000步,空间采用100步图 3 稳定格式计算得到温度分布,s=0.005,其中,时间采用500,000步,空间采用100步图 4 稳定格式计算得到温度分布,s=0.0005,其中,时间采用5,000,000步,空间采用10
5、0步这三个计算结果相对于之前的不稳定计算结果,只是增大改变了时间步数。使得式得以满足。但仅仅是这一条件的改变,使得之前所描述的定性结果是正确的。但是,这三个计算结果也是有微弱的差别的。仅仅看时,处,三个解算结果温度值是不同的,分别为0.5226,0.5380,0.5395。尽管,这三个数值之间有微弱的差别,但是整体上来说趋近于0.54这个数值。而且温度分布的整体趋势、数值之间的差距也几乎为0.这说明计算确实是稳定的、收敛的。而且,时间步数越多,结果会越精确。3. FTCS隐格式3.1. 计算方法3.1.1. 差分格式及其相容性采用FTCS隐格式,即 (1.4)其中,。以下讨论这一格式的相容性。
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