例析动态视角下几何解题思路的形成过程(共4页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上例析动态视角下几何解题思路的形成过程浙江舟山南海实验学校初中部 张宏政、马力军（）翻阅一些数学杂志，常常看到有些几何问题的证明方法过于烦琐，有些证题思路技巧性又太强，让人一下子摸不着头脑。诚然，解题思路的获取与每个人的知识积累与思考问题的策略有一定的关系，而且多一个角度看问题也未尝不是好事，但作为一名数学教师，在平时讲解例题的过程中，应时刻把挖掘几何问题的本质，充分暴露思维的形成过程作为教学的重要任务，从这个意义上说，数学解题应追求简单自然。几何问题从本质上说就是验证从条件到结论的逻辑关系，因此，用动态的观点看待几何图形的生成过程，尝试用变与不变的逻辑关系分析已知与结

2、论的关系，有助于更好的暴露问题的本质，有效发现解决问题的方法。为此，笔者试图以几本杂志上解答的几道竞赛题为例,用上述方法作一些必要的剖析与对比。一孔之见，敬请批评指正！1 问题呈现例1（ 07年第六届女子数学奥林匹克竞赛第5题）如图1，设D是ABC内一点,满足DAC=DCA=30，DBA=60，E是BC边的中点，F是AC边的三等分点，满足AF=2FC.求证：DEEF。 文1给出了两种解法，一种是平面几何的证法，另一种是向量法，本文只探讨平面几何的证法,证法如下：证明：如图2,作DMAC于M,FNCD于N,连结EM，EN.设CF=,AF=,易知CM=，故CD=，则CN=CF,即N是CD的中点.又

3、因为M是AC边上的中点,E是BC边上的中点,故EMAB,ENBD,得MEN=ABD=60=MDC,故M,D,E,N四点共圆. 又显然有D,M,F,N四点共圆,所以D,E,F,M,N五点共圆.从而DEF=90.例2 如图3,在平行四边形ABCD中，过A、B、C三点作圆交BD于E，过B、C、D三点作圆交CA延长线于F.求证:.2原解答如下:连结AE、CE，则1=3，2=ABD=4，于是ACEBDC.所以,则.而A、B、C、E四点共圆，由“ptolemy”定理可得:,将上面各式代入可得(AB=CD), 所以, (1)同理连接BF、DF，可证得， （2） 由（1）、（2）可得：.例3 如图4,在中,B

4、=90,AB=BM=12,DMAB,又N为BM的中点,且ADN=BAD.(1)求证: ;(2)求.文3给出的解答如下:(1)如图5,作TBA=C.由ADN=BAD,则CDN=BAT.故CDNBAT.所以,即,又C=C, CND=ATB,所以, CDNCBT.故,即.因此, .(2)因为N为BM的中点,则BN=MN=6.又DMAB,所以,DMB=90.如图5,过点A作AGMD交MD的延长线于点G,延长DN交AB的延长线于点F,设E为AD的中点,联结EF.因为ADN=BAD,所以,EFAD.因为ABC=DMB=AGD=90,AB=BM=12,所以,四边形ABMG为正方形.由于GAD=AFE,所以,

5、 AGDFEA.故,即 (1)设,则.由勾股定理,有.代入(1)式,得, .解得 .因此, =.2 动态视角下问题思路的形成过程分析下面我们从动态视角下着力分析这些问题的来龙去脉，以尽可能揭示问题的本质，并得到问题解决的方法.先来看对例1的分析!图6如图6,当等腰ADC确定后，F点的位置也随之确定，而E点的位置依赖于B点的确定，而由条件可知，B点显然在以AD为弦且弧度为240的部分优弧上运动。先来考察B点的特殊位置（本问题的极端情形），当B点运动到如图B点位置时（即ABD为等边的情形）,易知BDA+ADC=180，故B、D、C在同一条直线上,且BD=DC=AD,所以BAC=90，这时E点也即为

6、D点。再来考察任意的点B,这时马上发现，虽然B点的位置在变，但DE是CBB的中位线却是不变因素,于是BBDE,由于易知BBG=90(G为弧AD与AC的交点),所以只需证BGEF,这样问题就归结到证明G是否为AC的另一点三等份点,而这由AGB=ADB=60,则在中,有AG=；又GBC=DAC=ACD,有BG=GC,故AG=可得.同时通过不变因素还容易发现,当B点在弧AB上运动时,结论同样成立.例2 如图7，从结论分析，这是一个通过相似寻求比例线段关系的问题。那么，从条件分析，虽然平行四边形的大小、位置在变，使两个圆的大小、位置也在变，但它们的性质却是不变因素，于是这些不变因素应该就是问题解决的突

7、破口.于是从1=2=3=F，易知BAOFBO，CEODCO，从而有.考虑到与结论的相异性,可把结论调整为:,即证,也即为.考虑到,即为.而这就是上面两个等式相加的结果.例3 如图8, 从条件分析, AB、BM、 N点惟一确定，而D点是由过M点且平行于AB的直线与AC边的交点，故C、D两点的位置互相依存。这就是说，一旦CM、DM中有一条确定，则图中其它未知各边都应惟一确定。既然如此，如果能求出它们的长度，两个问题便同时解决！而条件ADN=BAD显然是解决问题的关键。考虑到ADN=BAD，从而延长DN、AB交于点E，以构作等腰ADE，同时N为BM中点，故易证DMNEBN，于是设DM=BE=，由勾股

8、定理得，DN=NE=，从而有2=，解得. 则DN=10. 再由CDMCAB,可得CM=24.便有结论, ,=.3 比较与分析对于例1的两种思路看似殊途同归,从方法上看没有大的差异,但前者是用静态的观点看待问题,于是思路的得出在笔者看来更趋向于一种技巧,展现了联想、构造的能力，而后者用动态的观点研究问题，在变与不变的思考中，紧紧抓住不变的因素,思路的得出是那么顺其自然，并且从这个角度我们不仅发现了问题的构造过程,还能对问题进行适当的变式.对于例2的比较可以发现,原证明方法中过多的纠缠于比例线段之间的关系之中,没有紧紧抓住不变因素而展开,使整体思考淹没于细节之中,这不能不说是思考问题的大忌.而从例

9、3的分析更能发现静态思考与动态视角下的差距,通过对图形特点的思考，容易使思路引向未知线段长度的求解过程,而两个角度相等正是这个不变因素的核心所在,于是,利用它们构作等腰三角形以建立等量关系是多么的顺理成章. 几何问题作为培养学生思维能力的有效载体，应切实把暴露问题的本质放在首位，而用变与不变的动态观思考几何问题可能正是寻求简单、自然解题方法的一种有效策略.【参考文献】1翁启政,朱华伟.07年第六届女子数学奥林匹克概况、试题和解.数学通讯,2007(11)2袁安全.数学问题解答之1683问题.数学通报,2007(8)3杨晋.数学奥林匹克初中训练题(73).中等数学,2005(2)专心-专注-专业