高等数学（同济大学）练习部分答案(共37页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上 第七章 习题P8-习题7-1A-7、求满足下列条件的动点轨迹的方程：(1）到点的距离等于到面的距离。解：设动点坐标为，则，整理可得动点的轨迹方程为：。A-9、求下列曲线在平面上的投影曲线方程：(1）解：由得代入第一个方程得，曲线在平面上的投影曲线方程为。A-10、分别求母线平行于轴及轴而且通过曲线的柱面方程。解：两式消去得母线平行于轴的柱面方程：。两式消去得母线平行于轴的柱面方程：。P20习题7-2A-5、已知，求点的坐标。解：令的坐标为，由得：，从而，得点的坐标为。A-10、已知有向线段的长度为6，方向余弦分别为，点的坐标为，求点。解：由的方向余弦组成的向量是与同

2、方向的单位向量，故 。令的坐标为，则，可得点的坐标为。A-11、已知两点，试计算的模、方向余弦和方向角。解：的模为。方向余弦分别为。由于方向角的范围为，所以，方向角为。A-12、已知点的向径为单位向量，且与z轴的夹角为，另外两个方向角相等，求点P的坐标。解：设两个相等的方向角为，则，解得，点P的坐标为或。B-3、试确定与的值，使向量与平行。解：，得，。P26习题7-3A-1、已知，。求：(1） (2） (3）解：(1）(2）(3）。A-4、设，求(1）向量的模，； (2）解：(1），；(2）。A-6、设，并且，试求。解：，。8、已知，求(1）同时与及垂直的单位向量；(2）的面积；(3）从顶点B

3、到边AC的高的长度。解：(1），所以同时垂直于，的单位向量为：。(2）。(3）从顶点B到边AC的高为，则，所以。P34习题7-4A-3、求满足下列条件的平面的方程：(1）平行于平面且经过点。解：待求平面方程可设为，代入点得，所以平面方程为。(2）过点与点且与平面垂直。解：设，,，平面的法向量为，待求平面的法向量同时垂直于向量,，故，法向量可取为向量，的向量积，即，所以，平面方程为：，即。(3）过点与点且平行于轴。解：设待求平面的法向量为。与由点构成的向量及轴上的单位向量同时垂直，故可取为与的向量积，即 ，待求平面方程为：，即(4) 过点且与向径垂直解：向径可取为待求平面的法向量，故待求平面方程

4、为：，即。A-5、设平面过点且在三个坐标轴上截距相等，求这平面的方程。解：设平面方程为，将点代入方程得：，所以平面方程为：。A-9、求平面与平面的夹角，并判别坐标原点到哪个平面的距离更近。解：两个平面的法向量分别为：，。则两平面的夹角余弦为：，所以两平面的夹角为。原点到第一个平面的距离为：。到第二个平面的距离为。显然，原点到第一个平面的距离更近。P40习题7-5A-2-(1）求过点且同时平行于平面与的直线方程。解：该直线的方向向量，则直线的对称式方程为：。(2）求过点且与直线平行的直线的方程。解：直线的方向向量，所以直线方程为： A-3、写出下列直线的对称式方程及参数方程：(2）解：令代入方程

5、组得，直线的方向向量，所以对称式方程为：参数方程为：。B-2、求下列投影点的坐标：1）点在平面上的投影。解：过点与平面垂直的直线与平面的交点即是投影点，直线的方向向量可取为平面的法向量，即，故，直线的参数方程为。为求直线与平面的交点，将参数方程代入平面方程，可得：，得。再将代入参数方程可得交点。P47习题7-6A-1、求下列旋转曲面的方程：(1）将面上的抛物线绕轴旋转一周。解：(2）将面上的椭圆绕轴旋转一周。解：(4）将面上的直线绕轴旋转一周。解：，两边平方。 第八章 习题P57-习题8-1A-4、求下列函数的定义域(3) 解：定义域为，这是以原点为圆心，半径分别为1和2的两个圆构成的圆环，不

6、包括内环。(5）解：定义域为，这是开口向上的抛物线与半径为1的圆围成的图形的下面部分，不包括抛物线。A-5、求下列函数的极限(2）解：因为 ，故。(4）解：原式A-7、设函数，讨论函数在点处的连续性。解： 。可见，取不同的值时，即动点沿不同的路径趋近于时，极限不同，故不存在，所以函数在处不连续。P66习题8-2A-1、求下列函数的偏导数(6）解：(8）解：(9）解：10）解：两边取对数两边同时对求偏导数得：，两边同时对求偏导数得：，注：此题还有其它方法做A-8、求下列函数的，(2）解：，P74习题8-3A-1、求下列函数的全微分(1）解：，(2）解：，(4）解：，A-4、求下列函数的全微分(3

7、），点解：，B-3、验证函数在处连续，偏导数存在，但是不可微分。解：（1）令，则，即原函数在原点处连续。（2），所以原函数偏导数均存在。（3）令，则因为，因此在时不是比高阶的无穷小，故不能表示成， 所以原函数在原点处不可微分。P82习题8-4A-2、设，求和解：A-4、设，而，求解：A-6、设，求。解：A-8、设，而，求，解：A-11、设具有一阶连续偏导数，求下列函数的一阶偏导数(3）解：，A-14、设具有二阶连续偏导数，求下列函数的，。（1）解：，因为具有二阶连续偏导数，所以，故P88习题8-5A-2、下列方程确定为的函数，求，。（1）解：方程两边同时对求偏导数得：，解得方程两边同时对求偏导

8、数得：，解得A-2、下列方程确定是的函数，求（3）解：方程两边同时对求偏导数得：，解得方程两边同时对求偏导数得：，解得A-6、设具有连续偏导数，方程确定是的函数，求，。解：方程两边同时对求偏导数得：，解得方程两边同时对求偏导数得：，解得A-8、求由下列方程组确定的函数的隐函数的导数或偏导数。（2）,求解：方程组同时对求导数得：，解得，（4），求解：方程组同时对求导数得：，变为 ，解得，P94习题8-6A-1、求下列曲线在指定点处的切线及法平面方程：（4）曲线在点处；解：点处对应，此时故切线的对称式方程为：法平面方程为：，即。A-3、求下列曲面在指定点处的切平面及法线方程（1）曲面在处。解：令，

9、则点处故切平面方程为：，即法线方程为：（3）曲面在点处。解：令，则点处切平面的法向量故切平面方程为：，即法线方程为：A-4、求曲面平行于的切平面方程。解：令，切平面的法向量与平面的法向量平行，由向量平行的充要条件得：，代入曲面方程解得：当时，曲面上的点为，此时切平面方程为：，即时，曲面上的点为，此时切平面方程为：，即P101习题8-7A-1、求函数在点处沿该点到点的方向的方向导数。解：令，则。又，所以A-7、求函数在点处沿方向余弦为的方向的方向导数，并指出：1）沿什么方向的方向导数值最大？2）沿什么方向的方向导数值最小？3）沿什么方向的方向导数值为零。解：设在点处的方向余弦为的方向为。，所以（

10、表示从轴逆时针方向转动到方向所转过的角度）。所以时，即沿方向的方向导数最大；时，即沿方向的方向导数最小，或时，即沿方向或的方向导数为零。特别注意：A-10、设，求。解：，所以P111习题8-8A-3、求函数极值。解：，由，解得两个点，对于点，且所以为极大值。对于点，所以不是极值点。A-5、某厂要用铁板做成一个体积为的无盖长方体水箱，问当长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省。解：令长、宽、高分别为，则问题转化为在条件之下求的最小值，其中。令，对分别求偏导数，并令为零，得联立方程组：解得：，。A-6、求椭圆的内接等腰三角形（三角形底边平行于椭圆长轴）的最大面积。解：方法1 不妨设内接三角形底

11、边的两个顶点的坐标为，其中面积为，则 引入拉格朗日函数：，则由得唯一可能极值点，该点也是最值点，最大面积 方法2 显然，三角形的一个顶点在轴上，不妨设在，而底边上的两个顶点在轴的下面，并关于轴对称。设底边右边顶点为，则左边顶点为，其中。则三角形面积为：。问题转化为求的最大值。令，得，从而，所以最大内接三角形面积为。第九章 习题P117-习题9-1A-1、设有一平面薄片，占有面上的闭区域D，薄片上分布有面密度为的电荷，且在D上连续，试用二重积分表达该薄片上的全部电荷。解：A-3、根据二重积分的几何意义确定下列二重积分的值：（1），其中。解：为顶点在开口向下的圆锥面，根据二重积分的几何意义，表示顶

12、点在，底面为圆的圆锥的体积。因此P132-习题9-2A-1、画出下列积分区域的图形，并且计算这些二重积分（2），其中D是由两坐标轴与直线所围成的闭区域；解：（图略）（4），其中是由直线所围成的闭区域；解：（图略）（5）,其中；解 （8），其中是由抛物线和直线所围成的闭区域；解：（图略） 解方程组得，（10），其中D是由双曲线和直线所围成的闭区域。解：（图略）A-4、改变下列二次积分的积分次序（1）解：（2）解：解方程组，得（3）解：A-6、计算下列立体的体积：（2）由平面所围成的柱体被平面及抛物面截得的立体。解：A-7、画出积分区域的图形，把二重积分表示为极坐标系中的二次积分，其中积分区域D是

13、：（3）；解：。A-9、把下列二次积分化为极坐标系中的二次积分，并且计算积分值：（1）解：原式 A-10、利用极坐标计算下列二重积分：（1），其中解：（2），其中D是由圆周与轴所的位于第一象限内的闭区域。解：（3），其中D是由圆周与两坐标轴所的位于第一象限内的闭区域。解：A-12、设平面薄片占据的闭区域D是由螺旋线的一段弧与射线所围成，它的面密度，求该薄片的质量。解：P141习题9-3A-1、求上半球面含在圆柱面内部的那部分曲面的面积。解：柱面在平面上的投影D即为积分域。 A-4、求下列平面图形D的形心：（1）D由抛物线与直线所围成。解： 则形心坐标为A-5、圆盘内各点处的面密度，求此圆盘的质

14、心。解：（奇函数在关于原点对称的区间上的积分为零）。则质心坐标为A-8、设均匀薄片（面密度为常数）占据的闭区域D如下，求指定的转动惯量：（1），求。解法一：，其中 为薄片的质量，。 解法二（学生可能看不懂）：借助广义极坐标，P150-习题9-4A-1、化三重积分为三次积分（先对，次对，后对），其中积分区域分别是：（1）由三个坐标面与平面所围成。解 在面的投影区域为，故。（2）由旋转抛物面与平面所围成。解：在面的投影区域为，故。（3）由圆锥面与上半球面所围成。解：圆锥面与上半球面的交线为：，即。在面的投影区域为，故A-3、计算下列积分（1），其中是由三个坐标面与平面所围成的闭区域。解 在面上的投

15、影区域，。在上任取一点，过该点作平行于z轴的直线，与的下、上两个交点坐标分别为，。故 （4），其中是由上半球面和平面所围成的闭区域。解：用柱面坐标计算，在面的投影区域为，A-4、利用柱面坐标计算下列三重积分（1），其中是由上半球面和旋转抛物面所围成的闭区域。解：上半球面和旋转抛物面的交线为：，即。在面的投影区域为，（2），其中是由旋转抛物面和平面所围成的闭区域。解：在面的投影区域为，A-6、设密度为常量1的匀质物体占据由上半球面与圆锥面所围成的闭区域，试求：（1）物体的质量；（2）物体的质心；（3）物体对于z轴的转动惯量。解：（1）物体的质量（2）物体的质心所以质心坐标为（实际上，匀质物体的质

16、心就是区域的形心，而区域关于面与面都对称，故，自然想到质心应满足，所以，可不必计算）（3）物体对于z轴的转动惯量其中，还可用分部积分法计算P165-习题9-5A-1、计算下列对弧长的曲线积分：（1），其中为圆周。解：圆周的参数方程为：。（5），其中为直线和抛物线所围成的区域的整个边界。解：解方程组得：，所以：A-3、计算下列对坐标的曲线积分（3），其中为圆周上对应于从至的一段弧。解：A-5、计算，其中分别为（1）抛物线上从点到的一段弧；（2）立方抛物线上从点到的一段弧；（3）从点到点，再从点到点的有向折线段。解：（1）（2）（3）A-6、一力场由沿轴正向的常力所构成。试求当一质量为的质点沿圆周

17、按逆时针方向移过位于第一象限的那段弧时场力所做的功。解：力场函数，圆周参数方程，。根据第二类曲线积分的物理意义，有：P176习题9-6A-1、计算下列曲线积分，并验证格林公式的正确性：（2），其中是以点、为顶点的三角形区域的正向边界。解一：根据格林公式，解二：令分别为连接和、和、和的有向线段，则所以：A-3、利用格林公式，计算下列曲线积分：（6），其中是从点到点的上半椭圆弧。解：设和分别为A、B，直线段与上半椭圆所围成的区域为D，。A-4、证明下列曲线积分在整个面内与路径无关，并计算积分值：（1）证明：，。，两者相等，所以上述曲线积分在整个面内与路径无关。取路径为到的线段，为到的线段，则A-5

18、、验证下列在整个内是某个函数的全微分，并求这样一个：（1）证明：，。，因此是某个函数的全微分。取起点为原点，则可得。A-6、设在面内有力。证明：在此力场中，场力所做的功与路径无关。解：场力沿某路径所做的功为，因此积分与路径无关，即场力所做的功与路径无关。P188-习题9-7A-1、计算下列对面积的曲面积分：（2），其中是上半球面被平面截取的顶部。解：在面上的投影。（3），其中是上圆锥面被平面截取的有限部分。解：在面上的投影A-4、设稳定的不可压缩的流体的速度场为，其中是圆柱面的外侧被平面截取的位于第一、四卦限的部分，计算流体流向一侧的流量。解：曲面投影到面上为半圆，故沿轴正方向没有流量。 注1

19、： A-5、计算下列对坐标的曲面积分（2），其中是半球面的外侧。解： （3），其中是圆锥面被平面截取的有限部分的下侧。解：（4），其中是圆柱面被平面及截取的在第一卦限的部分的前侧。解：，曲面上各点的法向量与轴垂直，所以P194习题9-8A-1、利用高斯公式计算曲面积分：（2），其中为以点为顶点的四面体的表面的外侧。解：令所围成的立体为，则（3），其中为上半球面的上侧。解：曲面不是闭曲面，不能直接利用高斯公式，若设为平面块下侧，在上的投影为，则与一起构成闭曲面，记它们所围成的空间闭区域为，由高斯公式得 第十章 习题P200-习题10-1A-3、利用级数收敛与发散的定义或收敛级数的基本性质判断下列

20、级数的收敛性：(3） 解：因为，所以原级数发散 (4）解：因为，分别为收敛的等比级数，利用P198收敛级数的性质2，得原级数收敛。A-4、求下列级数的和：(1）解：级数前项部分和，故。(2）解：级数前项部分和，即B-1、求下列级数的和：(1）解：级数前项部分和，所以：P210-习题10-2A-1、用比较判别法判别下列级数的收敛性：(1）解：因为，而等比级数收敛，根据比较判别法，原级数收敛。(2）解：，且，等比级数收敛，根据比较判别法的极限形式，原级数收敛。(4）解 因为，而收敛，根据比较判别法的极限形式，原级数收敛。(5）解：，而P-级数收敛，根据比较判别法的极限形式，原级数收敛。A-4、判定

21、下列级数的敛散性：(1）解： ，由达朗贝尔判别法，原级数收敛。(2）解：由达朗贝尔判别法，所以原级数收敛。(3）解：由比较判别法的极限形式，调和级数发散，所以原级数发散。(8）解一：由柯西判别法，故原级数收敛。解二：，而等比级数收敛，根据比较判别法的极限形式，原级数收敛。A-5、判定下列收敛性，绝对收敛、条件收敛或是发散(1）解： 这是交错级数，由莱布尼兹判定定理，原级数收敛。但级数发散，所以原级数条件收敛。(6)解：因为等比级数收敛，故原级数绝对收敛。B-4、判定下列级数的收敛性？是否绝对收敛？（1）。解：，而等比级数收敛，故原级数绝对收敛。P221习题10-3A-1、求下列幂级数的收敛半径

22、与收敛域：（1）解：设，级数的收敛半径，收敛域为。（2）解：幂级数缺少的偶次幂的项，P215的定理2或P216 的公式（6）都不能直接用来求收敛半径，可根据正项级数的比值审敛法来求收敛半径， ，当时，即当时，原级数收敛；当时，即当时，原级数发散。因此，收敛半径。另外，当时，级数成为，显然发散；当时，级数成为，显然也发散。因此，级数的收敛域为。（6）解：级数的收敛半径，级数的收敛半径，所以原级数的收敛半径为。而时，级数的一般项的极限不为零，原级数不收敛，因此，原级数的收敛域为。（7）解： ，所以收敛半径为。而时，收敛；时，收敛，所以原级数的收敛域为：。A-3、求下列级数的和函数（1）解：，当，即

23、时，级数收敛；而当，即时，级数发散。因此，收敛半径。又显然，时，级数发散，故收敛域为。设和函数为，即 ，。所以， （2）解： ，所以收敛半径，显然时原级数发散，故原级数的收敛域为，设和函数为，即，在上对原级数逐项积分，所以 ，。P236习题10-4A-2、将下列函数展开成的幂级数，并指出展开式成立的区间：（1）解：，（2）解：，（3）解：，所以，（7) 解：在上，。A-4、将函数展开为的幂级数。解：在上，所以，P249习题10-5A-2、设函数是周期为的周期函数，它在上的式为：，将展开成傅里叶级数。解：是一个周期为的奇函数，所以傅里叶级数中所有的，所以A-4、将函数分别展开成正弦级数与余弦级数。解：正弦级数展开：余弦级数展开：注：同理可求专心-专注-专业