不等式归纳(共10页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上重难点归纳 解不等式对学生的运算化简等价转化能力有较高的要求，随着高考命题原则向能力立意的进一步转化，对解不等式的考查将会更是热点，解不等式需要注意下面几个问题 (1)熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式(组)的解法 (2)掌握用零点分段法解高次不等式和分式不等式，特别要注意因式的处理方法 (3)掌握无理不等式的三种类型的等价形式，指数和对数不等式的几种基本类型的解法 (4)掌握含绝对值不等式的几种基本类型的解法 (5)在解不等式的过程中，要充分运用自己的分析能力，把原不等式等价地转化为易解的不等式 (6)对于含字母的不等式，要能按照正确的分类标准，进行分类讨

2、论 典型题例示范讲解 例1已知f(x)是定义在1，1上的奇函数，且f(1)=1，若m、n1，1，m+n0时 0 (1)用定义证明f(x)在1，1上是增函数；(2)解不等式 f(x+ )f( )；(3)若f(x)t22at+1对所有x1，1，a1，1恒成立，求实数t的取值范围 命题意图 本题是一道函数与不等式相结合的题目，考查学生的分析能力与化归能力 知识依托 本题主要涉及函数的单调性与奇偶性，而单调性贯穿始终，把所求问题分解转化，是函数中的热点问题；问题的要求的都是变量的取值范围，不等式的思想起到了关键作用 错解分析 (2)问中利用单调性转化为不等式时，x+ 1，1， 1，1必不可少，这恰好是

3、容易忽略的地方 技巧与方法 (1)问单调性的证明，利用奇偶性灵活变通使用已知条件不等式是关键，(3)问利用单调性把f(x)转化成“1”是点睛之笔 (1)证明 任取x1x2，且x1，x21，1，则f(x1)f(x2)=f(x1)+f(x2)= (x1x2)1x1x21，x1+(x2)0，由已知 0，又 x1x20，f(x1)f(x2)0，即f(x)在1，1上为增函数 (2)解 f(x)在1，1上为增函数， 解得 x| x1，xR(3)解 由(1)可知f(x)在1，1上为增函数，且f(1)=1，故对x1，1，恒有f(x)1，所以要f(x)t22at+1对所有x1，1，a1，1恒成立，即要t22at

4、+11成立，故t22at0，记g(a)=t22at，对a1，1，g(a)0，只需g(a)在1，1上的最小值大于等于0，g(1)0，g(1)0，解得，t2或t=0或t2 t的取值范围是 t|t2或t=0或t2 例2设不等式x22ax+a+20的解集为M，如果M 1，4，求实数a的取值范围 命题意图 考查二次不等式的解与系数的关系及集合与集合之间的关系 知识依托 本题主要涉及一元二次不等式根与系数的关系及集合与集合之间的关系，以及分类讨论的数学思想 错解分析 M= 是符合题设条件的情况之一，出发点是集合之间的关系考虑是否全面，易遗漏；构造关于a的不等式要全面、合理，易出错 技巧与方法 该题实质上是

5、二次函数的区间根问题，充分考虑二次方程、二次不等式、二次函数之间的内在联系是关键所在；数形结合的思想使题目更加明朗 解 M 1，4有两种情况 其一是M= ，此时0；其二是M ，此时=0或0，分三种情况计算a的取值范围 设f(x)=x2 2ax+a+2，有=(2a)2(4a+2)=4(a2a2)(1)当0时，1a2，M= 1，4(2)当=0时，a=1或2 当a=1时M=1 1，4；当a=2时，m=2 1，4 (3)当0时，a1或a2 设方程f(x)=0的两根x1，x2，且x1x2，那么M=x1，x2，M 1，4 1x1x24 即 ，解得 2a ，M 1，4时，a的取值范围是(1， ) 例3解关于

6、x的不等式 1(a1) 解 原不等式可化为 0，当a1时，原不等式与(x )(x2)0同解 由于 原不等式的解为(， )(2，+) 当a1时，原不等式与(x )(x2) 0同解 由于 ,若a0， ,解集为( ，2)；若a=0时， ，解集为 ；若0a1， ,解集为(2， )综上所述 当a1时解集为(， )(2，+)；当0a1时，解集为(2， )；当a=0时，解集为 ；当a0时，解集为( ，2） 学生巩固练习 1 设函数f(x)= ，已知f(a)1，则a的取值范围是( )A (，2)( ，+)B ( ， )C (，2)( ，1)D (2， )(1，+)2 已知f(x)、g(x)都是奇函数，f(x)

7、0的解集是(a2，b)，g(x)0的解集是( ， )，则f(x)g(x)0的解集是_ 3 已知关于x的方程sin2x+2cosx+a=0有解，则a的取值范围是_ 4 已知适合不等式|x24x+p|+|x3|5的x的最大值为3 (1)求p的值；(2)若f(x)= ，解关于x的不等式f-1(x) (kR+)5 设f(x)=ax2+bx+c，若f(1)= ，问是否存在a、b、cR，使得不等式 x2+ f(x)2x2+2x+ 对一切实数x都成立，证明你的结论 6 已知函数f(x)=x2+px+q，对于任意R，有f(sin)0，且f(sin+2)2 (1)求p、q之间的关系式；(2)求p的取值范围；(3

8、)如果f(sin+2)的最大值是14，求p的值 并求此时f(sin)的最小值 7 解不等式loga(x )18 设函数f(x)=ax满足条件 当x(，0)时，f(x)1；当x(0，1 时，不等式f(3mx1)f(1+mxx2)f(m+2)恒成立，求实数m的取值范围 参考答案 1 解析 由f(x)及f(a)1可得 或 或 解得a2，解得 a1，解得x a的取值范围是(，2)( ，1）答案 C2 解析 由已知ba2f(x)，g(x)均为奇函数，f(x)0的解集是(b，a2)，g(x)0的解集是( ) 由f(x)g(x)0可得 x(a2， )( ，a2)答案 (a2， )( ，a2)3 解析 原方程

9、可化为cos2x2cosxa1=0，令t=cosx，得t22ta1=0，原问题转化为方程t22ta1=0在1，1上至少有一个实根 令f(t)=t22ta1，对称轴t=1，画图象分析可得 解得a2，2 答案 2，24 解 (1)适合不等式|x24x+p|+|x3|5的x的最大值为3，x30，|x3|=3x 若|x24x+p|=x2+4xp，则原不等式为x23x+p+20，其解集不可能为x|x3的子集，|x24x+p|=x24x+p 原不等式为x24x+p+3x0，即x25x+p20，令x25x+p2=(x3)(xm)，可得m=2，p=8 (2)f(x)= ，f-1(x)=log8 (1x1 ，有

10、log8 log8 ，log8(1x)log8k，1xk，x1k 1x1，kR+，当0k2时，原不等式解集为x|1kx1；当k2时，原不等式的解集为x|1x1 5 解 由f(1)= 得a+b+c= ，令x2+ =2x2+2x+ x =1，由f(x)2x2+2x+ 推得f(1) 由f(x)x2+ 推得f(1) ，f(1)= ，ab+c= ，故2(a+c)=5，a+c= 且b=1，f(x)=ax2+x+( a) 依题意 ax2+x+( a)x2+ 对一切xR成立，a1且=14(a1)(2a)0，得(2a3)20，f(x)= x2+x+1易验证 x2+x+12x2+2x+ 对xR都成立 存在实数a=

11、 ，b=1，c=1，使得不等式 x2+ f(x)2x2+2x+ 对一切xR都成立 6 解 (1)1sin1，1sin+23，即当x1，1时，f(x)0，当x1，3时，f(x)0，当x=1时f(x)=0 1+p+q=0，q=(1+p)(2)f(x)=x2+px(1+p)，当sin=1时f(1)0，1p1p0，p0(3)注意到f(x)在1，3上递增，x=3时f(x)有最大值 即9+3p+q=14，9+3p1p=14，p=3 此时，f(x)=x2+3x4，即求x1，1时f(x)的最小值 又f(x)=(x+ )2 ，显然此函数在1，1上递增 当x=1时f(x)有最小值f(1)=134=6 7 解 (1

12、)当a1时，原不等式等价于不等式组 由此得1a 因为1a0，所以x0， x0 (2)当0a1时，原不等式等价于不等式组 由 得x1或x0，由得0 x ，1x 综上，当a1时，不等式的解集是x| x0 ，当0a1时，不等式的解集为x|1x 8 解 由已知得0a1，由f(3mx1)f(1+mxx2)f(m+2)，x(0，1 恒成立 在x(0，1 恒成立 整理，当x(0，1)时， 恒成立，即当x(0，1 时， 恒成立，且x=1时， 恒成立， 在x(0，1 上为减函数， 1，m 恒成立 m0 又 ，在x(0，1 上是减函数， 1 m 恒成立 m1当x(0，1)时， 恒成立 m(1，0) 当x=1时，

13、，即是 m0 、两式求交集m(1，0）,使x(0，1 时，f(3mx1)f(1+mxx2)f(m+2)恒成立，m的取值范围是(1，0)学科：数学教学内容：含绝对值不等式的解法【自学导引】1绝对值的意义是：.2xa(a0)的解集是xaxaxa(a0)的解集是xxa或xa【思考导学】1|axb|b(b0)转化成baxbb的根据是什么？答：含绝对值的不等式|axb|b转化baxbb的根据是由绝对值的意义确定2解含有绝对值符号的不等式的基本思想是什么？答：解含有绝对值符号的不等式的基本思想是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而后，其解法就与解一般不等式或不等式组相同【典例剖析】例

14、1解不等式22x57解法一：原不等式等价于即原不等式的解集为x1x或x6解法二：原不等式的解集是下面两个不等式组解集的并集()() 不等式组()的解集为xx6不等式组()的解集是x1x原不等式的解集是x1x或x6解法三：原不等式的解集是下面两个不等式解集的并集()22x57()252x7不等式()的解集为xx6不等式()的解集是x1x原不等式的解集是x1x或x6点评：含绝对值的双向不等式的解法，关键是去绝对值号其方法一是转化为单向不等式组如解法一，再就是利用绝对值的定义如解法二、解法三例2解关于x的不等式：(1)2x31a(aR)；(2)2x1x1解：(1)原不等式可化为2x3a1当a10，即

15、a1时，由原不等式得(a1)2x3a1x当a10,即a1时，原不等式的解集为，综上，当a1时，原不等式的解集是xx当a1时，原不等式的解集是(2)原不等式可化为下面两个不等式组来解()或() 不等式组()的解为x0不等式组()的解为x原不等式的解集为xx或x0点评：由于无论x取何值，关于x的代数式的绝对值均大于或等于0，即不可能小于0，故f(x)a(a0)的解集为解不等式分情况讨论时，一定要注意是对参数分类还是对变量分类，对参数分类的解集一般不合并，如(1)对变量分类，解集必须合并如(2)例3解不等式|x|2x1|1解：由|x|2x1|1等价于(x|2x1|)1或x|2x1|1(1)由x|2x

16、1|1得|2x1|x1即均无解(2)由x|2x1|1得|2x1|x1或即，x0或x综上讨论，原不等式的解集为x|x或x0点评：这是含多重绝对值符号的不等式，可以从“外”向“里”，反复应用解答绝对值基本不等式类型的方法，去掉绝对值的符号，逐次化解【随堂训练】1不等式|83x|0的解集是( )ABRCx|x，xRD答案： C2下列不等式中，解集为R的是( )Ax21 Bx211C(x78)21D(x78)210答案： C3在数轴上与原点距离不大于2的点的坐标的集合是( )Ax2x2Bx0x2Cx2x2Dxx2或x2解析： 所求点的集合即不等式x2的解集答案： C4不等式12x3的解集是( )Axx

17、1Bx1x2Cxx2Dxx1或x2解析： 由12x3得32x13，1x2答案： B5不等式x49的解集是_解析： 由原不等式得x49或x49，x5或x13答案： xx5或x136当a0时，关于x的不等式baxa的解集是_解析： 由原不等式得axba，aaxba1x1x1x1答案： x1x1【强化训练】1不等式xa1的解集是( )Ax1ax1aBx1ax1aCx1ax1aDxx1a或x1a解析： 由xa1得1xa11ax1a答案： B2不等式1x36的解集是( )Ax3x2或4x9Bx3x9Cx1x2Dx4x9解析： 不等式等价于或解得：4x9或3x2答案： A3下列不等式中，解集为xx1或x3

18、的不等式是( )Ax25 B2x43C11D11解析： A中，由x25得x25或x25x7或x3同理，B的解集为xx或x1C的解集为xx1或x3D的解集为xx1或x3答案： D4已知集合Ax|x1|2，Bx|x1|1，则AB等于( )Ax|1x3Bx|x0或x3Cx|1x0Dx|1x0或2x3解析： |x1|2的解为1x3，|x1|1的解为x0或x2ABx|1x0或2x3答案： D5已知不等式x2a(a0)的解集是x1xb，则a2b 解析： 不等式x2a的解集为x2ax2a由题意知：x2ax2ax1xba2b32513答案： 136不等式|x2|x2的解集是_解析： 当x20时，|x2|x2，

19、x2x2无解当x20时，|x2|(x2)0x2当x2时，x2x2答案： xx27解下列不等式：(1)|23x|2；(2)|3x2|2解：(1)由原不等式得223x2，各加上2得43x0，各除以3得x0，解集为x|0x(2)由原不等式得3x22或3x22，解得x0或x，故解集为x|x0或x8解下列不等式：(1)3|x2|9；(2)|3x4|12x解：(1)原不等式等价于不等式组由得x1或x5；由得7x11，把、的解表示在数轴上(如图)，原不等式的解集为x|7x1或5x11(2)原不等式等价于下面两个不等式组，即原不等式的解集是下面两个不等式组解集的并集： 由不等式组解得x5；由不等式组解得x原不

20、等式的解集为x|x或x59设Ax2x13，Bx|x21，求集合M，使其同时满足下列三个条件：(1)M(AB)Z；(2)M中有三个元素；(3)MB解：Ax2x13x1x2Bx|x21x3x1M(AB)Zx1x2x3x1Zx3x2Z2，1，0，1，2又MB，2M又M中有三个元素同时满足三个条件的M为：2，1，0，2，1，1，2，1，2，2，0，1，2，0，2，2，1，2【学后反思】解绝对值不等式，关键在于“转化”根据绝对值的意义，把绝对值不等式转化为一次不等式(组)xa与xa(a0)型的不等式的解法及利用数轴表示其解集不等式xa(a0)的解集是xaxa其解集在数轴上表示为(见图17)：不等式xa(a0)的解集是xxa或xa，其解集在数轴上表示为(见图18)：把不等式xa与xa(a0)中的x替换成axb，就可以得到axbb与axbb(b0)型的不等式的解法专心-专注-专业