2020中考数学-二次函数培优专题：二次函数与圆综合(共17页).docx

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1、精选优质文档-倾情为你奉上2020中考数学 培优专题：二次函数与圆综合（含答案）例题1. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点A的坐标为，若将经过A、C两点的直线沿y轴向下平移3个单位后恰好经过原点，且抛物线的对称轴是直线（1）求直线AC及抛物线的函数表达式；（2）如果P是线段AC上的一点，设三角形ABP、三角形BPC的面积分别为、，且，求点P的坐标；（3）设的半径为1，圆心Q在抛物线上运动，则在运动的过程中是否存在与坐标轴相切的情况？若存在，求出圆心Q的坐标；若不存在，请说明理由并探究：若设的半径为r，圆心Q在抛物线上运动，则当r取何值

2、时，与两坐标轴同时相切？ 【答案】（1）因为沿y轴向下平移3个单位后恰好经过原点，所以，将代入，得，解得所以直线AC为：因为抛物线的对称轴是直线，所以，解得.所以抛物线的函数表达式为：.（2）如图，过点B作于点D. 因为，所以. 过点P作轴于点E，则，所以. 所以.所以. 所以，解得. 所以点P的坐标为.（3）存在，设点Q的坐标为 当与y轴相切时，有，即.当时，得，所以.当时，得，所以，当与x轴相切时，有，即，当时，得，即，解得，所以当时，得，即，解得，所以，综上所述，存在符合条件的，其圆心Q的坐标分别为，探究：设点Q的坐标为.当与两坐标同时轴相切时，有.当时，得，即，此时，所以次方程无解.当

3、时，得，即. 解得.当的半径为时，与两坐标同时轴相切.例题2. 在平面直角坐标系中，抛物线经过、三点.（1）求此抛物线的解析式；（2）以OA的中点M为圆心，OM的长为半径作，在（1）中的抛物线上是否存在这样的点P，过点P作的切线l，且l与x轴的夹角为？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由.（注意：本题中的结果保留根号） 【答案】（1）设抛物线的解析式为，由题意，得，解得. 所以抛物线的解析式为.（2）存在，抛物线所以抛物线的顶点为，作抛物线和（如图）设满足条件的切线l与x轴交于点B，与相切于点C.连接MC，过点C作轴于点D.因为，所以，.所以，所以.在中，.所以，. 所以.设切线

4、l的解析式为，则可得，解得.所以切线BC的解析式为.由题意，解得，.所以点P的坐标为、.因为抛物线和都关于直线对称，则存在切线l关于对称的直线也满足条件.同样得到满足的点P关于和对称，则得到、.综上所述，这样的点P共有4个，、.例题3. 如图，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，顶点为点D，对称轴l与直线BC交于点E，与x轴交于点F（1）求直线BC的解析式（2）设点P为该抛物线上的一个动点，以点P为圆心、r为半径作当点P运动到点D时，若与直线BC相交，求r的取值范围；若，是否存在点P使与直线BC相切？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）抛物线中，令，得，解得，；令

5、，得；，；设直线BC的解析式为，则有：，解得，直线BC的解析式为：；（2），；，；过D作于G，则；，即；中，设，则，由勾股定理，得：，即：，解得；故D、P重合时，若与直线BC相交，则，即；存在符合条件的P点，且P点坐标为：，；过点F作于M；，则；分别过D、F作直线m、n平行于直线BC，则直线m与直线BC、直线n与直线BC之间的距离都等于x；所以P点必为直线m、n与抛物线的交点；设直线m的解析式为：，由于直线m与直线m与直线BC平行，则；，即直线m的解析式为；同理可求得直线x的解析式为：；联立直线m与抛物线的解析式，得：，解得，；，；同理，联立直线n与抛物线的解析式可求得：，；故存在符合条件的P

6、点，且坐标为：，例题4. 已知，如图4-1，抛物线经过点，其顶点为D以AB为直径的交y轴于点E、F，过点E作的切线交x轴于点N，（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）如图4-2，点Q为上的动点（Q不与E、F重合），连结AQ交y轴于点H，问：是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由图4-1 图4-【答案】（1）圆的半径连接ME，NE是切线，在中，点A、B的坐标分别为、抛物线过A、B两点，所以可设抛物线解析式为：，又抛物线过点，解得：抛物线解析为：，当时，即抛物线顶点D的坐标为（2）连接AF、QF，在和中，由垂径定理易知： ，又，在中，（或利用）即：为定值例题5. 如图，已知点A

7、的坐标是，点B的坐标是，以AB为直径作，交y轴的负半轴于点C，连接AC，BC，过A，B，C三点作抛物线（1）求抛物线的解析式； （2）点E是AC延长线上一点，的平分线CD交于点D，连接BD，求直线BD的解析式；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使得？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由 【答案】（1）连接，因为，所以，由勾股定理，得，所以，设抛物线的解析式为，则，解得，所以抛物线的解析式为；（2）连接，则由圆周角定理，又CD平分，所以，所以可以得到，又，所以直线BD的解析式为：.（3）存在，当时，能使，又可得，所以，且点，所以直线的解析式为，则由题意，解得或（舍去）所

8、以此时点.过点C作BD的平行线，交于点G，此时有，.又可得，所以直线CG的解析式为：，设点，作轴交x轴于点H，连接，则在中，由勾股定理可得，所以此时，所以直线DG的解析式为：，则由题意，解得或（舍去），所以此时点.综上所述，例题6. 如图所示，抛物线与x轴交于点、两点，与y轴交于点以AB为直径作，过抛物线上一点P作的切线PD，切点为D，并与的切线AE相交于点E，连结DM并延长交于点N，连结AN、AD（1）求抛物线所对应的函数关系式及抛物线的顶点坐标；（2）若四边形EAMD的面积为，求直线PD的函数关系式；（3）抛物线上是否存在点P，使得四边形EAMD的面积等于的面积？若存在，求出点P的坐标；若

9、不存在，说明理由 【答案】（1）因为抛物线与轴交于点，两点，设抛物线的函数关系式为：，抛物线与y轴交于点，所以，抛物线的函数关系式为：，又，因此，抛物线的顶点坐标为.（2）连结EM，EA、ED是的两条切线，又四边形EAMD的面积为又，因此，点E的坐标为或.当E点在第二象限时，切点D在第一象限在直角三角形EAM中，过切点D作垂足为点F，.因此，切点D的坐标为，设直线PD的函数关系式为，将、的坐标代入得解之，得所以，直线PD的函数关系式为当E点在第三象限时，切点D在第四象限同理可求：切点D的坐标为，直线PD的函数关系式为因此，直线PD的函数关系式为或（3）若四边形EAMD的面积等于的面积又E、D两

10、点到x轴的距离相等，PD与相切，点D与点E在x轴同侧，切线PD与x轴平行，此时切线PD的函数关系式为或当时，由得，当时，由得，故满足条件的点P的位置有4个，分别是、.例题7. 如图，在直角坐标系中，以点为圆心，以为半径的圆与x轴交于B、C两点，与y轴交于D、E两点. （1）写出B、C、D三点的坐标；（2）若B、C、D三点在抛物线上，求这个抛物线的解析式；（3）若圆A的切线交x轴正半轴于点M，交y轴负半轴于点N，切点为P且，试判断直线MN是否经过所求抛物线的顶点？说明理由. 【答案】（1），（2）由题意得，解得，所以抛物线的解析式为，（3）连接AP，则，在中，则，所以,所以直线MN解析式为，又（

11、2）得抛物线，所以抛物线的顶点为，将顶点代入直线MN验证，得顶点在直线MN上.例题8. 已知抛物线与y轴的交点为C，顶点为M，直线CM的解析式为，并且线段CM的长为；（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线与x轴有两个交点、，且点A在B的左侧，求线段AB的长；（3）若以AB为直径作，请判断直线CM与的位置关系，并说明理由【答案】（1）因为直线CM的解析式为，所以，又线段CM的长为，所以或，所以抛物线的解析式可得或.（2）因为抛物线和x轴有两个交点、，所以此时抛物线为，令，得和是方程的两根，且，则由韦达定理得，所以，所以；（3）相切，由题意抛物线的对称轴应为，所以，作于点P，设直线CM与x轴相交于

12、点D，则，且，所以得，而AB为的直径，且，N点到直线CM的距离等于的半径，所以直线CM与相切.例题9. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交x轴于，两点，交y轴于点（1）求此抛物线的解析式；（2）若此抛物线的对称轴与直线交于点D，作与x轴相切，交y轴于点E、F两点，求劣弧EF所对圆心角的度数；（3）P为此抛物线在第二象限图像上的一点，PG垂直于x轴，垂足为点G，试确定P点的位置，使得的面积被直线AC分为1:2两部分【答案】（1）由题意，得，解得 所以抛物线的解析式为：.（2）由（1）得，所以它的对称轴为，所以得，所以的半径为8，作于点H，连接EH、FH，则，且，在中，所以，所以劣弧EF所对圆心角的度数为.（3）设AC交PG于点Q，则由题可知被直线AC分为和，故或，所以或，所以或，由题，所以直线AC为，因为P点为抛物线第二象限上的一个点，设，则，所以，当时，得，解得，(舍去)，此时，当时，得，解得，(舍去)，此时，综上所述，或专心-专注-专业