2010年全国各地高考数学真题分章节分类汇编(共36页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上2010年全国各地高考数学真题分章节分类汇编第10部分:圆锥曲线一、选择题:1（ 2010年高考全国卷I理科9）已知、为双曲线C:的左、右焦点，点p在C上，p=，则P到x轴的距离为(A) (B) (C) (D) 1.B 【命题意图】本小题主要考查双曲线的几何性质、第二定义、余弦定理，考查转化的数学思想，通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力.【解析】不妨设点P在双曲线的右支,由双曲线的第二定义得，.由余弦定理得cosP=,即cos,解得,所以，故P到x轴的距离为2（2010年高考福建卷理科2）以抛物线的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为( )A. B.

2、C. D. 【答案】D【解析】因为已知抛物线的焦点坐标为（1，0），即所求圆的圆心，又圆过原点，所以圆的半径为，故所求圆的方程为，即，选D。【命题意图】本题考查抛物线的几何性质以及圆的方程的求法，属基础题。3（2010年高考福建卷理科7）若点O和点分别是双曲线的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则的取值范围为 ( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】因为是已知双曲线的左焦点，所以，即，所以双曲线方程为，设点P，则有，解得，因为，所以=，此二次函数对应的抛物线的对称轴为，因为，所以当时，取得最小值，故的取值范围是，选B。【命题意图】本题考查待定系数法求双曲线方程，考查平面向量的

3、数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运算能力。4（2010年高考安徽卷理科5）双曲线方程为，则它的右焦点坐标为A、B、C、D、5.C【解析】双曲线的，所以右焦点为.【误区警示】本题考查双曲线的交点，把双曲线方程先转化为标准方程，然后利用求出c即可得出交点坐标.但因方程不是标准形式，很多学生会误认为或，从而得出错误结论.5.(2010年高考天津卷理科5) 已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为（A） （B）（C） （D） 【答案】B【解析】因为双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，所以F（-6，0）

4、是双曲线的左焦点，即，又双曲线的一条渐近线方程是， 所以，解得，所以双曲线的方程为，故选B。6（2010年高考四川卷理科9）椭圆的右焦点，其右准线与轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点，则椭圆离心围是w_w_w.k*s 5*u.c o*m（A） （B） （C） （D）解析：由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点，即F点到P点与A点的距离相等w_w w. k#s5_u.c o*m而|FA| w_w_w.k*s 5*u.c o*m |PF|ac,ac于是ac,ac即acc2b2acc2 w_w_w.k*s 5*u.c o*m又e(0,1)故e答案：D7. (20

5、10年全国高考宁夏卷12）已知双曲线的中心为原点，是的焦点，过F的直线与相交于A，B两点，且AB的中点为,则的方程式为(A) (B) (C) (D) 【答案】B 解析：由已知条件易得直线的斜率为，设双曲线方程为，则有，两式相减并结合得，从而，即，又，解得，故选B8（2010年高考陕西卷理科8）已知抛物线的准线与圆相切，则的值为 【 】 【答案】C【解析】由题设知，直线与圆相切，从而.故选.9（2010年高考浙江卷8）设,分别为双曲线的左，右焦点。若在双曲线右支上存在点，满足=,且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近方程为 (A) （B） (C) (D) 【答案】C10（2010年高

6、考辽宁卷理科7）设抛物线y2=8x的焦点为F，准线为l,P为抛物线上一点,PAl,A为垂足如果直线AF的斜率为,那么|PF|= (A) (B)8 (C) (D) 16【答案】B11（2010年高考辽宁卷理科9）设双曲线的个焦点为F；虚轴的个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为 (A) (B) (C) (D) 【答案】D12(2010年高考全国2卷理数12）已知椭圆的离心率为，过右焦点且斜率为的直线与相交于两点若，则（A）1 （B） （C） （D）213（2010年上海市春季高考17)答案：B解析：由即，则。故“”推不出“直线与抛物线有两个不同的交点”，但“直

7、线与抛物线有两个不同的交点”则必有“”。故选B.二、填空题：1（ 2010年高考全国卷I理科16）已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点，且，则的离心率为 .1.【命题意图】本小题主要考查椭圆的方程与几何性质、第二定义、平面向量知识，考查了数形结合思想、方程思想,本题凸显解析几何的特点：“数研究形，形助数”，利用几何性质可寻求到简化问题的捷径.【解析】如图，,作轴于点D1,则由，得,所以,即,由椭圆的第二定义得又由,得,整理得.两边都除以,得,解得.2. (2010年高考湖南卷理科14)【解析】抛物线的焦点坐标为F（0，），则过焦点斜率为1的直线方程为，设A（），由题意可知

8、由，消去y得，由韦达定理得，所以梯形ABCD的面积为：所以【命题意图】本题考查抛物线的焦点坐标，直线的方程，直线与抛物线的位置关系，考察考生的运算能力,属中档题3（2010年高考江苏卷试题6）在平面直角坐标系xOy中，双曲线上一点M，点M的横坐标是3，则M到双曲线右焦点的距离是_【答案】4 解析考查双曲线的定义。，为点M到右准线的距离，=2，MF=4。4（2010年高考北京卷理科13）已知双曲线的离心率为2，焦点与椭圆的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为 ；渐近线方程为 。【答案】;解析：双曲线焦点即为椭圆焦点，不难算出为，又双曲线离心率为2，即，故，渐近线为5（2010年高考江西卷理科15）点

9、在双曲线的右支上，若点到右焦点的距离等于，则 .【答案】26（2010年高考浙江卷13）设抛物线y2=2px（p0）的焦点为F，点A（0，2）. 若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为_.【答案】7(2010年高考全国2卷理数15）已知抛物线的准线为，过且斜率为的直线与相交于点，与的一个交点为若，则 【答案】2 【命题意图】本题主要考查抛物线的定义与性质.【解析】过B作BE垂直于准线于E，M为中点，又斜率为，M为抛物线的焦点，2.8（2010年高考上海市理科3）动点到点的距离与它到直线的距离相等，则的轨迹方程为 。【答案】【解析】由题意知, 的轨迹是以点为焦点,以直线为准线的

10、抛物线,所以,得出抛物线方程为,即为所求.9（2010年高考上海市理科13）如图所示，直线x=2与双曲线的渐近线交于,两点，记，任取双曲线上的点P，若，则a、b满足的一个等式是 【答案】4ab=110. (2010年高考重庆市理科14)已知以F为焦点的抛物线上的两点A、B满足，则弦AB的中点到准线的距离为_【答案】解析：设BF=m,由抛物线的定义知中，AC=2m,AB=4m, 直线AB方程为 与抛物线方程联立消y得所以AB中点到准线距离为。11（2010年上海市春季高考5)若椭圆上一点到焦点的距离为6，则点到另一个焦点的距离是 答案：4解析：由椭圆的定义知,故。12（2010年上海市春季高考7

11、)已知双曲线经过点，它的一条渐近线方程为，则双曲线的标准方程是 。答案：。解析：设双曲线的方程为，将点代入可得。故答案为。三、解答题：1（2010年高考山东卷理科）（本小题满分12分）如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设为该双曲线上异于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为和.（）求椭圆和双曲线的标准方程；来源:学.科.网Z.X.X.K（）设直线、的斜率分别为、，证明；（）是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.【解析】（）由题意知，椭圆离心率为，得，又，所以可解得，所以，所以椭圆的标准方

12、程为；所以椭圆的焦点坐标为（，0），因为双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，所以该双曲线的标准方程为。（）设点P（，），则=，=，所以=，又点P（，）在双曲线上，所以有，即，所以=1。（）假设存在常数，使得恒成立，则由（）知，所以设直线AB的方程为，则直线CD的方程为，由方程组消y得：，设，则由韦达定理得：所以|AB|=，同理可得|CD|=，又因为，所以有=+=，所以存在常数，使得恒成立。【命题意图】本题考查了椭圆的定义、离心率、椭圆与双曲线的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系，是一道综合性的试题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力。其中问题（3）是一个开放性问题，考查了同学们观察、推

13、理以及创造性地分析问题、解决问题的能力。2（2010年高考福建卷理科17）（本小题满分13分）已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A（2，3），且点F（2，0）为其右焦点。（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在平行于OA的直线，使得直线与椭圆C有公共点，且直线OA与的距离等于4？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由。【命题意图】本小题主要考查直线、椭圆等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想。【解析】（1）依题意，可设椭圆C的方程为，且可知左焦点为F（-2，0），从而有，解得，又，所以，故椭圆C的方程为。（2）假设存在符合题意的直线，其方

14、程为，由得，因为直线与椭圆有公共点，所以有，解得，另一方面，由直线OA与的距离4可得：，从而，由于，所以符合题意的直线不存在。3 .(2010年高考天津卷理科20) (本小题满分12分)已知椭圆(0)的离心率，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4。()求椭圆的方程：()设直线与椭圆相交于不同的两点。已知点的坐标为(-，0)，点(0，)在线段的垂直平分线上，且=4。求的值。【命题意图】本小题主要考察椭圆的标准方程和几何性质，直线的方程，平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查运算和推理能力。【解析】（1）解：由，得，再由，得由题意可知， 解方程组 得 a=2,

15、b=1所以椭圆的方程为(2)解：由（1）可知A（-2,0）。设B点的坐标为（x1,y1）,直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k(x+2),于是A,B两点的坐标满足方程组由方程组消去Y并整理，得由得设线段AB是中点为M，则M的坐标为以下分两种情况：（1）当k=0时，点B的坐标为（2,0）。线段AB的垂直平分线为y轴，于是（2）当K时，线段AB的垂直平分线方程为令x=0，解得由整理得综上。4. (2010年高考数学湖北卷理科19）(本小题满分12分)已知一条曲线C在y轴右边，C上没一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差是1.()求曲线C的方程；()是否存在正数m，对于过点M(m,0)且

16、与曲线C有连个交点A,B的任一直线，都有0 ? 若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.5. (2010年高考湖南卷理科19)（本小题满分13分）为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距8km的A，B两点各建一个考察基地视冰川面为平面形，以过A，B两点的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系（图6）在直线的右侧，考察范围为到点B的距离不超过km的区域；在直线的左侧，考察范围为到A，B两点的距离之和不超过km的区域（）求考察区域边界曲线的方程；（）如图6所示，设线段，是冰川的部分边界线（不考虑其他边界），当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第

17、一年移动0.2km，以后每年移动的距离为前一年的2倍，求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间冰 O化 区 域融 已 川 B(4,0)P3(8,6)图6A(-4,0)xyx=2【解析】（）设边界曲线上点P的坐标为.当2时，由题意知当，因而其方程为故考察区域边界曲线（如图）的方程为（）设过点P1，P2的直线为l1，点P2，P3的直线为l2，则直线l1，l2的方程分别为【命题意图】本题以应用题为背景，考查考察考生数学建模能力，考查圆的方程、椭圆的定义与方程、直线与圆锥曲线的位置关系、等比数列求和。本题属难题。6. （2010年高考安徽卷理科19）（本小题满分13分）已知椭圆经过点，对称轴为坐标轴，

18、焦点在轴上，离心率。 ()求椭圆的方程；()求的角平分线所在直线的方程；()在椭圆上是否存在关于直线对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由。7（2010年高考广东卷理科20）（本小题满分为14分） 一条双曲线的左、右顶点分别为A1,A2，点，是双曲线上不同的两个动点。 （1）求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程式；（2）若过点H(0, h)（h1）的两条直线l1和l2与轨迹E都只有一个交点，且 ,求h的值。【解析】 来源:学,科,网故，即。（2）设，则由知，。将代入得，即，由与E只有一个交点知，即来源:学.科.网来源:学科网ZXXK。同理，由与E只有一个交点知，消去得，即，从而，

19、即。8. （ 2010年高考全国卷I理科21）(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效）已知抛物线的焦点为F，过点的直线与相交于、两点，点A关于轴的对称点为D .（）证明：点F在直线BD上；（）设，求的内切圆M的方程 .【命题意图】本小题为解析几何与平面向量综合的问题，主要考查抛物线的性质、直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系、圆的几何性质与圆的方程的求解、平面向量的数量积等知识,考查考生综合运用数学知识进行推理论证的能力、运算能力和解决问题的能力，同时考查了数形结合思想、设而不求思想.【解析】（21）解：设，的方程为.（）由知， 因为 ， 故 ，解得 所以的方程为 又由知 故直线

20、BD的斜率，因而直线BD的方程为因为KF为的平分线，故可设圆心，到及BD的距离分别为.由得，或（舍去），故 圆M的半径.所以圆M的方程为.9（2010年高考四川卷理科20）（本小题满分12分）已知定点A(1，0)，F(2，0)，定直线l：x，不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍.设点P的轨迹为E，过点F的直线交E于B、C两点，直线AB、AC分别交l于点M、N（）求E的方程；（）试判断以线段MN为直径的圆是否过点F，并说明理由.10（2010年高考江苏卷试题18）（本小题满分16分）在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左、右顶点为A、B，右焦点为F。设过点T（）的直线TA、TB

21、与椭圆分别交于点M、，其中m0,。（1）设动点P满足,求点P的轨迹；（2）设，求点T的坐标；（3）设,求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）。解析 本小题主要考查求简单曲线的方程，考查方直线与椭圆的方程等基础知识。考查运算求解能力和探究问题的能力。满分16分。（1）设点P（x，y），则：F（2，0）、B（3，0）、A（-3，0）。由，得 化简得。故所求点P的轨迹为直线。（2）将分别代入椭圆方程，以及得：M（2，）、N（，）直线MTA方程为：，即，直线NTB 方程为：，即。联立方程组，解得：，所以点T的坐标为。（3）点T的坐标为直线MTA方程为：，即，直线NTB 方程为：，即。分别与

22、椭圆联立方程组，同时考虑到，解得：、。（方法一）当时，直线MN方程为： 令，解得：。此时必过点D（1，0）；当时，直线MN方程为：，与x轴交点为D（1，0）。所以直线MN必过x轴上的一定点D（1，0）。（方法二）若，则由及，得，此时直线MN的方程为，过点D（1，0）。若，则，直线MD的斜率，直线ND的斜率，得，所以直线MN过D点。因此，直线MN必过轴上的点（1，0）。11. (2010年全国高考宁夏卷20）（本小题满分12分）设分别是椭圆的左、右焦点，过斜率为1的直线与相交于两点，且成等差数列。（1）求的离心率； （2） 设点满足，求的方程（20.）解：（I）由椭圆定义知，又，得的方程为，其中

23、。设，则A、B两点坐标满足方程组化简的则因为直线AB斜率为1，所以得故所以E的离心率（II）设AB的中点为，由（I）知，。由，得，即得，从而故椭圆E的方程为。12（2010年高考陕西卷理科20）（本小题满分13分）如图，椭圆C：的顶点为A1,A2,B1,B2,焦点为F1,F2, | A1B1|= ,()求椭圆C的方程；()设n是过原点的直线，l是与n垂直相交于P点、与椭圆相交于A,B两点的直线，是否存在上述直线l使成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由。解 （1）由知a2+b2=7, 由知a=2c, 又b2=a2-c2 由 解得a2=4,b2=3,故椭圆C的方程为。（2）设A,B

24、两点的坐标分别为（x1,y1）(x2,y2)假设使成立的直线l不存在，（1） 当l不垂直于x轴时，设l的方程为y=kx+m,由l与n垂直相交于P点且得来源:学。科。网，即m2=k2+1.,13(2010年高考北京市理科19)（本小题共14分）www.ks在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（-1,1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于.()求动点P的轨迹方程；()设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N，问：是否存在点P使得PAB与PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。（19）（共14分）www.ks（I）解：因为点B与A关于原点对称，所以点得

25、坐标为. 设点的坐标为 由题意得 化简得 . 故动点的轨迹方程为（II）解法一：设点的坐标为，点，得坐标分别为,. 则直线的方程为，直线的方程为令得，.于是得面积 又直线的方程为，点到直线的距离.于是的面积 当时，得又，所以=，解得。因为，所以故存在点使得与的面积相等，此时点的坐标为.解法二：若存在点使得与的面积相等，设点的坐标为 则. 因为, 所以 所以 即 ，解得 因为，所以 故存在点S使得与的面积相等，此时点的坐标为.14（2010年高考江西卷理科21）（本小题满分12分）设椭圆：，抛物线：. (1) 若经过的两个焦点，求的离心率；(2) 设，又为与不在轴上的两个交点，若的垂心为，且的重

26、心在上，求椭圆和抛物线的方程21（本小题满分12分）解：（1）因为抛物线经过椭圆的两个焦点，可得：，由得椭圆的离心率（2）由题设可知关于轴对称，设，则由的垂心为，有，所以 由于点在上，故有 式代入式并化简得：，解得或（舍去），所以，故，所以的重心为，因为重心在上得：，所以，又因为在上，所以，得所以椭圆的方程为：，抛物线的方程为：15（2010年高考辽宁卷理科20）（本小题满分12分）设椭圆C：的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60o,.(I) 求椭圆C的离心率；(II) 如果|AB|=，求椭圆C的方程.16（2010年高考浙江卷理科21）（本小题满分15分）已

27、知m1,直线l:x-my-2=0,椭圆C：（）2+y2=4 ，F1,F2分别为椭圆C的左右焦点。（）当直线l过右焦点F2时，求直线l的方程；（）设直线l与椭圆C交与A,B两点，AF1F2, BF1F2的重心分别为G,H.若原点O在以线段GH为直径的的圆内，求实数m的取值范围。（21）本题主要考察椭圆的几何性质，直线与椭圆，点与圆的位置关系等基础知识，同时考察解析几何的基本思想方法和综合解题能力。满分15分。 （）解：因为直线经过，所以,得，又因为，所以，故直线的方程为。（）解：设。 由，消去得 则由，知，且有。由于，故为的中点，由，可知设是的中点，则，由题意可知即即而 所以即又因为且所以。所以

28、的取值范围是。17(2010年高考全国2卷理数21）（本小题满分12分） 己知斜率为1的直线l与双曲线C：相交于B、D两点，且BD的中点为来源:学科网 （）求C的离心率； （）设C的右顶点为A，右焦点为F，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切来源:学科网ZXXK【命题意图】本题主要考查双曲线的方程及性质，考查直线与圆的关系，既考查考生的基础知识掌握情况，又可以考查综合推理的能力.【参考答案】【点评】高考中的解析几何问题一般为综合性较强的题目，命题者将好多考点以圆锥曲线为背景来考查，如向量问题、三角形问题、函数问题等等，试题的难度相对比较稳定.18. (2010年高考重庆市理科20) (本小题满分12分，()小问5分，()小问7分)已知以原点O为中心，为右焦点的双曲线C的离心率.（）求双曲线C的标准方程及其渐近线方程；（）如题（20）图，已知过点的直线：与过点（其中）的直线：的交点E在双曲线C上，直线MN与双曲线的两条渐近线分别交于G、H两点，求OGH的面积Ol1yGMNExl2题(20)图专心-专注-专业