2021届浙江新高考数学一轮复习教师用书:第二章-9-第9讲-函数模型及其应用(共15页).doc
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1、精选优质文档-倾情为你奉上第9讲函数模型及其应用1几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)axb(a,b为常数,a0)二次函数模型f(x)ax2bxc(a,b,c为常数,a0)指数函数模型f(x)baxc(a,b,c为常数,a0且a1,b0)对数函数模型f(x)blogaxc(a,b,c为常数,a0且a1,b0)幂函数模型f(x)axnb(a,b,n为常数,a0,n0)2.三种函数模型性质比较yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0,)上的单调性增函数增函数增函数增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x值增大,图象与y轴接近平行随x值增大,图象与x轴接近平行
2、随n值变化而不同疑误辨析判断正误(正确的打“”,错误的打“”)(1)幂函数增长比直线增长更快()(2)不存在x0,使ax0x1)的增长速度会超过并远远大于yxa(a1)的增长速度()(4)“指数爆炸”是指数型函数yabxc(a0,b0,b1)增长速度越来越快的形象比喻()答案:(1)(2)(3)(4)教材衍化1(必修1P107A组T1改编)在某个物理实验中,测量得变量x和变量y的几组数据,如表:x0.500.992.013.98y0.990.010.982.00则对x,y最适合的拟合函数是()Ay2xByx21Cy2x2 Dylog2x解析:选D.根据x0.50,y0.99,代入计算,可以排除
3、A;根据x2.01,y0.98,代入计算,可以排除B,C;将各数据代入函数ylog2x,可知满足题意2(必修1P102例3改编)某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示,则下列说法中错误的是()A收入最高值与收入最低值的比是31B结余最高的月份是7月C1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D前6个月的平均收入为40万元解析:选D.由题图可知,收入最高值为90万元,收入最低值为30万元,其比是31,故A正确;由题图可知,7月份的结余最高,为802060(万元),故B正确;由题图可知,1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同,故C正确;由题图可知,前6个月的
4、平均收入为(406030305060)45(万元),故D错误3(必修1P107A组T4改编)用长度为24的材料围一矩形场地,中间加两道隔墙,要使矩形的面积最大,则隔墙的长度为_解析:设隔墙的长度为x(0xg(x)h(x) Bg(x)f(x)h(x)Cg(x)h(x)f(x) Df(x)h(x)g(x)解析:选B.由函数性质知,当x(4,)时,增长速度由大到小依次为g(x)f(x)h(x)故选B.2生产一定数量商品的全部费用称为生产成本,某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)x22x20(万元)一万件售价为20万元,为获取更大利润,该企业一个月应生产该商品数量为_万件解析:利润L(
5、x)20xC(x)(x18)2142,当x18时,L(x)有最大值答案:183某城市客运公司确定客票价格的方法是:如果行程不超过100 km,票价是0.5元/km,如果超过100 km,超过100 km的部分按0.4元/km定价,则客运票价y(元)与行程千米数x(km)之间的函数关系式是_解析:由题意可得y答案:y应用所给函数模型解决实际问题 某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品,若该商品零售价定为p元,销售量为Q件,则销售量Q(单位:件)与零售价p(单位:元)有如下关系:Q8 300170 pp2,则最大毛利润为(毛利润销售收入进货支出)()A30元B60元C28 000元 D23
6、 000元【解析】设毛利润为L(p)元,则由题意知L(p)pQ20QQ(p20)(8 300170pp2)(p20)p3150p211 700p166 000,所以L(p)3p2300p11 700.令L(p)0,解得p30或p130(舍去)当p(0,30)时,L(p)0,当p(30,)时,L(p)0)模型角度一构建二次函数模型 某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税,税率为R%(即每销售100元征税R元),若年销售量为(30R)万件,要使附加税不少于128万元,则R的取值范围是()A4,8 B6,10C4%,8% D6%,10%【解析】根据题意,要使附加税不少于128万元,需160R
7、%128,整理得R212R320,解得4R8,即R4,8【答案】A角度二构建指数函数、对数函数模型 某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入若该公司2015年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是()(参考数据:lg 1.120.05,lg 1.30.11,lg 20.30)A2018年 B2019年C2020年 D2021年【解析】根据题意,知每年投入的研发资金增长的百分率相同,所以,从2015年起,每年投入的研发资金组成一个等比数列an,其中,首项a1130,公比q112%1.12,所以an130
8、1.12n1.由1301.12n1200,两边同时取对数,得n1,又3.8,则n4.8,即a5开始超过200,所以2019年投入的研发资金开始超过200万元,故选B.【答案】B角度三构建分段函数模型 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况在一般情况下,大桥上的车流速度v(单位:千米/时)是车流密度x(单位:辆/千米)的函数当桥上的车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0;当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为60千米/时研究表明:当20x200时,车流速度v是车流密度x的一次函数(1)当0x200时,求函数v(x)的表达式;(2)当车流密度x为多大时,车流量(单
9、位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/时)f(x)xv(x)可以达到最大,并求出最大值(精确到1辆/时)【解】(1)由题意,当0x20时,v(x)60;当20x200时,设v(x)axb,再由已知得解得故函数v(x)的表达式为v(x)(2)依题意并由(1)可得f(x)当0x20时,f(x)为增函数,故当x20时,其最大值为60201 200;当200)模型 要建造一个容积为2 400 m3,深为6 m的长方体无盖水池池底造价为100元/m2,池壁造价为80元/m2,则最低造价为_(元)【解析】设水池长为x,则宽为.则总造价y(12x)80400100960(x)40 000960240
10、00078 400(元)当且仅当x,即x20时,最低造价为78 400元【答案】78 400构建数学模型解决实际问题,要正确理解题意,分清条件和结论,理顺数量关系,将文字语言转化成数学语言,建立适当的函数模型,求解过程中不要忽略实际问题对变量的限制 为了保护环境,发展低碳经济,某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,采用了新工艺,把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品已知该单位每月的处理量最少为400吨,最多为600吨,月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为:yx2200x80 000,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品的价值为100元,则该单位每月能否获利?
11、如果获利,求出最大利润;如果不获利,则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损?解:设该单位每月获利为S,则S100xy100xx2300x80 000(x300)235 000,因为400x600,所以当x400时,S有最大值40 000.故该单位不获利,需要国家每月至少补贴40 000元,才能不亏损核心素养系列4数学建模函数建模在实际问题中的妙用 某新型企业为获得更大利润,须不断加大投资,若预计年利润低于10%时,则该企业就考虑转型,下表显示的是某企业几年来年利润y(百万元)与年投资成本x(百万元)变化的一组数据:年份2008200920102011投资成本x35917年利润y1234给出
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