报童的决窍(共5页).docx

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1、精选优质文档-倾情为你奉上报童的决窍摘要本论文讨论的是报童卖报问题,报童卖报问题实际上就是通过分析,找出几种可能的方案,通过求解,找出一个最优的方案来订报,使得报童赢利取得最大期望值或报童损失的最小期望值的临界值,也就是使报童获得的利益最大。本文首先建立了最大期望值和最小期望值的模型，然后分别用连续的方法和离散的方法求解，最后得出结论。尽管报童赢利最大期望值和损失最小期望值是不相同的，但是确定最佳订购量的条件是相同的。关键词：期望值、连续、离散一、问题重述 报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖掉的报纸退回。设报纸每份进购价为b,零售价为a,退回价为c,自然地假设abc.也就是说,报童售

2、出一份报纸赚a-b,退回一份赔b-c,在他的销售范围内每天报纸的需求量为r份的概率是f(r)(r=0,1,2,).那么，报童每天要购进多少份报纸才能使收入最大？二、模型分析 如果每天购进的报纸太少，不够卖的，会少赚钱；如果购进太多，卖不完，将要赔钱。因此，存在一个最优的购进量，使得收入最大。因此，应当根据需求来确定购进量。然而，每天的需求是随机的，进而每天的收入也是随机的。因此，优化问题的目标函数应是长期日平均收入，等于每天收入的期望。三、模型假设（1）假设报纸每天的订购价格和出售价格不变；（2）假设报童已经通过自己的经验或其他方式掌握了需求量的分布，设在报童的销售范围内每天报纸需求量为 r

3、份的概率是f (r )；（3）假设报纸的需求量不受天气等其它自然环境的影响；四、模型的建立设每项天购进量为n份,因为需求量r是随机的,所以r可以小于n,等于n,或大于n.所以报童每天购进n份报纸时的平均收入为G(n), 售出一份赚 a-b；退回一份赔 b-c:(1)如果这天需求量rn,则他售出r份,退回n-r份. 所以报童这天所得利益为(a-b)r，损失额为(b-c)(n-r);(2) 如果这天需求量rn，则所进购报纸全部售出,即售出n份，所以报童这天所得利益为(a-b)r (a-b)n。又需求量 r 的概率为 f (r ) ，于是得到G (n) = r=0n(a-b)r-(b-c)(n-r

4、) f (r ) +r=n+1a-bnf(r)求n使G(n)最大,即所得n就为报童最优的订报份数.通常需求量 r 和购进量 n 都相当大，所以可以将 r 视为连续变量,便于分析和计算.此时概率f (r ) 转化为概率密度函数p (r ), 则上式变成G (n) = 0n(a - b)r - (b - c)(n - r ) p(r )dr +n (a - b)np (r )dr对 G (n) 求导得:dG dn=(a-b)np(n) 0n(b-c)p (r )dr-(a b)np(n)+(a-b)nprdr =-(b-a)0nprdr+(a-b)nprdr令dG dn=0得到：0nprdrnpr

5、dr=a-bb-c 使报童日平均收入达到最大的购进量n应满足上式.因为nprdr=1,所以所以上式可表示为:0nprdr=a-bb-c 根据需求量的概率密度函数p(r)的图形可以确定购进量n.在图中用p1,p2别分表示曲线p(r)下的两部分面积,则p1p2=a-bb-c当购进n份报纸时p1=0nprdr是需求量不超过n的概率,即卖不完的概率;p2=nprdr是需求量r超过n的概率,所以从上式可以看出,购进的份数n是卖不完与卖完的概率之比,恰好等于卖出一份赚的钱a-b与退回一份赔的钱b-c之比.五、模型的求解1、若每份报纸的购进价为 0.75 元，售出价为 1 元，退回价为 0.6 元，需求量服

6、从均 值 500 份， 均方差 50 份的正态分布， 报童每天应购进多少份报纸才能使平均收入最高， 最高收入是多少？由题设得 a = 1, b = 0.75, c = 0.6 ， E (r ) = 500, （r）=50，不妨设报纸的需求量服从正态分。正态分布的密度函数为：P（r）=12exp-（r-u）222因为0nprdr=a-bb-c =53解得：n516G (n) = 0n(a - b)r - (b - c)(n - r ) p(r )dr +n (a - b)np (r )dr= 117即报童获得最大收入的进报量为 516 份，最大收入为 117 元.2、假设已经得到 159 天报纸

7、需求量的情况如下表：表 159 天报纸需求量的分布情况表中需求量在 100-119 的由 3 天，其余类推。根据这些数据。并假定 a=1，b=0.8，c=0.75，为报童提供最佳决策。求解过程：对上表中需求量取均值得到其分布如下：求出此样本的均值及方差、标准差：E(r)=3/159*110+9/159*130+13/159*150+22/159*170+32/159*190+35/159*210+20/159*230+15/159*250+8/159*270+2/159*290=199.9320D(r)=E(r2)-E2(r)= 1.4984e+003S=D(r)=38.70955所以：a=

8、1,b = 0.8,c = 0.75 ， E(r ) = 199.4340,（r）= 38.70955G (n) = 0n(a - b)r - (b - c)(n - r ) p(r )dr +n (a - b)np (r )dr令dG dn=0得到：n=232故G (n)= 37.2所以报童获得最大收入的进报量为 232 份，最大收入为 37.2 元六、模型的结果分析、优化和推广当报童与报社签订的合同使报童每份赚钱与赔钱之比越大时，报童购进的份数就应该越多。这个问题属于随机存储模型，由于需求量是随机变量，在知道其概率分布的前提下，构 造利润函数（它是随机变量的函数）也是随机变量，根据期望利润

9、最大，确定最佳定货量或 最佳存储量。这类问题又成为报童的诀窍或者随机存储策略。参考文献：1.姜启源、谢金星 数学模型（第三版） 高等教育出版社 2003.82. 谢云荪等 数学实验M 科学出版社 1999.83 周义仓等 数学建模实验M 西安交通大学出版社 1999.10.附件:下面用 matlab 求解：1、（1）a=1;b=0.75;c=0.6;m=500;s=50;n=norminv(a-b)/(a-c),m,s)运行matlab得到结果： n = 515.9320（2）syms rpr=1/(sqrt(2*pi)*s)*exp(-(r-m)2/(2*s2);Gn=int(a-b)*x-

10、(b-c)*(n-r)*pr,0,n)+int(a-b)*n*pr,n,inf);double(Gn)运行程序:ans = 117.41612、输入程序：r=110 130 150 170 190 210 230 250 270 290;p=3/159 9/159 13/159 22/159 32/159 35/159 20/159 15/159 8/159 2/159;Er=sum(r.*p)得出结果：Er = 199.4340输入： Dr=sum(r.2.*p)-Er.2 得到结果：Dr =1.4984e+003输入： s=sqrt(Dr) 得到：s = 38.70955此时a= 1,b = 0.8,c = 0.75 ， E(r ) = 199.4340,（r）= 38.70955求解如下：输入：a=1;b=0.8;c=0.75;m=199.4340;s=38.70955;n=norminv(a-b)/(a-c),m,s)运行得出结果：n = 232.0128syms xpr=1/(sqrt(2*pi)*s)*exp(-(x-m)2/(2*s2); Gn=int(a-b)*x-(b-c)*(n-x)*pr,0,n)+int(a-b)*n*pr,n,inf); double(Gn)运行结果：ans = 37.1775专心-专注-专业