九年级数学平面几何中的定值问题例题讲解(共4页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上九年级数学平面几何中的定值问题例题讲解知识点，重点，难点 所谓定值问题，是指按照一定条件构成的几何图形，当某些几何元素按一定的规律在确定的范围内变化时，与它有关的某种几何量却始终保持不变（或几何元素间的某种几何性质或位置关系不变）。 平面几何定值一般可分为两类：一类是定量问题（如定长度、定角、定比、平方和或倒数和为定值等）；一类是定形问题（如定点、定线、定圆或弧、定方向等），它们有共同的基本特点，即给定条件中一般由固定条件和变动条件两部分组成。 一般来说，求解定值问题的方法有： 图形分析法。画出符合条件的图形后，分析图中几何元素的数量关系及位置关系，直接寻求出定值并证

2、明。 特殊位置法。不论图形如何变动，定值这一共性始终不变，因此可选择图形的特殊位置（如极限位置、临界位置）加以探求。参数计算法。图形运动中，选取其中的变量（如线段长、角度、面积等）作为参数，将要求的定值用参数表出，然后消去参数即得定值。例题精讲例1：如图，已知O及弦AB，P为O上任一点，PA、PB分别交AB中垂线于E、F，求证：OEOF为定值。分析 若在O上的点P运动到特殊位置点Q，则点E，点F都和Q点重合，于是得到OEOF=OQ，由此可推想，该定值可能为O半径的平方。证明 因为OE是弦AB的中垂线，所以，所以AOE=BOE，所以又因为EPB =PABABP，所以AOE = EPB，所以A、O

3、、F、P四点共圆，所以OFB =OAE.又因为FOB=AOE，所以FOBOAE，所以即OEOFOAOB.因为OA=OB，所以OEOF=OA（定值）。例2：如图，设AB、CD是圆O的两条定直径，P是圆周上的任一点，过P作AB垂线，过P作CD的垂线，其垂足分别为Q、R，DTAB，垂足为T，求证：QR是定长。分析 把点P沿O运动到特殊的点D的位置，不难发现QR =DT，那么当P是圆周上的任一点时，只要证明QR =DT.证明 设圆的半径为r，作RSAB，连结OP.因为PQAB，PRCD，所以P、O、Q、R四点共圆，所以RQS =OPR，所以RtOPR RtRQS，所以=rsinDOB =DT（定值）。

4、例3：如图，已知ABC、ABD是在AB同侧的两个以AB为斜边的直角三角形，P是AB上的动点，但P不重合于A、B，求证：tanPCAtanPDB是定值。分析 因为P是AB上的动点，要考虑tanPCAtanPDB是定值，需要把点P移动到特殊的位置，即取P为AB的中点时，tanPCA tanPDB=tanPACtanDBP（定值）。证明 过点P作PEAC，垂足为E，过P点作PFBD，垂足为F点。因为所以又因为EPAC，ACB=90，所以EPBC，得所以同理可得故=，即（定值）。例4：平面上有两个边长相等的正六边形ABCDEF和ABCDEF，且正六边形ABCDEF的顶点A在正六边形ABCDEF的中心。

5、当正六边形ABCDEF绕A转动时，两个正六边形的重合部分的面积必然是一个定值，这个结论正确吗？试证明你的判断。解 两个正六边形的重合部分的面积是一个定值。证明如下：如图，重合部分的面积是一个定值。连结AB、AD，由A为正六边形ABCDEF的中心知AB = AD=AB，ABG =ADH=60.又当AB与AB重合时，必有AF与AD重合，故知GAB =HAD.在AGB和AHD中，故 因此两个正六边形的重合部分的面积必然是定值。例5：由圆外定直线上任意点引圆的两条切线，求证：两切点的连线必过一定点。分析 设直线AA为O外定直线，A为此线上任一点由A引两切线为AE、AF，E，F为切点，连结EF，应过某一

6、定点。若A点运动到C点(OCAA)的特殊位置，因图形的对称性判定点一定在OC上，而EF与OC的交点P可能就是此定点，如能确定OP的长，问题就解决了。证明 如图，连结AO与EF交于B，连结OE.因为AOEF，又因为OEA=90，所以OE=OAOB.又因为四边形ABPC中，对角ABF=PCA=90，所以A、B、P、C四点共圆，所以OBOA = OPOC，OPOCOE因为OE，OC均为定值，所以OP为一定值，且OP在定直线OC上。所以不论点A在直线AA上何处，弦EF恒过P点。例6：如图，A、B为两定点，O为一动点在AB所在平面上异于O点的一侧取A点及B点，使OAA =OBB=90，且BB =OB，A

7、A =OA.设AB的中点为O（1）试问当O点在线段AB的一侧移动时，AB的中点O，的位置将怎样变化？（2）请证明你的猜想。分析 分别取O点的三个特殊位置：（1）在AB的垂直平分线上，且与AB相距AB的位置上；（2）在以A为垂足且与AB垂直的直线上；（3）在以B为垂足且与AB垂直的直线上可看出O点不随O点的移动而变化。解 （1）取O点的几个特殊位置，可以看出O点的位置将不随O点的变化而变化，即无论O点怎样移动，点O位置保持不变。 (2)过O、A、O、B甘点分别作AB的垂线，垂足依次为C、D、E、F.因为OAC = 90DAA=AAD，AA=OA，所以RtOACRtAAD.同理RtOCBRtBFB，所以AD=OC=BF，AD=AC，BF=BC.点E既是DF的中点，又是AB的中点OE是梯形ADFB的中位线，所以OE=这就是说，无论O点在何处，O点必在线段AB的垂直平分线上距线段AB为AB处，即AB的中点O始终保持不变。专心-专注-专业