北师大版七年级数学下册第二章-：相交线与平行线培优讲义(共29页).docx

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1、精选优质文档-倾情为你奉上第二章 相交线与平行线培优讲义内容基本要求略高要求较高要求相交线 平行线了解余角、补角、对顶角，知道等角（同角）的余角相等，等角（同角）的补角相同；了解垂线、垂线段的概念，了解垂线段最短的性质，了解点到直线的距离的意义；了解线段垂直平分线及其性质；知道过直线外一点有且只有一条直线平行与已知直线；知道过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；理解两平行线之间距离的意义，会度量两平行线间的距离会用三角尺和直尺过直线外一点做这条直线的平行线；会用直尺或量角器过一点做已知直线的垂线；会用线段垂直平分线的性质解决简单问题；掌握平行线的性质，会判断两条直线是否平行相交直线的概念及性质

2、如果直线与直线只有一个公共点，则称直线与直线相交，为交点，其中一条是另一条的相交线相交线的性质：两直线相交只有一个交点邻补角的概念：两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角叫做互为邻补角.如图中，和，和，和，和互为邻补角.互为邻补角的两个角一定互补，但两个角互补不一定是互为邻补角。对顶角的概念及性质：（1）对顶角的概念：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角. 我们也可以说，两条直线相交成四个角，其中有公共顶点而没有公共边的两个角叫做对顶角.如图中，和，和是对顶角.（2）对顶角的性质：对顶角相等。垂线的概念及性质：（1）垂线的概念：垂直是相交的一

3、种特殊情况，两条直线互相垂直，其中一条叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足. 如图所示，可以记作“于”（2）垂线的性质：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直；连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简单说成：垂线段最短.5.同位角、内错角、同旁内角的概念：同位角：两条直线被第三条直线所截，位置相同的一对角(两个角分别在两条直线的相同一侧，并且在第三条直线的同旁)叫做同位角如图所示，1与5，2与6，3与7，4与8都是同位角.内错角：两条直线被第三条直线所截，两个角都在两条直线之间，并且位置交错，(即分别在第三条直线的两旁)，这样的一对角 叫做内错角，如图中，3与5，4与6都是内

4、错角同旁内角：两条直线被第三条直线所截，两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线的同旁，这样的一对角叫做同旁内角，如图中，3与6，4与5都是同旁内角.看图识角：（1）“”型中的同位角.如图. （2）“”字型中的内错角，如图. （3）“U”字型中的同旁内角.如图. 平行线的概念：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线与直线互相平行，记作。平行线的性质：平行线之间的距离处处相等.两条直线的位置关系在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交；平行。因此当我们得知在同一平面内两直线不相交时，就可以肯定它们平行；反过来也一样（这里，我们把重合的两直线看成一条直线）注意：判断同一平面内两直线的

5、位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定：有且只有一个公共点，两直线相交；无公共点，则两直线平行；两个或两个以上公共点，则两直线重合（因为两点确定一条直线）平行线的画法：平行线的画法是几何画图的基本技能之一，在以后的学习中，会经常遇到画平行线的问题方法为：一“落”（三角板的一边落在已知直线上），二“靠”（用直尺紧靠三角板的另一边），三“移”（沿直尺移动三角板，直至落在已知直线上的三角板的一边经过已知点），四“画”（沿三角板过已知点的边画直线）平行公理平行线的存在性与惟一性经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行平

6、行线的判定两直线平行的判定方法方法一两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 简称：同位角相等，两直线平行方法二两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行 简称：内错角相等，两直线平行方法三两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 简称：同旁内角互补，两直线平行方法四 垂直于同一条直线的两条直线互相平行方法五 （平行线公理推论）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行方法六 （平行线定义）在同一平面内，不相交的两条直线平行平行线的性质：性质一：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等简称：两条直线平行，同位角相等性质二：

7、两条平行线被第三条直线所截，内错角相等简称：两条直线平行，内错角相等性质三：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补简称：两条直线平行，同旁内角互补两条平行线间的距离：同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度叫做这两条平行线的距离。平行线间的距离处处相等【例1】 如图，直线、交于，平分，求的度数 【解析】由、互为邻补角可知，又，故，由对顶角相等可知，又平分，故，从而可知，【答案】【例2】 过点任意作7条直线，求证：以为顶点的角中，必有一个小于.【解析】略【答案】如图，点把7条直线分成14条射线，记为，.相邻两射线组成14个角，记为，.其和为一个周角：.若结论不成立，则，.相加，

8、得.这一矛盾说明，在，中，必有一个角小于.【例3】 平面上有条直线两两相交，试证明：所得的角中至少有一个角不大于.【解析】在平面上任取一点，将这条直线均平行移动通过点，即条直线交于同一点，将以为顶点的周角分成了对互不重叠的角度（共个角），设为 .由平行线性质可知，这个角的每一个都与原来条直线中某两条直线的一个交角相等，即这个角都是原来n条直线两两相交所成的角.假设这些角都大于，于是有 ，这与相矛盾，故假设不成立，即原命题成立.【答案】在平面上任取一点，将这条直线均平行移动通过点，即条直线交于同一点，将以为顶点的周角分成了对互不重叠的角度（共个角），设为 .由平行线性质可知，这个角的每一个都与原

9、来条直线中某两条直线的一个交角相等，即这个角都是原来n条直线两两相交所成的角.假设这些角都大于，于是有 ，这与相矛盾，故假设不成立，即原命题成立.【例4】 三条不同的直线相交于同一点，其中某两条直线相交得到的一对对顶角是在以为顶点的六条射线上各取一不同于的点，按顺时针方向依次记为则，和中至少有两个角是( )A B C锐角 D钝角【解析】如下图所示，画出两条直线在点处交成对顶角后，第三条过点0的直线要么过角内部，要么过的内部(即角的外部)无论下图中(a)，(b)哪种情况，都至少有两个角是锐角故选C【答案】C 【例5】 求证：成对顶角的两个角的平分线，在同一直线上【解析】略【答案】如图，交于，则与

10、成对顶角设分别为的平分线。，且，。又。即在同一直线上。【例6】 如下图所示，在一个面积为平方米的正方形货场中有一条长为米的直线铁路.现有一辆装满货物的卡车停放在点，如果卡车的速度是每分钟米，请说明11分钟内能否将这车货物运到铁路线旁？ 【解析】略【答案】因为卡车的速度是固定不变的卡车11分钟内能否将货物运到铁路线旁，关键是能否在铁路线上找到一点，使这点到点的距离不大于11分钟卡车所行驶的路程由“直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短”，想到过点作的垂线，然后再比较垂线段的长度与卡车11分钟能行驶的路程的大小，得出结论如图所示，汽车由点到直线铁路段的最短距离是由向引的垂线连结又（米）

11、卡车行1152米，需要 (分钟) 11(分钟)在11分钟内不能将这车货物由点运到铁路线旁【例7】 两条平行直线被第三条直线所截，有几对同位角，几对内错角，几对同旁内角. 三条平行直线呢?四条、五条呢? 你发现了什么规律.【解析】 两条平行直线被第三条直线所截，有对同位角，对内错角，对同旁内角. 当有条平行线时，有对同位角，对内错角，对同旁内角；当有条平行线时，有对同位角，对内错角，对同旁内角；当有条平行线时，有对同位角，对内错角，对同旁内角. 当条线彼此平行时，被直线所截，即，则共有(，)、(，)、(，)、(，)；(，)、(，)、(，)、共对平行线，每对平行线被所截，产生对同位角，对内错角，对

12、同旁内角，则共有对同位角，对内错角，对同旁内角【答案】 两条平行直线被第三条直线所截，有对同位角，对内错角，对同旁内角. 当有条平行线时，有对同位角，对内错角，对同旁内角；当有条平行线时，有对同位角，对内错角，对同旁内角；当有条平行线时，有对同位角，对内错角，对同旁内角. 当条线彼此平行时，被直线所截，即，则共有对平行线，每对平行线被所截，产生对同位角，对内错角，对同旁内角，则共有对同位角，对内错角，对同旁内角【例8】 下图有 对内错角【解析】做此类型题：第一、要找三种关系角（同位角、内错角、同旁内角）关键在于寻找线段；第二、不同的线段找出来的三种关系角是不会重复；第三、在线段很多的时候，要找

13、出相同特点的线段的条数，只需算出一条线段的关系角的对数，故该特点的线段的关系角为在本题中，线段、，每条线段都有对内错角；线段、，每条线段都只有对内错角；线段、，每条线段都只有对内错角；线段、，每条线段都有对内错角；故总的内错角为：【答案】24【例9】 已知，如图，,试用两种方法证明【解析】略【答案】解法一：过点作,则,又, 解法二：作,则, ，, 【例10】 两条平行直线被第三条直线所截，有几对同位角，几对内错角，几对同旁内角. 三条平行直线呢?四条、五条呢? 你发现了什么规律.【解析】 两条平行直线被第三条直线所截，有对同位角，对内错角，对同旁内角. 当有条平行线时，有对同位角，对内错角，对

14、同旁内角；当有条平行线时，有对同位角，对内错角，对同旁内角；当有条平行线时，有对同位角，对内错角，对同旁内角. 当条线彼此平行时，被直线所截，即，则共有(，)、(，)、(，)、(，)；(，)、(，)、(，)、共对平行线，每对平行线被所截，产生对同位角，对内错角，对同旁内角，则共有对同位角，对内错角，对同旁内角【答案】 两条平行直线被第三条直线所截，有对同位角，对内错角，对同旁内角. 当有条平行线时，有对同位角，对内错角，对同旁内角；当有条平行线时，有对同位角，对内错角，对同旁内角；当有条平行线时，有对同位角，对内错角，对同旁内角. 当条线彼此平行时，被直线所截，即，则共有对平行线，每对平行线被

15、所截，产生对同位角，对内错角，对同旁内角，则共有对同位角，对内错角，对同旁内角【例11】 学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是( )A第一次向左拐，第二次向右拐B第一次向右拐，第二次向左拐C第一次向右拐，第二次向右拐D第一次向左拐，第二次向左拐【解析】选择A，注意区分拐角是与前进方向所成的角，本题考察了同位角相等，两直线平行.教师可将此题的后三个选项拓展，让学生求出两次拐角后与原方向的夹角.【答案】A【例12】 如图，一条公路修在湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐的角是，第二次拐的角是，第三次拐的角是，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平

16、行，求的大小.【解析】过点作,那么，【答案】【例13】 在同一平面内有，97条直线，如果，那么与的位置关系是 .【解析】略【答案】寻找规律，；，4个一循环，所以【例14】 有一直的纸带，如图折叠时，_【解析】由折叠问题可知：【答案】【例15】 如下图，已知，求证： 【解析】略【答案】如右图所示，分别过点，做和的平行线，易得：即有： 【例16】 如右图所示，已知，平分，平分.求证：【解析】略【答案】过点作，如图所示，因为 ，故，于是，从而，又平分，所以，因此，因，故，于是，即【例17】 如图平分则【解析】，同理平分【答案】【例18】 如下图所示求证：【解析】略【答案】把，都集中在某一顶点处，证明

17、它们可构成一周角，或把它们其中某一个角分成两部分，证明每一部分分别与另两角的和是证法1：如图，过点作，交于，因为，所以因为，所以所以因为所以证法2：如图，过点作，则因为，所以，所以又，即证法3：如图，延长交延长线于因为，所以，为的外角所以因为为是的补角，所以因为 【例19】 如图，已知，探索、，、之间的关系.如图，已知，探索、，、之间的关系.如图，已知，探索、之间的关系.【解析】略【答案】（1）；(向右凸出的角的和向左凸出的角的和，,均为锐角)（2）；注意和第问的区别；（3）.总结方法思想,巧作平行线.【例20】 如图所示，两直线平行，则 ( )A B C D 【解析】分别过点做的平行线，再求

18、各个角度的和选D【答案】【例21】 如图所示，证明：【解析】略【答案】证法l ： 因为，所以(两直线平行，同旁内角互补)过作由，得 (平行于同一条直线的两条直线平行)因为，有 (两直线平行，内错角相等)又，有，(两直线平行，内错角相等)所以 (周角定义)所以 (等量代换)证法2： 由，得(两直线平行，同旁内角互补)过作 （如图）由，得.(平行于同一条直线的两条直线平行)因为 ，所以(两直线平行，同旁内角互补)，又 ，所以(两直线平行，同旁内角互补)所以所以(等量代换)【例22】 已知，点分别在上（1）间有一点，点在直线左侧，如图1，求证（2）当间的点在直线右侧时，如图2，直线有什么关系？（3）

19、如图3，当点在外侧时，探索之间有何关系？【解析】略【答案】（1）过点作，（2）过点作，（3）过点作，.【例23】 如图所示，已知，在上，且满足，平分 求的度数； 若平行移动，那么：的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值； 在平行移动的过程中，是否存在某种情况，使？若存在，求出其度数；若不存在，请说明理由【解析】略【答案】 ； ； 存在，【例24】 作图题：在方格纸中，将ABC向右平移3个单位得到A1B1C1，画出A1B1C1【解析】分别找出ABC向右平移3个单位后对应的关键点，然后顺次连接即可【答案】如下图所画A1B1C1即为所求【点评】本题考查了平移变换中的作图问题

20、，属于基础题，关键是找出平移后的关键点【例25】 将ABC沿AD平移，A点平移到点D，画出平移后的DEF【解析】连接AD，过B、C分别做AD的平行线，并且在平行线上截取BE=CF=AD，连接ED，EF，DF，得到的DEF即为平移后的DEF【答案】【点评】用到的知识点为：平移前后的图形的对应点的连线平行且相等课后作业1. 如图，直线，则的大小是 . 【解析】过点，作，的平行线，那么，在中,又，【答案】2. 请你分析下面的题目，从中总结规律，填写在空格上，并选择一道题目具体书写证明.（1）如图，已知：，直线分别交，于，分别平分，.求证：.从本题我能得到的结论是： .（2）如图，已知：，直线分别交，

21、于，分别平分， .求证：.从本题我能得到的结论是： .（3）如图，已知：，直线分别交，于，分别平分， ，相交与点.求证：.从本题我能得到的结论是： .（4）如图，已知：，相交于，平分，平分.求证：，三点共线.从本题我能得到的结论是： .【解析】略【答案】（1） 两直线平行，同位角的角平分线平行. （2）证明：，又，分别平分，从本题我能得到的结论是： 两直线平行，内错角的角平分线平行. （3）证明：，又，分别平分，从本题我能得到的结论是： 两直线平行，同旁内角的角平分线垂直. （4）证明：，相交于，平分，平分，即，三点共线从本题我能得到的结论是： 对顶角的平分线，在一条直线上. 要证明三点共线

22、，我们可以通过证明这三点所成的角为.3. 如下图，已知：，求证：【解析】（法1）：如图所示，过点作，过点作，则，则，又因为，所以，即（法2）：如图所示，延长，相交于点， ，如果延长，相交于点，如右图，也可用同样的方法证明（法3）：如右图所示，连接点， 4. 如图，ABC经过怎样的平移得到DEF（）A、把ABC向左平移4个单位，再向下平移2个单位B、把ABC向右平移4个单位，再向下平移2个单位C、把ABC向右平移4个单位，再向上平移2个单位D、把ABC向左平移4个单位，再向上平移2个单位【解析】根据平移的性质可知，图中DE与AB是对应线段，DE是AB向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到的【答案】由题意可知把ABC向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到DEF故选C【点评】本题主要考查了平移的性质，观察图象，分析对应线段作答专心-专注-专业