高考数学专题复习:分类讨论思想(共18页).doc
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1、精选优质文档-倾情为你奉上For personal use only in study and research; not for commercial use分类讨论思想1分类讨论的常见情形(1)由数学概念引起的分类讨论:主要是指有的概念本身是分类的,在不同条件下有不同结论,则必须进行分类讨论求解,如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等.(2)由性质、定理、公式引起的分类讨论:有的数学定理、公式、性质是分类给出的,在不同条件下结论不一致,如二次函数y=ax2+bx+c(a0),由a的正负而导致开口方向不确定,等比数列前n项和公式因公比q是否为1而导致公式的表达式不确定等.(3)由某些数学式
2、子变形引起的分类讨论:有的数学式子本身是分类给出的,如ax2+bx+c0,a=0, a0,a0解法是不同的.(4)由图形引起的分类讨论:有的图形的类型、位置也要分类,如角的终边所在象限,点、线、面的位置关系等.(5)由实际意义引起的讨论:此类问题在应用题中常见.(6)由参数变化引起的讨论:所解问题含有参数时,必须对参数的不同取值进行分类讨论;含有参数的数学问题中,参变量的不同取值,使得变形受限导致不同的结果.2分类的原则(1)每次分类的对象是确定的,标准是同一的;分类讨论问题的难点在于什么时候开始讨论,即认识为什么要分类讨论,又从几方面开始讨论,只有明确了讨论原因,才能准确、恰当地进行分类与讨
3、论.这就要求我们准确掌握所用的概念、定理、定义,考虑问题要全面.函数问题中的定义域,方程问题中根之间的大小,直线与二次曲线位置关系中的判别式等等,常常是分类讨论划分的依据.(2)每次分类的对象不遗漏、不重复、分层次、不越级讨论.当问题中出现多个不确定因素时,要以起主导作用的因素进行划分,做到不重不漏,然后对划分的每一类分别求解,再整合后得到一个完整的答案.数形结合是简化分类讨论的重要方法.3分类讨论的一般步骤第一,明确讨论对象,确定对象的范围;第二,确定分类标准,进行合理分类,做到不重不漏;第三,逐类讨论,获得阶段性结果;第四,归纳总结,得出结论.4. 分类讨论应注意的问题第一,按主元分类的结
4、果应求并集.第二,按参数分类的结果要分类给出.第三,分类讨论是一种重要的解题策略,但这种分类讨论的方法有时比较繁杂,若有可能,应尽量避免分类.经典例题透析类型一:不等式中的字母讨论1、(2010山东)若对于任意,恒成立,则a的取值范围是_.思路点拨:依据式子的特点,进行整理,分子分母同除以x.解析:对一切恒成立,在R+上的最大值.而 .当且仅当 即 x=1时等取号. .举一反三:【变式1】解关于的不等式:().解析:原不等式可分解因式为: ,(下面按两个根与的大小关系分类)(1)当,即或时,不等式为或,不等式的解集为:;(1)当,即时,不等式的解集为:;(2)当,即或时,不等式的解集为:;综上
5、所述,原不等式的解集为:当或时,;当时,;当或时,.【变式2】解关于的不等式:.解析:(1)当时,不等式为, 解集为;(2)当时,需要对方程的根的情况进行讨论: 即时,方程有两根 . 则原不等式的解为. 即时,方程没有实根, 此时为开口向上的抛物线,故原不等式的解为. 即时,方程有两相等实根为, 则原不等式的解为.(3)当时,恒成立,即时,方程有两根 . 此时,为开口向下的抛物线, 故原不等式的解集为.综上所述,原不等式的解集为:当时,解集为;当时,解集为;当时,解集为 ;当时,解集为.类型二:函数中的分类讨论2、设为实数,记函数的最大值为,()设,求的取值范围,并把表示为的函数;()求;()
6、试求满足的所有实数.解析:(I), 要使有意义,必须且,即 ,且 的取值范围是 , 由得:, ,(II)由题意知即为函数,的最大值,时,直线是抛物线的对称轴,可分以下几种情况进行讨论:(1)当时,函数,的图象是开口向上的抛物线的一段, 由知在上单调递增,故;(2)当时,有=2;(3)当时,函数,的图象是开口向下的抛物线的一段,若即时,若即时,若即时,综上所述,有=(III)当时,; 当时, , 故当时,; 当时,由知:,故; 当时,故或,从而有或, 要使,必须有,即, 此时, 综上所述,满足的所有实数为:或.举一反三:【变式1】函数的图象经过点(-1,3),且f(x)在(-1,+)上恒有f(x
7、)3,不满足题意;(2)当,则,此时,x(-1,+)时, 即f(x)3,满足题意为所求.综上,.【变式2】已知函数有最大值2,求实数的取值.解析:令,则().(1)当即时, 解得:或(舍);(2)当即时,, 解得:或(舍);(3)当即时,解得(全都舍去).综上,当或时,能使函数的最大值为2.3、已知函数().(1)讨论的单调性;(2)求在区间上的最小值.解析:(1)函数的定义域为(0,+) 对求导数,得 解不等式,得0xe 解不等式,得xe 故在(0,e)上单调递增,在(e,+)上单调递减(2)当2ae时,即时,由(1)知在(0,e)上单调递增, 所以 当ae时,由(1)知在(e,+)上单调递
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