平面向量的基本定理教学设计-人教课标版(新教案)(共8页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上平面向量的基本定理一、 内容与内容解析本节内容的核心是平面向量的基本定理，涉及到的概念有向量的基底、向量的夹角、向量垂直、向量的正交分解、向量的坐标表示等。平面向量的基本定理是在共线向量基本定理的基础上，由一维直线向二维平面推广的结果。它表明同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合。如果将平面内向量的始点放在一起，那么由平面向量基本定理可知，平面内的任意一个点都可以通过两个不共线的向量得到表示，也就是平面内的点可以由平面内的一个点及两个不共线的向量来表示。这是引进平面向量基本定理的一个原因。平面向量的正交分解是平面向量基本定理的简单应用，同时为平面向量的

2、坐标表示奠定基础，而通过向量的坐标表示则为向量作为沟通代数与几何的桥梁提供了有力的保障。平面向量的基本定理通过一组基底，就可以将平面内的任一向量都能统一地用这组基底进行线性表示，从而将向量的运算归结为其系数之间的运算，即坐标运算，这就使向量成了沟通几何与代数的桥梁。显然这一知识不仅渗透了基本量的思想、数形结合的思想，也体现了化归思想的应用。在研究定理中的一些思想方法也具有典型的意义，如一维与二维的类比，特殊到一般的推广，数与形的相互表示等等。二、 目标与目标解析（）了解平面向量基本定理及其意义。会根据给定基底作出和表示平面向量。（）了解平面向量夹角的概念，理解平面向量垂直的定义。（）会用平面向

3、量基本定理解决简单问题。（）理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。()让学生经历平面向量基本定理的抽象概括过程，利用几何画板软件，通过学生自己的动手操作，使学生在“做”数学中亲历知识的建构过程，体验定理的内容及意义。()放手让学生通过自主活动而得出结论，强化学生对知识形成过程的理解，正确表述探究得到的结论，培养学生的理性精神。解析：对于平面向量的基本定理，课标不要求学生掌握其严格证明，教学中注重结合图形的理解，让学生通过操作认知、直观感受等方式进行探究，遵循从特殊到一般，从具体到抽象的认知规律感知定理。三、 教学问题诊断分析学生学习了向量的概念和向量的运算后，对向量的几

4、何表示及几何运算有了初步的认知。同时共线向量的基本定理使学生认识到只要由一个非零向量和一个参数就可控制所有与之共线的向量，这些都是学生接受新知识的基础。但仅有向量的几何表示及几何运算，而不能化归为学生所熟悉的代数运算，向量的工具作用就被极大的削弱。而向量的基本定理就为这一想法奠定的坚实的基础。通过一组基底，就可以将平面内的任一向量都能统一地用这组基底进行线性表示，从而将向量的运算归结为其系数之间的运算，即坐标运算，这就使向量成了沟通几何与代数的桥梁。这也是学习基本定理的根本目的。由于对向量知识接触不多，学生的学习不可避免地缺乏对知识系统性、整体性和思想性的认识，教学中教师有必要站在这一高度组织

5、教学，让学生对知识的发生、发展及相互的联系有一定的认识，从而自然而合理引出定理。 对于定理中向量关于基底的线性表示的任意性、存在性和唯一性，对于抽象思维要求较高，理解上有一定的难度。再加上教学要求并不需对定理进行证明，因此如何让学生真正理解是本课的一个难点。 教学中教师要抓住几点关键点，如定理的引入，定理的形成，定理的应用等，设计一系列的问题，引导学生进行实际的操作，亲身的体验，以达到对问题的自我领悟。四、 学习行为分析为了让学生更好地领悟定理，学生在课堂上可以进行如下的一些活动。给定具体的实数、和基底、，学生构造出向量。这是对前面知识的复习，也是新知识的基础。改变实数、和基底、，分析的存在性

6、。这一环节教师可通过课前做好地几何画板课件，让学生进行亲身的操作，在操作中领悟给定实数、和基底、，向量是存在的，在基底确定的条件下，实数、与向量之间存在着一定的对应关系。反过来，给定一组基底后，任一向量是否都可找到相应的实数、，使得这一向量能表示成的形式？由于仅通过实验是难以确认的，再加上学生对向量的分解表示的意识比较缺乏，抽象思维能力还较弱，对这一问题的思考是具有相当难度的。教学中可以引导学生通过课件辅助思考：（）两个向量、共线时，任画出一个向量，能进行分解吗？（）两个向量、不共线，任画出一个向量，能进行分解吗？这样的分解唯一吗？由学生类比共线向量的基本定理归纳出平面向量基本定理的基本内容。

7、对于正交分解及坐标表示，可以让学生在教师的问题引导下，进行探究和解决。五、 教学支持条件分析为了实现学生对定理的理解和领悟，教学中可以借助几何板软件的形与数的表示及形与数变化的多元联系表示，来实现将向量的几何表示与运算化归为系数（实数对）的表示和运算。让学生在自由的操作中得以思考和领悟。教学中可采用合作学习法，通过探究活动，引导学生自主得出平面向量基本定理。在定理的运用过程中，引导学生分析思路、总结规律，体验解题方法六、教学过程设计问题引入问题：（）给定平面内两个向量、，请你作出向量、。（）平面内的任一向量是否都可以用形如的向量表示呢？教师首先引导学生合作完成第一个问题，可以利用几何画板的平台

8、编制课件（课件平面向量基本定理），学生可任意改变、的大小与方向均可作出向量、，教师引导学生分析向量、的可能位置，区分出共线、不共线两种情况，然后在各种情况下作出、。 再进一步思考“平面内任一向量是否都可以用形如的向量表示”。通过课件验证共线时不能，不共线时总能的结论。通过学生运用信息技术（课件平面向量基本定理），引导学生自主得出平面向量基本定理。平面向量基本定理：如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数、，使。教师引导学生归纳：（）同一平面可以有不同的基底，就像平面上可选取不同的坐标系一样。（可以利用给出的课件验证）（）不共线的一组向量、叫做这一平面内

9、所有向量的一组基底（）。（）是平面内的任一向量，且实数对、是惟一的。（）平面内任意两个不共线的向量都可作为一组基底。问题：由于平面向量是自由向量，在表示两向量方向间的关系时，我们可以采取怎样的度量方式？ 设计这个探究问题的目的是让学生通过探究，形成两向量的夹角的概念，向量、同向、反向和垂直等概念。 通过课件“平面向量基本定理”让学生在探究活动中感受向量在平移的过程中角度是一个不变量，从而给出定义。问题 例：已知向量、，求作向量。学生活动：通过课件“平面向量基本定理），改变、的值，使、，观察图象，让学生写出作法。并适时提出还有其他作法吗？教师通过实例分析力的分解图。当选取的基底为相互垂直的一组向

10、量时，叫做把一个向量分解为两个互相垂直的向量，即向量的正交分解。（演示课件“平面向量基本定理”感受重力的正交分解）。问题：在平面直角坐标系中，每一个点都可以用一对有序实数（即它的坐标）表示。对直角坐标平面内的每一个向量如何表示呢？ 学生活动：通过课件“平面向量基本定理”感受平面直角坐标系中向量与点的坐标之间的关系。教师引导学生归纳：（） 向量的正交分解是向量分解中常用且重要的一种分解。（） 要在平面直角坐标系中表示一个向量最方便的是分别取与轴、轴方向相同的两个单位，作为基底。这时对于平面直角坐标系内的一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数、，使得。（） 平面内任一向量都可以由、唯一

11、确定，而有序实数对（，）正好是的终点坐标，因此，在直角坐标系内，每一个个平面向量都可以用一有序实数对唯一表示。问题例：如图，分别用基底、表示向量、，并求出它们的坐标。这个问题主要通过学生自主探究得出结果。探究活动要切实的让学生动起来，在这过程中，教师的作用在于通过问题适时引导学生思考。课堂练习：（）已知平行四边形的两条对角线相交于点，设，试用基底，表示，和。归纳小结：（）学习了平面向量基本定理，要注意应用条件。（）学会用基底表示平面内任一向量的方法。（）理解平面向量正交分解和向量坐标的意义，会求已知向量的坐标。布置作业：教材第页练习，第页习题组，组。（附课件“平面向量基本定理”虽然在学习的过程

12、中会遇到许多不顺心的事，但古人说得好吃一堑，长一智。多了一次失败，就多了一次教训；多了一次挫折，就多了一次经验。没有失败和挫折的人，是永远不会成功的。 快乐学习并不是说一味的笑，而是采用学生容易接受的快乐方式把知识灌输到学生的大脑里。因为快乐学习是没有什么大的压力的，人在没有压力的情况下会表现得更好。青春的执迷和坚持会撑起你的整个世界，愿你做自己生命中的船长，在属于你的海洋中一帆风顺，珍惜生命并感受生活的真谛！ 老师知道你的字可以写得更漂亮一些的，对吗,智者千虑，必有一失；愚者千虑，必有一得,学习必须与实干相结合,学习，就要有灵魂，有精神和有热情，它们支持着你的全部！灵魂，认识到自我存在，认识到你该做的是什么；精神，让你不倒下，让你坚强，让你不畏困难强敌；热情，就是时刻提醒你，终点就在不远方，只要努力便会成功的声音，他是灵魂与精神的养料，它是力量的源泉。 专心-专注-专业