数轴标根法(共12页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上数轴标根法是解所有整式不等式和一些分式不等式的重要方法，它解法简单、容易记忆，是解高次不等式最简方法，我以数轴标根法的教学为例，谈谈怎样扩大学生的视野，激发学生兴趣，推动学生创新的。首先，出现一元一次不等式，学生可以用移项、系数化为1的步骤解出，可以提问：“能不能用其他方法解呢？”引入数轴标根法，介绍此法的关键：最高次数的系数为正；把不等式看作方程，并解出此方程的根；在一根数轴上标出这几个根；规定从数轴右上方开始一一穿过这些点，含等号时穿过点为实点，不含等号穿过点为空圈；满足大于（大于等于）要数轴上方的部分，小于（小于等于）要数轴下方部分。介绍后，用开始的题作为例题讲

2、解，并出两个一元一次不等式作为练习。第二，出现一元二次不等式，要求用数轴标根法解答，进一步加深认识，但要注意最高次数的系数为正是最基本的要求。再要求他们解单根高次不等式，好象学生已经掌握了。第三，出现一元高次不等式，但解有偶重根，如果还是所有点都穿，解集就是错误的，提问：“是什么地方出错呢？该怎样完善数轴标根法”学生通过讨论，得出结论：对于根的个数而言，奇数则可穿，偶数则回来。即奇穿偶回原理。再举两个有偶次根的题作为练习，加强对数轴标根法的理解。第四，出现分式不等式，发现相除与相乘的符号判断是一致的，因此先做同解变形后，再用数轴标根法解答，但要注意分母不能为0，通过练习达到掌握的目的。这样从浅

3、入深的讲解，学生能全面了解并逐步掌握数轴标根法，可以让学生对数学解题方法有所认识，不会出现怕学、难懂的情况，为提高学生的学习兴趣提供必备的条件。【数轴标根法】它适用于某些一元高次不等式f(x)0或f(x)0的求解。步骤是：(1)将f(x)的最高次项的系数化为正数；(2)将f(x)分解为若干个一次因式的积；(3)将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一个点画曲线；如果出现重根的时候，怎么解释“奇穿偶不穿”(4)根据曲线显示出的f(x)值的符号变化规律，写出不等式的解集。用“穿针引线法”解含绝对值的不等式 “穿针引线法”原名“数轴标根法”，是用来解高次不等式或分式不等式，但用来解部分含

4、绝对值的不等式会非常简便，避免了分类讨论的繁杂。数轴标根法的原理是什么啊，为什么要从“最右根”的右上方穿过根呢原理其实很简单，那就是负负得正，偶数个负数的积为正数，奇数个负数的积为负数。最右根的右上方穿过是因为最右根的右边取x值的话，所有的数都是正数，他们之积当然也就是正数，所以要从右上方开始，向左每过一个根，就表明乘数中多了一个负数，数轴标根法显得直观一点而已。你真的知道“数轴标根”的原理吗？为什么要这样做，方向，曲线，大小我需要最详细的原理！当然还要一些应用技巧！谢了！原理：设一个高次不等式的解为X1、X2Xn,其中X1X2Xn，则对于任意XXn，不等式恒大于零，既最大根右边的数使不等式恒

5、成立，所以标根从不等式右边标起。（对二次不等式一样适用，但一般我们直接用抛物线的知识做） 做法: 1.把所有X前的系数都变成正的(不用是1,但是得是正的)； 2.画数轴,在数轴上从小到大依次标出所有根； 3.从右上角开始,一上一下依次穿过不等式的根，奇过偶不过(即遇到含X的项是奇次幂就穿过,偶次幂跨过，后面有详细介绍)； 4.注意看看题中不等号有没有等号,有的话还要注意写结果时舍去使使不等式为0的根。 例如不等式: x2-3x+20(最高次项系数一定要为正,不为正要化成正的) 分解因式:(x-1)(x-2)0； 找方程(x-1)(x-2)=0的根:x=1或x=2； 画数轴,并把根所在的点标上去

6、； 注意了,这时候从最右边开始,从2的右上方引出一条曲线,经过点2,继续向左画,类似于抛物线,再经过点1,向点1的左上方无限延伸； 看题求解,题中要求求0的解,那么只需要在数轴上看看哪一段在数轴及数轴以下即可,观察可以得到:1x2。 高次不等式也一样.比方说一个分解因式之后的不等式: x(x+2)(x-1)(x-3)0 一样先找方程x(x+2)(x-1)(x-3)0的根 x0,x1,x-2,x3 在数轴上依次标出这些点.还是从最右边的一点3的右上方引出一条曲线,经过点3,在1、3之间类似于一个开口向上的抛物线，经过点1；继续向点1的左上方延伸，这条曲线在点0、1之间类似于一条开口向下的曲线，经

7、过点0；继续向0的左下方延伸，在0、-2之间类似于一条开口向上的抛物线，经过点-2；继续向点-2的左上方无限延伸。 方程中要求的是0， 只需要观察曲线在数轴上方的部分所取的x的范围就行了。 x-2或0x1或x3。 遇到根是分数或无理数和遇到整数时的处理方法是一样的,都是在数轴上把这个根的位置标出来； “奇过偶不过”中的“奇、偶”指的是分解因式后,某个因数的指数是奇数或者偶数； 比如对于不等式(X-2)2(X-3)0 (X-2)的指数是2,是偶数,所以在数轴上画曲线时就不穿过2这个点 而(X-3)的指数是1,是奇数,所以在数轴上画曲线时就要穿过3这个点。 共0条评论.中国教育教学研究杂志2004

8、年3月第18卷总第106期浅谈数轴标根法的应用 不等式是高中数学的重要内容之一，在代数、三角、立体几何、解析几何中 有广泛的应用，而解不等式又是研究方程、函数的重要工具，历来在高考中占有相当大的比 例。不等式的解法很多，数轴标根法(轴根法、穿根法)便是其中一种，利用它来解不等式能 够很方便求出其解集。数轴标根法不仅适合高次不等式、分式不等式(很多参考资料只介绍 了这两种类型)，它还适合象一元一次不等式、一元二次不等式这样的简单不等式和无理不 等式、绝对值不等式等不等式。 一、整式不等式 (一)不等式的解集： 如果f(x)=0它的根为x1x2L0化为(x-2)(x-1)(x+1)0 第二步：将不

9、等号换成等号解出所有根。 例如：(x-2)(x-1)(x+1)=0的根为：x1=2，x2=1，x3=-1 第三步：在数轴上从左到右依次标出各根。 例如：-1 1 2 第四步：画穿根线：以数轴为标准，从“最右根”的右上方穿过根，往左下画线，然后又穿过“次右根”上去，一上一下依次穿过各根。 第五步：观察不等号，如果不等号为“”，则取数轴上方，穿根线以内的范围；如果不等号为“0的根。 在数轴上标根得：-1 1 2 画穿根线：由右上方开始穿根。 因为不等号为“”则取数轴上方，穿跟线以内的范围。即：-1x2。 当高次不等式（）（或）的左边整式、分式不等式（）（）（或）的左边分子、分母能分解成若干个一次因

10、式的积（）（）（）的形式，可把各因式的根标在数轴上，形成若干个区间，最右端的区间（）、 （）（）的值必为正值，从右往左通常为正值、负值依次相间，这种解不等式的方法称为序轴标根法。 为了形象地体现正负值的变化规律，可以画一条浪线从右上方依次穿过每一根所对应的点，穿过最后一个点后就不再变方向，这种画法俗称“”，如图。 运用序轴标根法解不等式时，常犯以下的错误： 出现形如（）的一次因式时，匆忙地“穿针引线”。 例 解不等式（）（）（）。 解 （）（）（），将各根、依次标在数轴上，由图可得原不等式的解集为或或。 事实上，只有将因式（）变为（）的形式后才能用序轴标根法，正确的解法是： 解 原不等式变形为

11、（）（）（），将各根、依次标在数轴上，由图，原不等式的解集为或。 出现重根时，机械地“穿针引线” 例 解不等式（）（）（） 解 将三个根、标在数轴上，由图得， 原不等式的解集为或。 这种解法也是错误的，错在不加分析地、机械地“穿针引线”。出现几个相同的根时，所画的浪线遇到“偶次”点（即偶数个相同根所对应的点）不能过数轴，仍在数轴的同侧折回，只有遇到“奇次”点（即奇数个相同根所对应的点）才能穿过数轴，正确的解法如下： 解 将三个根、标在数轴上，如图画出浪线图来穿过各根对应点，遇到的点时浪线不穿过数轴，仍在数轴的同侧折回；遇到的点才穿过数轴，于是，可得到不等式的解集 且 出现不能再分解的二次因式时

12、，简单地放弃“穿针引线” 例 解不等式（）（）（） 解 原不等式变形为（）（）（）（），有些同学同解变形到这里时认为不能用序轴标根法了，因为序轴标根法指明要分解成一次因式的积，事实上，根据这个二次因式的符号将其消去再运用序轴标根法即可。 解 原不等式等价于 （）（）（）（）， 对一切恒成立， （）（）（），由图可得原不等式的解集为或或 （本文发表于甘肃省数学学会西北师大分会主办的数学教学研究年第期）序轴标根法解不等式的推广 2006年06月18日16:00青少年报 我们知道不含绝对值的一元不等式(能解的)都可以用序轴标根法(或称根序法、根轴法)求解。用序轴标根法解不等式的一=般步骤是:(1)将

13、不等式整理成f(x)0类似型的不等式。(2)将不等式中的f(x)分解因式至最简形式,每个因式中未知数的最高次数项的系数必为正(恒大于0的直接约去)。(3)求不等式对应的方程f(x)=0的根。(4)曲线穿根:将f(x)=0的根在数轴上按大小顺序排列好,用一曲线从数轴上最右边一个根从数轴的上方开始穿根,奇重根穿过,偶重根返回。(5)得出结论: f(x)0的解集是x轴上方的曲线所包括的区间；f(x)0的解集是x轴下方的曲线所包括的区间；f(x)=0的解集是曲线和x轴的交点的集合。一.用标根序轴法解不含绝对值的一元不等式例1.解不等式3x+46 。解: 3x+46圳3x-20 圳(3x-2)10 (3

14、x-2)1=0的根为:x=23,如图所示,由序轴标根法得:x23,原不等式的解集为:x23 。例2.解不等式(x+2)2(x-1)3(x+1)(x-2)0。解:如图,由序轴标根法得原不等式等价于:x-2或-2x-1或1x2。原不等式的解集是:(-,-2)(-2,-1)(1,2)。二.用序轴标根法解不等式的推广-解含绝对值的不等式对于f(x)a(a0) , f(x)a(a0)等类似型的绝对值不等式(不能含有分式)可以用根序法求解,方法如下:(1)将不等式整理成f(x)a(a0) 类似型的绝对值不等式。(2) 求f(x)a(a0) 对应的方程f(x)=a(a0) 的根。(3)曲线穿根:将f(x)=

15、a(a0) 的根在数轴上按大小顺序排列好,用一曲线从数轴上最右边一个根从数轴的上方开始穿根,奇重根穿过,偶重根返回。(4)得出结论: f(x)a(a0) 的解集是x轴上方的曲线所包括的区间；f(x)a(a0) 的解集是x轴下方的曲线所包括的区间；f(x)=a(a0) 的解集是曲线和x轴的交点的集合。下面举例说明:例3.(教材P17例1)解不等式x2-5x+51。解:令x2-5x+5=1 圳x2-5x+5=1或x2-5x+5=-1。圳x2-5x+4=0或x2-5x+6=0。圳x=1或x=4或x=2或x=3。由根序法可得原不等式的解集是:(1,2)(3,4)。例4.解不等式2x+51 。解:令2x

16、+5=1 圳2x+5=1或2x+5=-1。圳2x+4=0或2x+6=0。圳x=-2或x=-3 。由根序法可得原不等式的解集是:(-,-3-2,+)。例5.解不等式x2-x12x 。解:令x2-x12x 圳x2-x=12x12x$#$%0或x2-x=-12x12x&$#$%0。圳x2-x=12xx0 或x2-x=-12xx0。圳x=12或x=32或x=0。由根序法可得原不等式的解集是:(12,32)。例6.(第十三届希望杯全国数学邀请赛高二第二试)解不等式x-2-x2-4x+30。解:x-2-x2-4x+30 圳x2-4x+3x-2令x2-4x+3=x-2圳x2-4x+3=x-2x-20或x2-

17、4x+3=2-xx-20。圳x2-5x+5=0x2或x2-3x+1=0x2。圳x=3+5姨2或x=5+5姨2。由根序法可得原不等式的解集是:3+5姨25+5姨2。例7.(2002年全国高考北京卷)解不等式2x-1姨-x2 。解:令2x-1姨-x=2,圳2x-1姨-x=2或2x-1姨-x=-2 。圳2x-1姨=x+2或2x-1姨=x-2 。圳2x-10x+202x-1=(x+2)2或2x-10x+202x-1=(x-2)2。圳x=5 。由根序法可得原不等式圳x5x12 原不等式的解集是 12,5)。例8.(2002年全国高考北京卷改编)解不等式:2x-1姨2 -x。解:令2x-1姨=2 -x圳2

18、-x02x-102x-1姨=2 -x圳12x22x-1=(2-x)2。圳12x2x=1或x=5。圳x=1 。由根序法可得原不等式圳x12x1 。原不等式的解集是(1,+) 例9.解不等式2x-1姨-x+3姨1。解:令2x-1姨-x+3姨=1。圳2x-1姨-x+3姨=1或2x-1姨-x+3姨=-1 。圳2x-1姨=x+3姨+1或2x-1姨=x+3姨-1 。圳2x-1姨=x+3姨+1或2x-1姨+1=x+3姨。圳x122x-1=x+3+1+2x+3姨或x122x-1+1+22x-1姨=x+3 圳x12x-5=2x+3姨或x1222x-1姨=3-x圳x12x-5=2x+3姨或x1222x-1姨=3-x圳x5(x-5)2=4(x+3)或12x34(2x-1)=(3-x)2圳x=13或x=1由根序法可得原不等式:x12x1或x13圳12x1或x13 原不等式的解集是12,1)(13,+) 四川省武胜中学校刘敏 专心-专注-专业