二次函数与特殊三角形、四边形综合题(共14页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上二次函数与特殊三角形、四边形综合题一、与等腰三角形、直角三角形相关【例1】 如图，在梯形中，梯形的高为动点从点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动；动点同时从点出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动设运动的时间为（秒）（1）当时，求的值；（2）试探究：为何值时，为等腰三角形解：（1）由题意知，当、运动到秒时，如图，过作交于点，则四边形是平行四边形， 解得5分（2）分三种情况讨论： 当时，如图作交于，则有即，解得 6分 当时，如图，过作于H则，7分 当时，如图则 -8分综上所述，当、或时，为等腰三角形 【例2】 如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴的正半

2、轴上，在轴的正半轴上，点在边上且（1）求直线的解析式（2）在轴上是否存在点，直线与矩形对角线交于点，使得为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由（3）抛物线经过怎样平移，才能使得平移后的抛物线过点和点（点在轴正半轴上），且沿折叠后点落在边上处？解：（1）OA=1，OC=2则A点坐标为（0，1），C点坐标为（2，0）设直线AC的解析式为y=kx+b解得直线AC的解析式为2分（2）或（正确一个得2分）8分第25题（3）如图，设过点作于F由折叠知或210分【例3】 在平面直角坐标系中，A、B为反比例函数的图象上两点，A点的横坐标与B点的纵坐标均为1，将的图象绕原点O

3、顺时针旋转90，A点的对应点为，B点的对应点为（1）求旋转后的图象解析式；（2）求、点的坐标；（3）连结动点从点出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动；动点同时从点出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动设运动的时间为秒，试探究：是否存在使为等腰直角三角形的值，若存在，求出的值；若不存在，说明理由解：（1）旋转后的图象解析式为 1分（2）由旋转可得（4，-1）、（1，-4） 3分（3）依题意，可知若为直角三角形，则同时也是等腰三角形，因此，只需求使为直角三角形的值分两种情况讨论：当是直角，时，如图1，AB=8，BA=，AM=BN=MN=t

4、，BM=8-t， 4分解得 （舍去负值）， 5分当是直角，时，如图2，AB=8，BA=，AM=BN=t，BM=MN=8-t，解得 ，此时t值不存在 6分（此类情况不计算，通过画图说明t值不存在也可以）综上所述，当时，为等腰直角三角形 7分【例4】 如图，已知抛物线：的顶点为，与轴相交于两点（点在点的左边），点的横坐标是（1）求点坐标及的值；（2）如图1，抛物线与抛物线关于轴对称，将抛物线向左平移，平移后的抛物线记为，的顶点为，当点关于点成中心对称时，求的解析式；（3）如图2，点是轴负半轴上一动点，将抛物线绕点旋转后得到抛物线抛物线的顶点为，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、

5、N、E为顶点的三角形是直角三角形时，求顶点的坐标解：（1）由抛物线C1：得顶点P的坐标为（2，5）.1分点A（1，0）在抛物线C1上.2分（2）连接PM，作PHx轴于H，作MGx轴于G.点P、M关于点A成中心对称,PM过点A，且PAMA.PAHMAG.MGPH5，AGAH3.顶点M的坐标为（，5）.3分抛物线C2与C1关于x轴对称，抛物线C3由C2平移得到抛物线C3的表达式. 4分（3）抛物线C4由C1绕x轴上的点Q旋转180得到顶点N、P关于点Q成中心对称. 由（2）得点N的纵坐标为5.设点N坐标为（m，5），作PHx轴于H，作NGx轴于G，作PRNG于R.旋转中心Q在x轴上,EFAB2AH

6、6. EG3，点E坐标为（，0），H坐标为（2，0），R坐标为（m，5）.RGC1C4PNFEHABQyx根据勾股定理，得 当PNE90时，PN2+ NE2PE2，解得m，N点坐标为（，5）当PEN90时，PE2+ NE2PN2，解得m，N点坐标为（，5）. PNNR10NE，NPE90 7分综上所得，当N点坐标为（，5）或（，5）时，以点P、N、E为顶点的三角形是直角三角形8分二、与平行四边形相关【例5】 抛物线与轴相交于、两点（点在的左侧），与轴相交于点，顶点为.（1）直接写出、三点的坐标和抛物线的对称轴；（2）连接，与抛物线的对称轴交于点，点为线段上的一个动点，过点作交抛物线于点，设点的

7、横坐标为：用含的代数式表示线段的长，并求出当为何值时，四边形为平行四边形？设的面积为，求与的函数关系式解：（1）A（-1，0），B（3，0），C（0，3）2分xyDCAOBEPFM抛物线的对称轴是：x=13分（2）设直线BC的函数关系式为：y=kx+b把B（3，0），C（0，3）分别代入得：解得：k= -1，b=3所以直线BC的函数关系式为：当x=1时，y= -1+3=2，E（1，2）当时，P（m，m+3）4分在中，当时，当时，5分线段DE=4-2=2，线段6分当时，四边形为平行四边形由解得：（不合题意，舍去）因此，当时，四边形为平行四边形7分设直线与轴交于点，由可得：8分即9分【例6】 在平

8、面直角坐标系中，已知抛物线经过，三点（1）求抛物线的解析式；（2）若点为第三象限内抛物线上一动点，点的横坐标为，的面积为求关于的函数关系式，并求出的最大值（3）若点是抛物线上的动点，点是直线上的动点，判断有几个位置能够使得点为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点的坐标【例7】 已知：如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴的交点分 别为，将对折，使点的对应点落在直线上，折痕交轴于点（1）直接写出点的坐标，并求过三点的抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为，在直线上是否存在点，使得四边形为平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由；（3）设抛物线的对称轴与直线的交点为为线段上一点，

9、直接写出的取值范围解：（1）点C的坐标为.- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1分 点A、B的坐标分别为， 可设过A、B、C三点的抛物线的解析式为. 将代入抛物线的解析式，得. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -2分 过A、B、C三点的抛物线的解析式为.- - - - - - - - - - - - -3分图8（2）可得抛物线的对称轴为，顶点D的坐标为 ，设抛物线的对称轴与x轴的交点为G.直线BC的解析式为.

10、- - - - - - - - - - 4分设点P的坐标为.解法一：如图8，作OPAD交直线BC于点P，连结AP，作PMx轴于点M. OPAD， POM=GAD，tanPOM=tanGAD. ，即. 解得. 经检验是原方程的解. 此时点P的坐标为. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -5分但此时，OMGA. OPAD，即四边形的对边OP与AD平行但不相等， 直线BC上不存在符合条件的点P. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 6分 解法二：如图9，取OA的中点E，作点D

11、关于点E的对称点P，作PNx轴于点N. 则PEO=DEA，PE=DE.可得PENDEG 由，可得E点的坐标为.NE=EG=， ON=OENE=，NP=DG=. 点P的坐标为. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 5分 x=时， 点P不在直线BC上. 直线BC上不存在符合条件的点P .- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 6分图10图9（3）的取值范围是. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 8分三、与梯形相

12、关【例8】 如图，在菱形中，为边中点，点从点开始沿方向以每秒cm的速度运动，同时，点从点出发沿方向以每秒的速度运动，当点到达点时，同时停止运动，设运动的时间为秒（1）当点在线段上运动时请用含的代数式表示的长度；若记四边形的面积为，求关于的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）显然，当时，四边形即梯形，请问，当在线段的其他位置时，以为顶点的四边形能否成为梯形？若能，求出所有满足条件的的值；若不能，请说明理由（1）由题意得BAO=30，ACBDAB=2OB=OD=1，OA=OC=OP=2分过点E作EHBD，则EH为COD的中位线 DQ=x BQ=2-x3分（2）能成为梯形，分三种情况：当

13、PQBE时，PQO=DBE=30即x=此时PB不平行QE，x=时，四边形PBEQ为梯形.2分当PEBQ时，P为OC中点AP=，即此时，BQ=2-x=PE，x=时，四边形PEQB为梯形.2分当EQBP时，QEHBPOx=1（x=0舍去）此时，BQ不平行于PE，x=1时，四边形PEQB为梯形.2分综上所述，当x=或或1时，以P，B，E，Q为顶点的四边形是梯形.1分 【例9】 如图，为正方形的对称中心，直线交于，于，点从原点出发沿轴的正半轴方向以1个单位每秒速度运动，同时，点从出发沿方向以个单位每秒速度运动，运动时间为求：（1）的坐标为 ；（2）当为何值时，与相似？（3）求的面积与的函数关系式；并求

14、以为顶点的四边形是梯形时的值及的最大值（1）（，）分（2）当MDR45时，2,点（2，0）分当DRM45时，3,点（3，0） 分（）（）；（1分）（）（1分）当时，（1分） （1分）当时， （1分）当时， （1分）【例10】 如图，在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点为，与轴交于点，将沿翻折后，点落在点处（1）求点、的坐标；（2）求经过、三点的抛物线的解析式；（3）若抛物线的对称轴与交于点，点为线段上一点，过点作轴的平行线，交抛物线于点当四边形为等腰梯形时，求出点的坐标；当四边形为平行四边形时，直接写出点的坐标.解：（1）如图所示，点关于轴的对称点为，与轴交于点，轴于，1分，由题意可知 ， 过点作轴于，轴于，在中， , 由矩形得点在第四象限2分 （2）设经过、三点的抛物线的解析式为. 依题意得 3分 解得 此抛物线的解析式为4分（3），点为抛物线的顶点直线为抛物线的对称轴，交于，由题意可知 ，是等边三角形，当点在上时，四边形为等腰梯形.，与不平行，四边形为梯形.要使梯形为等腰梯形，只需满足.,点在上.由、求得直线的解析式为.又点在抛物线上，. 解得（与点重合，舍）.点横坐标为.由、求得直线的解析式为.点在上， 6分当点在上时，四边形为平行四边形，此时点坐标为. 8分综上所述，当时，为等腰梯形；当时，为平行四边形专心-专注-专业