角平分线的四大模型(共6页).docx

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1、精选优质文档-倾情为你奉上角平分线四大模型模型一：角平分线上的点向两边作垂线如图，P是MON的平分线上一点，过点P作PAOM于点A,PBON于点B,则PB=PA.模型分析：利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口。例1：（1）如图，在ABC,C=90，AD平分CAB，BC=6cm，BD=4cm，那么点D到AB的距离是_cm(2)如图，已知1=2，3=4，求证：AP平分BAC.练习1 如图，在四边形ABCD中，BCBA，AD=DC，BD平分ABC.求证：BAD+C=180练习2 如图，ABC的外角AC

2、D的平分线CP与内角ABC的平分线BP交于点P，若BPC=40，则CAP=（）A. 40 B. 45 C. 50 D. 60模型二：截取构造对称全等如图，P是MON的平分线上一点，点A是射线OM上任意一点，在ON上截取OB=OA，连接PB，则OPBOPA.模型分析：利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等、利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。例2：(1)如图所示，在ABC中，AD是BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PB+PC与AB+AC的大小，并说明理由 (2)如图所示AD是ABC的内角平分线，其他条件不

3、变，试比较PC -PB与AC-AB的大小，并说明理由练习 3 已知：ABC中，A=2B，CD是ACB的平分线，AC=16，AD=8，求线段BC的长。练习4 已知,如图AB=AC,A=108，BD平分ABC交AC于D，求证：BC=AB+CD.练习5 如图,在ABC中,A=100,ABC=40，BD是ABC的平分线，延长BD至E，使DE=AD.求证：BC=AB+CE.模型三：角平分线+垂线构造等腰三角形如图，P是MON的平分线上一点，APOP于P点，延长AP交ON于点B,则AOB是等腰三角形。模型分析：构造次模型可以利用等腰三角形的“三线合一”，也可以得到两个全等的直角三角形，进而得到对应边、对应

4、角相等。这个模型敲门地把角平分线和三线合一联系在一起。例3：如图所示，已知等腰直角三角形ABC中，A=90，AB =AC，BD平分ABC，CEBD，垂足为点E，求证：BD=2CE练习6 如图，在ABC中，BE是ABC的角平分线，ADBE，垂足为D，求证：2=1+C。练习7 如图,在ABC中,ABC=3C,AD平分BAC,BEAD于E,求证：BE=12(ACAB).模型四：角平分线+平行线如图，P是MON的平分线上一点，过点P作PA/ON,交OM于点Q.则POQ是等腰三角形.模型分析：有角平分线时，常过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形，为证明结论提供更多的条件，体现了角平分线与等

5、腰三角形之间的密切关系。例4：阅读并完成以下问题：已知,ABC中,ABC、ACB的平分线相交于点O,过点O作EFBC交AB、AC于点E. F. 当AB=AC,易证BEO与CFO为等腰三角形,则有EF=BE+CF.(如图1)当ABAC,其他条件不变,如图(2)，则EF=BE+CF还成立吗?答：_.当ABAC时,作ABC的平分线与ACB的外角ACD的平分线CO交于O,过O点作OEBC交AB于E,交AC于F. 如图(3)，这时EF与BE、CF间的关系又如何呢?请写出并证明你的结论?当ABAC时，作ABC的外角平分线与ACB的外角平分线或延长线交于O，过O点作BC的平行线，交AB延长线于E，交AC的延长线于F. 请根据以上的要求画出图形，并直接写出这时EF与BE、CF间的关系?练习8 如图，在ABC中，ABC和ACB的平分线相交于点E，过点E作MNBC交AB于点M，交AC于点N.若BM+CN=9，则线段MN的长是.练习9 如图,在ABC,AD平分BAC,E、F分别在BD、AD上,且DE=CD,EF=AC,求证：EFAB.练习10 如图,梯形ABCD中,ADBC，E是CD的中点，AE平分BAD，AEBE.(1)求证：BE平分ABC；(2)求证：AD+BC=AB；(3)若SABE=4，求梯形ABCD的面积。专心-专注-专业