必修五一元二次不等式及其解法题型归纳教师版(共10页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上必修5一元二次不等式及其解法【知识导图】【目标导航】1.了解一元二次不等式的概念；2掌握一元二次不等式的解集，会解一元二次不等式；3会解能化为一元二次不等式的分式不等式；4理解一元二次不等式、一元二次方程、二次函数之间的关系.5.会求解方程根的存在性问题和不等式恒成立问题；6会解含参数的一元二次不等式.【重难点精讲】重点一、一元二次不等式的概念及形式(1)概念：我们把只含有一个未知数，并且知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式(2)形式：ax2bxc0(a0)；ax2bxc0(a0)；ax2bxc0(a0)或ax2bxc0或f(x)0)，方程ax2bxc0的判

2、别式b24ac判别式b24ac000或f(x)0x|xx2x|xRf(x)0x|x1x0与(x1)(x3)0等价吗？0与(2x1)(x2)0等价吗？定义：分母中含有未知数，且分子、分母都是关于x的多项式的不等式称为分式不等式.解法：等价转化法解分式不等式0f(x)g(x)0，0f(x)g(x)0或.0f(x)g(x)2,1x2，x1不同情形下，y值的符号变化情况(2)考查函数y(x1)2(x3)，当x3，3x1时，y的取值正负情形你发现了什么规律？高次不等式：不等式最高次项的次数高于2，这样的不等式称为高次不等式.解法：穿根法将f(x)最高次项系数化为正数；将f(x)分解为若干个一次因式的积或

3、二次不可分因式的积；将每一个一次因式的根标在数轴上，自上而下，从右向左依次通过每一点画曲线(注意重根情况，偶次方根穿而不过，奇次方根穿过)；观察曲线显现出的f(x)的值的符号变化规律，写出不等式的解集【典题精练】考点1、一元二次不等式的解法例1求下列不等式的解集.（1）； （2）；（3）； （4）. 【解析】（1）因为，所以原不等式等价于，解得，所以原不等式的解集为.（2）原不等式可化为,配方得 ,又,所以,解得，.所以原不等式的解集为.（3）原不等式可化为，因为恒成立，所以原不等式的解集为.（4）原不等式可化为，因为恒成立，所以原不等式无解，即原不等式的解集为.考点点睛：解一元二次不等式的一

4、般步骤：第一步，将一元二次不等式化为一端为0的形式(习惯上二次项系数大于0)第二步，求出相应一元二次方程的根，或判断出方程没有实根第三步，画出相应二次函数示意草图，方程有根的将根标在图中第四步，观察图象中位于x轴上方或下方的部分，对比不等式中不等号的方向，写出解集考点2、“三个二次”关系的应用例2已知不等式的解集为或.（1）求；（2）解关于的不等式 【解析】（1）因为不等式ax23x+64的解集为x|x1，或xb，所以1和b是方程ax23x+20的两个实数根，且b1；由根与系数的关系，得a1，b2；（2）所求不等式ax2（ac+b）x+bc0化为x2（2+c）x+2c0，即（x2）（xc）0；

5、当c2时，不等式（x2）（xc）0的解集为x|2xc；当c2时，不等式（x2）（xc）0的解集为x|cx2；当c2时，不等式（x2）（xc）0的解集为1.一元二次不等式ax2bxc0(a0)的解集的端点值是一元二次方程ax2bxc0的根，也是函数yax2bxc的图象与x轴交点的横坐标2注意灵活运用根与系数的关系解决问题考点3、一元二次不等式的实际应用例3【2020届上海市崇明区高三第一次高考模拟】某辆汽车以公里/小时速度在高速公路上匀速行驶(考虑到高速公路行车安全要求)时,每小时的油耗(所需要的汽油量)为升. (1)欲使每小时的油耗不超过升,求的取值范围;(2)求该汽车行驶公里的油耗关于汽车行

6、驶速度的函数,并求的最小值.【解析】（1）由题意,令,化简得,解得;又因为,所以欲使每小时的油耗不超过升,的取值范围是;（2）设该汽车行驶公里的油耗为;则=,(其中);由,知,所以=时,汽车行驶公里的油耗取得最小值为升.考点4、含参数的一元二次不等式的解法例4【广西贺州市2018-2019学年高二上学期期末】解关于的不等式.【解析】当时，原不等式可化为，所以原不等式的解集为.当时，判别式.（1）当时，判别式，原不等式可化为，即，所以原不等式的解集为.（2）当时，原不等式可化为，此时，所以原不等式的解集为.（3）当时，原不等式可化为，此时，所以原不等式的解集为.（4）当时，原不等式可化为，此时，

7、所以原不等式的解集为.综上，a0时，不等式的解集是（，1）；a0时，不等式的解集是（，1）；时，不等式的解集为.时，不等式的解集是（，1）（，+）；a1时，不等式的解集是（， ）（1，+）考点点睛：解含参数的一元二次不等式时：(1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0与小于0进行讨论；(2)若求对应一元二次方程的根，需对判别式进行讨论；(3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论考点5、分式不等式的解法例5解关于的不等式 【解析】原不等式等价于(1)当时，解集为(2)当时，原不等式可化为，因为，所以解集为(3)当时，解集为(4)当时，原不等式等价于，即，解集为(5)当时，解集为

8、综上所述，当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为考点点睛：1.对于不等号一端为0的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零2对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项、通分(一般不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解考点6、简单高次不等式解法例6【上海市华东师范大学第二附属中学2016-2017年高一上学期第一次月考】关于的不等式的解集为_. 【解析】原不等式等价于，如下图所示：由高次不等式“奇穿偶不穿”的原则可知，原不等式的解集为.故答案为：.穿根法求高次不等式的解集：(1)求解过程概括为：(注意端点值能否取

9、到)(2)“化正”指不等式中未知数最高项的系数为正值(3)奇(奇次根)过，偶(偶次根)返回考点7、不等式恒成立问题例7已知函数对任意实数 恒成立，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】当，或.若，则函数化为，对任意实数不可能恒大于0.若，则恒成立.当时，根据题意有综上可知，实数的取值范围是.故答案为考点点睛：1一元二次不等式恒成立问题(1)ax2bxc0(a0)恒成立(或解集为R)时，满足；(2)ax2bxc0(a0)恒成立(或解集为R)时，满足；(3)ax2bxc0(a0)恒成立(或解集为R)时，满足；(4)ax2bxc0(a0)恒成立(或解集为R)时，满足.2含参数的一元二次不等式恒成立若

10、能够分离参数成kf(x)形式则可以转化为函数值域求解设f(x)的最大值为M，最小值为m.(1)kf(x)恒成立kf(x)恒成立kM，kf(x)恒成立kM.课后训练1（2019年兴庆区校级月考）不等式6x2x20的解集为_ 因为6x2x20(2x1)(3x2)0，所以原不等式的解集为.2（2019年北京模拟）设a1，则关于x的不等式a(xa)0的解集为_ 因为a1，所以a(xa)0.又aa，所以x或xa.3（2019年合肥期中）已知关于x的不等式ax2bxc0的解集为_ 由题意，2，是方程ax2bxc0的两个根且a0即为2x25x20，解得x0的解集为.4.若集合Ax|12x13，B，则AB等于()Ax|1x0Bx|0x1Cx|0x2 Dx|0x1【答案】BAx|1x1，Bx|0x2，ABx|0x15若集合Ax|ax2ax10，则实数a的取值集合是() Aa|0a4 Ba|0a4Ca|00时，相应二次方程中的a24a0，得a|00的解集为_【答案】x|4x1原式可转化为(x1)(x2)2(x3)(x4)0，根据数轴穿根法，解集为4x1.7设x22xa80对于任意x(1,3)恒成立，则a的取值范围是_. 原不等式x22xa80转化为ax22x8对任意x(1,3)恒成立，设f(x)x22x8，易知f(x)在1,3上的最小值为f(3)5.a(，5专心-专注-专业