实验解线性方程组的基本迭代法实验(共23页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上数值分析实验报告姓 名忘川学 号系 别数学系班级12级主讲教师指导教师实验日期2014/6/25专业 信息与计算科学专业课程名称数值分析同组实验者无一、实验名称： 实验八、解线性方程组的基本迭代法实验二、 实验目的：1深入理解Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法和SOR迭代法；2通过对Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法和SOR迭代法的程序设计，提高程序设计的能力；3应用编写的程序解决具体问题，掌握三种基本迭代法的使用，通过结果的分析了解每一种迭代法的特点。三、实验内容及要求：1根据Matlab语言特点，描述Jacobi迭代法、Gauss-

2、Seidel迭代法和SOR迭代法。2编写Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法和SOR迭代法的M文件。3给定为五对角矩阵(1)选取不同的初始向量及右端面项向量b，给定迭代误差要求，分别用编写的Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法程序求解，观察得到的序列是否收敛？若收敛，通过迭代次数分析计算结果并得出你的结论。(2)用编写的SOR迭代法程序，对于(1)所选取的初始向量及右端面项向量b进行求解，松驰系数取12的不同值，在时停止迭代，通过迭代次数分析计算结果并得出你的结论。四、实验步骤（或记录）一、算法描述 由得到 ,则有：则有： 第一步：Jacobi迭代法令 则称 为雅克

3、比迭代矩阵由此可得雅克比迭代的迭代格式如下：第二步Gauss-Seidel迭代法 令，则称为Gauss-Seidel迭代矩阵由此可得Gauss-Seidel迭代的迭代格式如下： 第三步SOR迭代法 令,则有：令带入的值可有称 为SOR迭代矩阵，由此可得SOR迭代的迭代格式如下： 二、算法程序Jacobi迭代法的M文件：function y,n=Jacobi(A,b,x0,eps)%*%函数名称 Jacobi 雅克比迭代函数%参数解释 A 系数矩阵% b 常数项% x0 估计解向量% eps 误差范围%返回值 % y 解向量% n 迭代次数%函数功能 实现线性方程组的Jacobi迭代求解 %*

4、n=length(A);if nargin=1 disp(谱半径大于等于1，迭代不收敛，无法进行); return;endn=1;for i=1:1:nif sum(A(i,i)=n)=n error(输入的A矩阵的对角线元素不能为0); return;endendy=B*x0+f;while norm(y-x0)=eps&n100x0=y;y=B*x0+f;n=n+1;endGauss-Seidel迭代法的M文件和function y,n=GaussSeidel(A,b,x0,eps)%*%函数名称 GaussSeidel 高斯赛德尔迭代函数%参数解释 A 系数矩阵% b 常数项% x0 估

5、计解向量% eps 误差范围%返回值 % y 解向量% n 迭代次数%函数功能 实现线性方程组的Jacobi迭代求解 %* n=length(A);if nargin=1 disp(谱半径大于等于1，迭代不收敛，无法进行); return;endn=1;for i=1:1:nif sum(A(i,i)=n)=n error(输入的A矩阵的对角线元素不能为0); return;endendy=B*x0+f;while norm(y-x0)=eps&n100x0=y;y=B*x0+f;n=n+1;endSOR迭代法的M文件function y,n=SOR(A,b,x0,w,eps)%*%函数名称

6、SOR 松弛迭代函数%参数解释 A 系数矩阵% w 松弛因子% b 常数项% x0 估计解向量% eps 误差范围%返回值 % y 解向量% n 迭代次数%函数功能 实现线性方程组的Jacobi迭代求解 %* n=length(A);if nargin=eps&n b=ones(20,1); x0=zeros(20,1); eps=0.005; y,n=Jacobi(A,b,x0,eps)y = 0.4813 0.5729 0.6321 0.6513 0.6600 0.6632 0.6646 0.6651 0.6653 0.6653 0.6653 0.6653 0.6651 0.6646 0.

7、6632 0.6600 0.6513 0.6321 0.5729 0.4813n = 9 在Command Window中输入：Gauss-Seidel迭代法求解：在Command Window中输入：A=zeros(20,20);for i=1:1:20 A(i,i)=3;endfor i=1:1:20 for j=1:1:20 if abs(i-j)=1 A(i,j)=-1/2; end endendfor i=1:1:20 for j=1:1:20 if abs(i-j)=2 A(i,j)=-1/4; end endend b=ones(20,1); x0=zeros(20,1); ep

8、s=0.005; y,n=GaussSeidel(A,b,x0,eps)y = 0.4814 0.5732 0.6325 0.6518 0.6606 0.6640 0.6654 0.6660 0.6662 0.6663 0.6663 0.6663 0.6661 0.6656 0.6642 0.6609 0.6521 0.6328 0.5734 0.4816n = 7 第二次给定初始向量 为20行一列的0右端面项向量b=20行一列的1.001迭代误差要求0.005Jacobi迭代法求解：在Command Window中输入A=zeros(20,20);for i=1:1:20 A(i,i)=3;

9、endfor i=1:1:20 for j=1:1:20 if abs(i-j)=1 A(i,j)=-1/2; end endend b=1.001*ones(20,1); x0=zeros(20,1); eps=0.005; y,n=Jacobi(A,b,x0,eps)y = 0.4146 0.4856 0.4978 0.4999 0.5002 0.5003 0.5003 0.5003 0.5003 0.5003 0.5003 0.5003 0.5003 0.5003 0.5003 0.5002 0.4999 0.4978 0.4856 0.4146n = 7 Gauss-Seidel迭代法

10、求解：在Command Window中输入A=zeros(20,20);for i=1:1:20 A(i,i)=3;endfor i=1:1:20 for j=1:1:20 if abs(i-j)=1 A(i,j)=-1/2; end endend b=1.001*ones(20,1); x0=zeros(20,1); eps=0.005; y,n=GaussSeidel(A,b,x0,eps)y = 0.4145 0.4856 0.4978 0.4999 0.5003 0.5003 0.5003 0.5003 0.5003 0.5003 0.5003 0.5003 0.5003 0.5003

11、 0.5003 0.5003 0.5000 0.4980 0.4858 0.4146n =5 观察计算结果得到的序列可以看出其是收敛，在较少的迭代次数下即可的到满足误差要求的解。 （2）第一次给定初始向量 为20行一列的0，右端面项向量b=20行一列的1迭代误差要求0.00005松弛因子为 1.5在Command Window中输入A=zeros(20,20);for i=1:1:20 A(i,i)=3;endfor i=1:1:20 for j=1:1:20 if abs(i-j)=1 A(i,j)=-1/2; end endendfor i=1:1:20 for j=1:1:20 if a

12、bs(i-j)=2 A(i,j)=-1/4; end endend b=ones(20,1); x0=zeros(20,1); w=1.5; eps=1e-5; y,n=SOR(A,b,x0,w,eps)y = 1.0e+012 * -0.5082 -0.9690 -1.5400 -2.1738 -2.8767 -3.6356 -4.4375 -5.2635 -6.0901 -6.8885 -7.6243 -8.2578 -8.7437 -9.0319 -9.0675 -8.7940 -8.1452 -7.0831 -5.4598 -3.5651n = 100 第二次给定初始向量 为20行一列

13、的0，右端面项向量b=20行一列的1迭代误差要求0.00005松弛因子为 1.2在Command Window中输入A=zeros(20,20);for i=1:1:20 A(i,i)=3;endfor i=1:1:20 for j=1:1:20 if abs(i-j)=1 A(i,j)=-1/2; end endend b=ones(20,1); x0=zeros(20,1); w=1.2; eps=1e-5; y,n=SOR(A,b,x0,w,eps)y = 0.2792 0.3246 0.3319 0.3331 0.3333 0.3333 0.3333 0.3333 0.3333 0.3333 0.3333 0.3333 0.3333 0.3333 0.3333 0.3334 0.3331 0.3348 0.3246 0.3874n =19分析结果： 通过对迭代次数及其迭代结果的分析，我的得出的结论是松驰系数在SOR迭代中起着相当重要的作用，不同的松驰系数，可能对迭代结果带来很大的影响，恰当的松驰系数可以加速收敛，得到较为良好的迭代结果，而不恰当的松驰系数选取，则可能会得导致无法获得理想的结果，甚至还可能影响到迭代的收敛性。五、教师评语（或成绩） 教师签字 ： 年 月 日专心-专注-专业