2020年高一数学新教材第一册同步学案(人教版)1.1集合的概念(解析版)(共22页).docx

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1、精选优质文档-倾情为你奉上1.1集合的概念思维导图躬行实践运用一 集合的判断【例1】下面几组对象可以构成集合的是A视力较差的同学B2018年的中国富豪C充分接近2的实数的全体D大于2小于2的所有非负奇数【答案】D【解析】集合的元素需要满足确定性.对于A,B,C三个选项来说，研究对象无法确定，所以不能组成集合.对于D选项，大于小于的所有非负奇数为，可以构成集合.故本小题选D.【思路总结】【触类旁通】1.下面给出的四类对象中，能组成集合的是A高一某班个子较高的同学B比较著名的科学家C无限接近于4的实数D到一个定点的距离等于定长的点的全体【答案】D【解析】集合的元素需要满足确定性.对于A,B,C三个

2、选项来说，研究对象无法确定，所以不能组成集合.对于D选项，到定点的距离等于定长的点为圆，可以组成集合.故本小题选D.2.考察下列每组对象，能组成一个集合的是油高高一年级聪明的学生 直角坐标系中横、纵坐标相等的点不小于3的正整数 的近似值ABCD【答案】C【答案】对于，“某高中高一年级聪明的学生”，其中聪明没有明确的定义，故不能构成集合；对于，“直角坐标系中横、纵坐标相等的点”，符合集合的定义，能构成集合；对于，“不小于3的正整数”，符合集合的定义，能构成集合；对于，“3的近似值”，对近似的精确度没有明确定义，故不能构成集合综上所述，只有能构成集合，不能构成集合故选：C运用二 元素与集合的关系【

3、例2】下列关系中，正确的个数为；A6B5C4D3【答案】D【解析】由元素与集合的关系，得：在中，5R，故正确；在中，13Q，故正确；在中，00，故错误；在中，0N，故错误；在中，Q，故错误；在中，3Z，故正确故选：D【触类旁通】1.（2019浙江高一期末）已知集合是，则ABCD【答案】A【解析】集合本题正确选项：2（2018河北武邑中学高一月考）已知，则()A且B且C且D且【答案】B【解析】A=x|x2，xR，a=，b=2,由2，可得aA,22，可得bA,故选：B运用三 元素的互异性【例3】（1）若，则实数的值为 。（2）（2018江苏省南通中学高一期中）已知，则实数的值为 。【答案】（1）2

4、 （2）-1【解析】（1）a1，a22a+2，则：a1或aa22a+2，当a1时：a22a+21，与集合元素的互异性矛盾，舍去；当a1时：aa22a+2，解得：a1（舍去）；或a2；（2），由得，由，得，由得或综上，或当时，集合为不成立当时，集合为不成立当时，集合为，满足条件故【思路总结】当元素属于集合时，应该进行分类讨论求出参数，参数代入验证集合中的元素是否满足元素的三个特征。【触类旁通】1设集合A=2，4，5，B=2，4，6，若xA，且 ，则x的值为 。【答案】5【解析】x2，4，5，x=2或x=4或x=5x2，4，6，x2且x4且x6，x=52已知集合Aa2，(a1)2，a23a3，若1

5、A，则2018a的值为_。【答案】1【解析】若a21，即a1，则(a1)20，a23a31，不满足集合元素的互异性.若(a1)21即a2或a0.当a2时，a20，a23a31，不满足集合元素的互异性；当a0时，a22，a23a33，满足题意.若a23a31，即a1或2，由，可知均不满足集合元素的互异性.综上知实数a的取值集合为0，则2018a的值为1.3（2018湖北沙市中学高一期末）已知集合, 且当时，则为 。【答案】2或4【解析】集合中含有3个元素2，4，6，且当时，当时，则当时，则当时，综上所述，故运用四 集合的表示方法【例4-1】用列举法表示下列集合（1）是15的约数 （2）（3）为不

6、大于10的正偶数 （4），（5） （6），【答案】见解析【解析】（1）xN*|x是15的约数，列举法表示为1，3，5，15（2）x|x22x80，列举法表示为2，4（3）x|x为不大于10的正偶数，列举法表示为2，4，6，8，10（4）a|1a5，aN，列举法表示为1，2，3，4（5）AxN|169-xN，列举法表示为1，5，7，8（6）（x，y）|x1，2，y1，2列举法表示为（1，1），（1，2），（2，1），（2，2）【例4-2】用描述法表示下列集合：（1）方程的所有实数解组成的集合；（2）一次函数与的图象的交点组成的集合；（3）不等式的自然数解组成的集合【答案】见解析【解析】（1）列举

7、法：3，3 描述法：x|x290（2）列举法：（1，4）描述法：（x，y）|y=x+3y=-2x+6（3）列举法：0，1描述法：xN|x2【例4-3】用另一种方法表示下列集合：(1)绝对值不大于2的整数；(2)能被3整除，且小于10的正数；(3)x|x|x|，x5且xZ；(4)(x，y)|xy6，xN，yN；(5)3，1,1,3,5【答案】见解析【解析】(1)2，1,0,1,2(2)3,6,9(3)x|x|，x0.又xZ且x5，x0或1或2或3或4.集合可以表示为0,1,2,3,4(4)(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)(5)x|x2k1，1k3，kZ【思路总结】【触类

8、旁通】1. 集合xN*|x31用列举法可表示为_。【答案】1，2，3【解析】由解得，由于，所以，故集合为，故2.已知集合，用列举法表示集合_【答案】0，1，【解析】因为，即，又， 故答案为：0，1，3.用描述法表示下列集合：（1）偶数集；（2）正奇数集；（3），4，7，10，；（4），；（5）方程组的解；（6）函数的所有函数值；（7）函数图象上所有的点【答案】见解析（1）偶数的集合表示为：x|x2k，kZ（2）正奇数的集合表示为：x|x2n+1，nN*（3）xN|x3n2，nN*（4）xN|10x2，且x是偶数（5）（x，y）|x+y=03x+2y=2；（6）y|yx2+2x；（7）（x，y）

9、|yx2+2x4.用另一种形式表示下列集合:(1)绝对值不大于3的整数;(2)所有被3整除的数;(3)x|x=|x|,xZ且x5;(4)x|(3x-5)(x+2)(x2+3)=0,xZ.（5）方程组的解集；（6）1000以内被3除余2的正整数组成的集合；（7）平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合；（8）所有的正方形组成的集合【答案】见解析【答案】(1)绝对值不大于3的整数还可以表示为x|x|3,xZ,也可表示为-3,-2,-1,0,1,2,3;(2)x|x=3n,nZ(说明:被3除余1的整数可表示为x|x=3n+1,nZ);(3)x=|x|,x0.又xZ且x5,x|x=|x|,xZ且x5还

10、可表示为0,1,2,3,4;(4) -2.(特别注意xZ这一约束条件)（5）解方程组得，故解集为(4，2)（6）集合的代表元素是数，用描述法可表示为（7）集合的代表元素是点，用描述法可表示为(x，y)|x0（8）集合用描述法可表示为x|x是正方形，简写为正方形运用五 集合与元素综合运用【例5】已知集合，集合，则集合中元素的个数为 。（2）已知集合中只有一个元素，则实数k的值为_ 【答案】（1）5 （2）4【解析】（1），当时，当时，当时，即，即共有个元素（2）中只有一个元素， 一元二次方程有两个相等的根， 即故答案为4【触类旁通】1.集合A=1,2，3，4，5，B=(x,y)|xA，yA，yx

11、A，则集合B所含元素个数为( )A3B6C8D10【答案】D【解析】集合A=1,2，3，4，5，B=(x,y)|xA，yA，yxA，B=(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,4)，(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，集合B所含元素个数为10故选：D2（2019上海高考模拟）若集合Z中有且只有一个元素，则正实数的取值范围是_【答案】【解析】f（x）x2（a+2）x+2a0，即x22x+1a（x+1）1，分别令yx22x+1，ya（x+1）1，易知过定点（1，1），分别画出函数的图象，如图所示：集合AxZ|f（x）0中有且只有一个元素，即点（0，0）和点（2

12、,1）在直线上或者其直线上方，点（1,0）在直线下方，结合图象可得，解得a故答案为：（，3已知aR，不等式的解集为P，且-2P，则a的取值范围是_【答案】-3，2）【解析】根据题意，等式的解集为P，且-2P，则有，即-1，变形可得：（a+3）（a-2）0且a-20，解可得：-3a2，即a的取值范围为-3，2）；故答案为：-3，2）4设数集A由实数构成，且满足：若xA（x1且x0），则11-xA.（1）若2A，试证明A中还有另外两个元素；（2）集合A是否为双元素集合，并说明理由；（3）若A中元素个数不超过8个，所有元素的和为143，且A中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合A.【答案】(1)

13、 -1，12;(2)见解析；（3）A=12,2,-1,-12,3,23.【解析】（1）证明：若xA，则11-xA 又2A，11-2=-1A-1A，11-1=12AA中另外两个元素为-1，12；（2）xA，11-xA，x-1xA，且x11-x，11-xx-1x，xx-1x，故集合A中至少有3个元素，不是双元素集合；（3）由xA，11-xA，可得A=x，11-x，x-1x ，所有元素积为1，(x-1x)2=1x=12，12+2-1+m+11-m+m-1m=143m=-12、3、23，A=12,2,-1,-12,3,23.融会贯通1.已知集合AxN|1x4，则集合A中的元素个数是( )A3B4C5D

14、6【答案】B【解析】集合A=xN|-1x4=0，1，2，3即集合A中的元素个数是4 故选：B2.方程组的解构成的集合是（ ）ABCD【答案】C【解析】 方程组的解构成的集合是（1，1）故选：C3（2019河南高一期末）下列关于集合的命题正确的有（ ）很小的整数可以构成集合集合y|y=2x2+1与集合(x,y) |y=2x2+1是同一个集合;1，2，|-|，0.5，这些数组成的集合有5个元素空集是任何集合的子集A0个B1个C2个D3个【答案】B【解析】很小的整数可以构成集合是错误的，不满足元素确定性，故错误集合为，需要求出函数的值域，而表示的集合为函数图象上的点，所以不是同一集合，故错误l，2，

15、0.5，这些数组成的集合有3个元素，而不是5个元素，故错误空集是任何集合的子集正确综上只有1个命题正确，故选4（2018四川省广元外国语学校高一月考）下列说法正确的是（ ）A我校爱好足球的同学组成一个集合B是不大于3的自然数组成的集合C集合和表示同一集合D数1，0，5， 组成的集合有7个元素【答案】C【解析】选项A，不满足确定性，故错误选项B，不大于3的自然数组成的集合是，故错误选项C,满足集合的互异性，无序性和确定性，故正确选项D，数1，0，5， 组成的集合有5个元素，故错误故选C5（2018重庆南开中学高一期中）设集合A=1，1，2，集合B=x|xA且2xA，则B=A1 B2 C1，2 D

16、1，2【答案】C【解析】集合Bx|xA且2xA，集合A1，1，2，当x1时，可得2（1）3A；当x1时，可得211A；当x2时，可得220A；B1，2；故选：C6一次函数y=x+2 和y=-2x+8的交点组成的集合是（ ）A2，4 Bx=2,y=4 C2,4 Dx,y|x=2且y=4【答案】D【解析】由题意，联立方程组可得y=x+2y=-2x+8，解得y=4， x=2一次函数y=x+2与y=-2x+8的图象的交点为(2,4)组成的集合是x,y|x=2且y=4故选：D7若2x|x2+mx-3=0，则m的值为_【答案】-12【解析】因为2x|x2+mx-3=0，所以22+2m-3=0m=-12.8

17、（2019广东华南师大附中高一月考）设集合，集合，则集合中的元素个数为_【答案】6【解析】因为，所以的可能结果有种，依次是，所以中有个元素，故答案为.9（2018上海市建平中学高一期中）已知集合中的所有元素之和为2，则实数a的取值集合为_【答案】或【解析】集合中的所有元素之和为2，已经确定2是其中的元素，的解为或无解，或，解得实数a的取值集合为或故答案为：或10用列举法写出集合_【答案】【解析】，且；，0，或1；，或1；，或0；故答案为：11（2019江苏省如皋中学高考模拟）集合，则集合A中所有元素之积为_.【答案】0【解析】由题意得，所以集合A中所有元素之积为0故答案为012（2019北京高

18、一期末）设集合3，6，9，12，集合N满足：有两个元素；若，则且请写出两个满足条件的集合N_【答案】，【解析】由，得结合已知条件可得：两个满足条件的集合N为，故答案为：，13（2018浙江高一期中）已知集合A=x，1，B=x2，x+y，0，若A=B，则x2017+y2018=_【答案】-1【解析】集合A=x，1，B=x2，x+y，0，A=B，解得x=-1，y=0，则x2017+y2018=（-1）2017+02018=-1故答案为：-114（2018河南高一期中）已知集合A1，2，B（x，y）|xA，yA，x+yA，则B中所含元素的个数为_【答案】1【解析】因为A1，2，B（x，y）|xA，y

19、A，x+yA，所以，所以集合B中只有一个元素，故答案是1.15.已知集合A=xN|x2-2x-40，则A中所有元素之和为_【答案】【解析】由x2-2x-40，得1-x1+A=xN|x2-2x-40=0，1，2，3，A中所有元素之和为0+1+2+3=6故答案为：616已知A=a-1,2a2+5a+1,a2+1, -2A,求实数a的值 .【答案】-32【解析】因为-2A，所以有a-1=-2,或2a2+5a+1=-2，显然a2+1-2，当a-1=-2时，a=-1，此时a-1=2a2+5a+1=-2不符合集合元素的互异性，故舍去；当2a2+5a+1=-2时，解得a=-32，a=-1由上可知不符合集合元

20、素的互异性，舍去，故a=-32.17已知-5x|x2-ax-5=0，用列举法表示集合x|x2-4x-a=0【答案】2【解析】因为-5x|x2-ax-5=0，所以52+5a-5=0a=-4，x2-4x+4=0x=2，所以x|x2-4x-a=0 =218.用适当的方法表示下列集合（1）小于5的自然数构成的集合；（2）直角坐标系内第三象限的点集；（3）偶数集(4)大于2且小于5的有理数组成的集合；(5)24的所有正因数组成的集合；(6)平面直角坐标系内与坐标轴的距离相等的点组成的集合【答案】（1）0,1,2,3,4；（2）(x,y)|x0,y0；（3）x|x=2k,kZ.（4）x|2x5且xQ；（5

21、）1,2,3,4,6,8,12,24；（6）(x，y)|y|x|.【解析】（1）0,1,2,3,4；（2）(x,y)|x0,y0；（3）x|x=2k,kZ(4)用描述法表示为x|2x5且xQ(5)用列举法表示为1,2,3,4,6,8,12,24(6)在平面直角坐标系内，点(x，y)到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|，所以该集合用描述法表示为(x，y)|y|x|19.已知集合，7，且，求集合B【答案】1，4，【解析】集合，7，且，或舍，解得，当时，5，不成立；当时，5，7，1，成立集合1，4，20.设A为实数集，且满足条件：若aA，则11-aA(a1)求证：(1)若2A，则A中必还有另外

22、两个元素；(2)集合A不可能是单元素集【答案】（1）见解析； （2）见解析.【解析】(1)若aA，则11-aA.又2A，11-21A.1A，11-(-1)12A.12A，11-122A.A中另外两个元素为1，12.(2)若A为单元素集，则a11-a，即a2a10，方程无解a11-a，集合A不可能是单元素集21已知集合A含有两个元素a3和2a1，aR.(1)若3A，试求实数a的值；(2)若aA，试求实数a的值【答案】（1）0或1； （2）1 .【解析】(1)因为3A，所以3a3或32a1.若3a3，则a0.此时集合A含有两个元素3，1，符合题意若32a1，则a1.此时集合A含有两个元素4，3，符

23、合题意综上所述，满足题意的实数a的值为0或1.(2)因为aA，所以aa3或a2a1.当aa3时，有03，不成立；当a2a1时，有a1，此时A中有两个元素2,1，符合题意综上所述，满足题意的实数a的值为1.22若P0,2,5，Q1,2,6，定义集合PQab|aP，bQ，用列举法表示集合PQ.【答案】1,2,3,4,6,7,8,11【解析】当a0时，b依次取1,2,6，得ab的值分别为1,2,6；当a2时，b依次取1,2,6，得ab的值分别为3,4,8；当a5时，b依次取1,2,6，得ab的值分别为6,7,11.PQ1,2,3,4,6,7,8,1123.已知集合（1）若中只有1个元素，试求实数的值

24、，并用列举法表示集合；（2）若集合中有2个元素，求实数的取值范围【答案】a1且a0【解析】（1）当a0时，原方程变为8x+160，x2，此时集合A2；当k0时要使一元二次方程ax28x+160有一个实根，需6464a0，即a1此时方程的解为x1x24集合A4，满足题意综上所述，实数a的值为0或1，当a0时，集合A2；当a1时，集合A4（2）若集合A中有2个元素，由题意得：a0时要使一元二次方程ax28x+160有2个实根，需6464a0，即a1，综上：a1且a024.已知集合，其中（1）1是中的一个元素，用列举法表示；（2）若中有且仅有一个元素，求实数的组成的集合；（3）若中至多有一个元素，试求的取值范围【答案】见解析（1）1是A的元素，1是方程ax2+2x+10的一个根，a+2+10，即a3，此时Ax|3x2+2x+10x11，x2=-13，此时集合A=-13，1；（2）若a0，方程化为x+10，此时方程有且仅有一个根x=-12，若a0，则当且仅当方程的判别式44a0，即a1时，方程有两个相等的实根x1x21，此时集合A中有且仅有一个元素，所求集合B0，1；（3）集合A中至多有一个元素包括有两种情况，A中有且仅有一个元素，由（2）可知此时a0或a1，A中一个元素也没有，即A，此时a0，且44a0，解得a1，综合知a的取值范围为a|a1或a0专心-专注-专业