分类讨论思想在二次函数最值中的应用(解析版)(共18页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上【高考地位】分类讨论思想是一种重要的数学思想方法，它在人类的思维发展中起着重要的作用. 分类讨论思想实际上是一种化整为零、化繁为简、分别对待、各个击破的思维策略在数学解题中的运用. 二次函数在闭区间上最值问题在高考各省市的考题中经常出现，由于二次函数分类讨论参变量取不同的值时，可引起函数性质的变化，因此研究二次函数在区间上的最值问题常见处理方法是有必要的.【方法点评】类型 求二次函数最值问题使用情景：二次函数在区间上的最值问题解题模板：第一步 通过观察函数的特征，分析二次函数的表达式中是否具有参数，且参数的位置在什么位置；第二步 通过讨论二次函数的对称轴和已知区间之间

2、的关系进行分类讨论；第三步 根据二次函数的图像与性质可判断函数在区间上的单调性，并根据函数的单调性求出来源:学科网其最值；第四步 得出结论.例1已知函数是二次函数，且满足，（1）求的解析式；（2）若，试将的最大值表示成关于t的函数【答案】（1）；（2）【解析】试题解析：（1）由题可设，又，得a1，得 （2）由（1）知，的对称轴为，若，则在上是减函数，8分若，即，则在上是增函数， 若，即，则 故 。学科网来源:Z_xx_k.Com考点：二次函数的解析式，二次函数的最值【名师点睛】（1）二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴

3、与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；（2）二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解例2 已知函数，若函数的最小值是且对称轴是，（1）求的值；（2）在（1）条件下求在区间 的最小值【答案】（1）8；（2）【解析】 试题解析：（1）， （2）当时，即时 在区间上单调递减当时，即时 来源:学*科*网Z*X*X*K在区间上单调递减，在区间上单调递增 当时在区间上单调递增，。学科网考点：1、待定系数法求解二次函数的解析式；2、二次函数求最值；3、利用分类讨论求解函数的最值【变式演练1】已知函数，（1）求在区间的最小值；（2）求在区间的值域【答案】（

4、1）（2）当时值域为2-2a，5+2a，当时值域为，当时值域为5+2a，2-2a.【解析】试题分析：（1）先配方，再分类讨论，即可求f（x）在区间-1，2的最小值g（a）；（2）分类讨论，求出f（x）在区间-1，2的最大值，最小值，即可求f（x）在区间-1，2的值域试题解析：（1）a-1时，g（a）=2-2a；-1a2时，g（a）= ；a2时，g（a）=5+2a，考点：二次函数的性质.【点评】本题在求二次函数的最值时，用到了分类讨论思想，求解中对系数a的符号进行讨论.在分类讨论时要遵循分类的原则：一是分类的标准要一致，二是分类时要做到不重不漏，三是能不分类的要尽量避免分类，绝不无原则的分类讨论

5、.【变式演练2】设函数（1）当时，记函数在0，4上的最大值为，求的最小值；（2）存在实数，使得当时，恒成立，求的最大值及此时的值【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）当，,对称轴为所以的最大值，即可得到的最小值（2）显然然后再对，和进行分类讨论，借助函数的单调性即可求出结果试题解析：（1）当，,对称轴为所以的最大值所以的最小值为当时，只需满足由，得由，得，又，即，再结合得，当时，由得，此时满足，及综上所述，的最大值为，此时考点：1二次函数的性质；2函数的单调性；3分类讨论思想【变式演练3】记函数（，均为常数，且）（1）若，（），求的值；（2）若，时，函数在区间上的最大值为，求【答案】（

6、1）4 （2）【解析】试题分析：（1）将已知条件代入可得到关于的方程，从而求得函数解析式，得到函数值；（2）结合已知条件将函数式化简，通过对参数范围的讨论确定函数在区间上的单调性，从而求得最大值。学科网（2）当，时，当时，时，在区间上单调递增，所以； 当时，若，即时，在区间上单调递增，所以； 若，即时，在区间上单调递减，所以； 考点：1求函数解析式与函数求值；2二次函数单调性与最值；3分情况讨论.【变式演练4】已知二次函数的图象过点，且函数是偶函数（1）求的解析式；（2）已知,，求函数在上的最大值和最小值；（3）函数的图象上是否存在这样的点，其横坐标是正整数，纵坐标是一个完全平方数？如果存在，

7、求出这样的点的坐标；如果不存在，请说明理由【答案】（1）；（2） ；（3）函数的图象上存在符合要求的点，它的坐标为【解析】试题分析：（1）函数是偶函数,可知其对称轴为轴由图像平移可知函数的对称轴为,从而可得的值根据函数图像过点可得的值（2）由（）可得的解析式结合函数图像可得函数最值（3）假设存在设为，其中为正整数，为自然数，则变形可得,根据为大于0的偶数,可得的范围,可逐个代入验证学科网试题解析：解：（） 的对称轴方程为， 又的图象过点， ， 的解析式为 （）如果函数的图象上存在符合要求的点，设为，其中为正整数，为自然数，则， （法一）从而， 即 注意到43是质数，且，又，所以只有 ， 解得：

8、因此，函数的图象上存在符合要求的点，它的坐标为（法二）从而的偶数， 的奇数 取验证得，当时符合因此，函数的图象上存在符合要求的点，它的坐标为考点：1函数的奇偶性,最值；2推理论证能力【高考再现】1. 【2016高考浙江文数】已知函数f（x）=x2+bx，则“b0”是“f（f（x）的最小值与f（x）的最小值相等”的（ ）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A考点：充分必要条件.【方法点睛】解题时一定要注意时，是的充分条件，是的必要条件，否则很容易出现错误充分、必要条件的判断即判断命题的真假，在解题中可以根据原命题与其逆否命题进行等价转化2. 【

9、2015高考湖北，文17】a为实数，函数在区间上的最大值记为. 当_时，的值最小.【答案】.【考点定位】本题考查分段函数的最值问题和函数在区间上的最值问题，属高档题. 学科网【名师点睛】将含绝对值的二次函数在区间上的最值问题和分段函数的最值问题融合在一起，运用分类讨论的思想将含绝对值问题转化为分段函数的问题，充分体现了分类讨论和化归转化的数学思想，能较好的考查知识综合能力.其解题的关键是运用分类讨论求出的表达式和分段函数在区间上的最值求法.3. 【2015高考浙江，理18】已知函数，记是在区间上的最大值.（1） 证明：当时，；（2）当，满足，求的最大值.【答案】（1）详见解析；（2）.试题分析

10、：（1）分析题意可知在上单调，从而可知，分类讨论的取值范围即可求解.；（2）分析题意可知，再由可得，即可得证.来源:Z.xx.k.Com【考点定位】1.二次函数的性质；2.分类讨论的数学思想.【名师点睛】本题主要考查了二次函数的性质以及分类讨论的数学思想，属于中档题，以二次函数或指对函数为背景的函数综合题是今年数学考试说明调整之后的热点题型，创新题，亮点问题常源于此，通常会结合函数与方程，不等式，化归，分类讨论的数学思想，数形结合的数学思想等知识点，综合考查学生的逻辑推理能力与运算求解能力，在复习时应予以关注. 学科网4. 【2014江苏，理10】已知函数，若对于任意的都有，则实数的取值范围为

11、 .【答案】【解析】据题意解得【名师点晴】研究函数三个思想1. 等价转换思想：将不等式恒成立，有解问题等价转化为对应函数最值问题2. 数形结合思想：利用函数图像，研究函数性质3. 函数与方程思想：将方程是否有解及实根分布转化为对应函数性质与图像问题【反馈练习】1【 2015-2016学年江苏扬州中学高二下期中文科数学卷，文16】设函数（为实常数）为奇函数，函数当时，对所有的及恒成立，则实数的取值范围_.来源:学*科*网Z*X*X*K【答案】【解析】由（2）得在上的最大值为，即在上恒成立分令， 即 所以考点：（1）函数的奇函数（2）指数函数的性质（3）恒成立问题及函数思想2【 2015-2016

12、学年江苏扬州中学高二下期中数学卷，文14】若与在区间上都是减函数，则实数的取值范围是 _ 【答案】【解析】试题分析：在上递减，则，当时，在和上是增函数，当时，在和上是减函数，题意说明，综上考点：函数的单调性3【2015-2016学年江西金溪一中高一下第二次月考数学卷，理17】已知函数.（1）若关于的不等式的解集是，求实数的值；（2）若，解关于的不等式.【答案】（1），（2）当时，解集为；当时，解集为. 【解析】考点：一元二次不等式的解.4. 【2015-2016学年河北省武邑中学高一下3.20周考数学卷，理17】函数，当时，恒成立，求的取值范围【答案】【解析】试题分析： 将问题转化为：函数在上

13、的最小值大于等于，然后按二次函数的对称轴在区间的左侧，中间及右侧分类讨论求出函数的最小值，即可求得的取值范围试题解析：要使函数，当时恒成立，即函数在上的最小值大于等于又，当时，即时，的最小值为，解得，当时，即时，的最小值为，与矛盾当时，即时，的最小值为，综上得学科网考点：1、二次函数在闭区间上的最值；2、恒成立问题5. 【2015-2016学年山西省大同市一中高一上学期期中数学试卷，理21】已知函数（a1）（1）若的定义域和值域均是，求实数的值；（2）若对任意的，总有，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】试题解析：（1）在上的减函数， 在上单调递减且；（2）若，又，且，对任意的，总有

14、，即 ，解得 ，又， 若，显然成立，综上考点：1二次函数的最值问题；2函数的单调性6. 【2015-2016学年重庆市巴蜀中学高一上期中数学试卷，理19】已知，若函数的定义域（1）求在定义域上的最小值（用表示）；（2）记在定义域上的最大值为，最小值，求的最小值【答案】（1）；（2） 【解析】试题解析：（1） ，所以；（2） ，当时，最小值为，当时，最小值也是，综上，的最小值为学科网考点：二次函数最值.7. 【2015-2016学年广西省柳州铁路一中高一上段考数学试卷，理20】已知二次函数满足且（1）求的解析式；（2）设，求的最大值【答案】（1）；（2）【解析】试题解析：（1）令代入：得：恒成立，又 （2）对称轴为：当时，即：；当时，即：；综上所述：考点：1、复合函数的运算；2、求函数最值8. 【2015-2016学年浙江省平湖市当湖中学高一10月月考数学试卷，理19】设二次，不等式的解集是（1）求； （2）当函数的定义域是时，求函数的最大值【答案】（1）；（2）【解析】试题解析：（1）由三个二次关系可知的根为 ，由根与系数的关系得（2）当 当 当。学科网考点：1三个二次关系；2二次函数单调性与最值；3分情况讨论.专心-专注-专业