2022年中学数学之经典案例.pdf

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1、中学数学之经典案例数学课型模板在义务教育各个学段中,关于数学部分 , 新课程标准安排了“数与代数” “空间与图形”“统计与概率”“实践与综合应用”四个学习领域。高中阶段的数学教学包括 集合与函数 三角函数 不等式数列 复数 排列、组合、二项式定理 立体几何平面解析几何等部分。综合来瞧 ,可以把数学课程模板分成两类,代数与几何。一、代数课程模板(等差数列 (第一节 ) 导入师:零花钱就是大家都很喜欢的,老师每个月上交工资,然后也会收到零花钱。我们都希望零花钱越多越好,但往往不禁花。所以我每个月都会统计自己月初收到的零花钱与月末余下的零花钱。(ppt 展示表格如下) 月份1 2 3 4 5 6 7

2、 收入0 190 200 210 剩余35 30 25 20 15 10 5 思考 1:上述表格中的数据变化反映了什么样的信息？(通过学生喜欢的话题来吸引大家参与教学的兴趣,让同学们自由谈论 ) 师:大家可以瞧到 ,老师的生活多不容易啊 ,零花钱还不如同学们的多。那么现在同学们能用数学文字语言来描述上述数列的特征不？生:第一排月份与第二排收入就是依次变大的数据,第三排剩余就是依次变小的数据。而且每一排后一项与它的前一项的差等于常数(描述精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 10 页

3、- - - - - - - - - - 中学数学之经典案例1)。师:反例:1,3,5,6,12,这样的数列特征与上述数列一样么？生 1:不一样 ,她们之间的差不就是一个常数。生 2:每一项与它的前一项的差等于同一个常数(描述 2)。师:反例:1,3,4,5,6,7,这样的数列特征与上述数列一样么？生 1:不一样,从第二项起往后与上述一样,但第一项第二项之间不符合规律。生 2:从第二项起 ,每一项与它的前一项的差等于同一个常数。(描述 3) (把学生的回答写在黑板上,通过反例的说明 ,让学生深刻的理解这三组数列的共同特征 :1、前后项为同一常数 , 2、从第二项起 ) 新授师:用数学符号语言 :

4、 生 3:na-1na=d 师:等价么？生 4:应加上 (d 就是常数 ) n2,nN* (让学生充分进行讨论 ,注意文字描述与符号描述的严谨性) 师:对式子进行变形可得 :na=1na+d(d 就是常数 ) n2,nN* ,如果我们能跳出 d 的思维定势 ,能得到很多的公式变形。(为今后更好的研究其特征 ,埋下伏笔 ) 师:这样的数列在您日常生活中存在？生 1: 1,3,7,7,9,11, d=1 生 2:10,15,20,25,30,35,40, d=5 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第

5、 2 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 中学数学之经典案例(让学生举例 ,加深对数列的感性认识 ) 师:满足这样特征的数列很多,所以我们有必要为这样的数列取一个名字？生:等差数列(让学生给出数学的定义 ,并有自己的语言进行交流。 当然也允许学生提出 “等加数列”等的说法 ,教师可进行比较 ,差有利于加一加进行消项等) 定义:一般的 ,如果一个数列从第二项起,每一项与前一项的差等于同一个常数 ,那么这个数列就叫等差数列,d 为公差。1a为数列的首项。daa12,daa23,daa34, daann1 (n2,nN*) (对定义进行分析 ,强调:1、同一常数 , 2、从第二

6、项起。同时在学生的举例中改动几个数 ,问学生破坏定义的什么要求,注意对数列概念的严谨性分析。 ) 师: 回到表格中抽象出的3 个数列 ,分别说明她们的公差。d=1 d=10 d=-5 (引导学生发现公差d 对数列的影响 ,当 d0 时数列就是递增 ,当 d0 时数列就是递减 ,当 d=0 时数列就是常数列。 ) 1a2a3a4a5a6a0 190 200 师:见上表 , 请 7 号的同学回答 a7,请 8 号的同学求 a8,请 42 号的同学求a42 师:若能求出数列的通项公式,问题就能较好的解决 ; (再提出问题 ,引导问题进一步发展 ,发现求通项的必要性 ) 精品资料 - - - 欢迎下载

7、 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 中学数学之经典案例生:我们把问题推广到一般情况。若一个数列1a,2a,3a, ,an , 就是等差数列 ,它的公差就是 d,那么数列 an 的通项公式就是什么？方法 1. n=2 daa12n=3 dadaa2123n=4 dadaa3134 dnadaann)1(11当 n=1 时,也成立。(归纳、猜想。培养学生合情推理的能力) 方法 2。daadaadaadaadaann145342312.用叠加得dnaan) 1(1,

8、当 n=1 时,也成立。整理得 : dnaan)1(1nN* (回过来再说明等差的优点,体现用等差概念的优势 ,化繁为简 ,化腐朽为神奇,体现“数学之美” ;并让学生自由的交流 ,进行“再创造” )可推出dnaamn)1(,n、mN* 师:1、对通项公式进行分析 ;通项公式中含有 a1,d,n,an四个量,其中 a1与 d 就是基本量 ,当 a1与 d 确定后 ,通项公式便随之确定 .从已知与未知的角度瞧 ,若已知其中任意三个量的值,即可利用方程的思想求出第四个量的值 (即知三求一 ) 2、dnaamn)1(,n、mN* 挖掘等差数列的函数特征: 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - -

9、 - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 中学数学之经典案例等差数列的通项公式an= a1(n1)d.可表示为 an=dnc(其中 c=a1d,n 属于 N*) 的形式,n 的系数即为公差 .当 d0 时,an 就是定义在自然数集上的一次函数 ,其图象就是一次函数y=dxc(x 属于 R)的图象上的一群孤立的点 .(画图略 ) (在数列的通项公式中 ,每取一个 n,都有唯一一个 an与之对应 ,让学生联系映射的思想 ,挖掘数列的函数特征 ) 巩固: 师: 回到表格中抽象出的4 个数列

10、 ,分别说明她们的通项公式。dnaan)1(1=1+(n-1)=n dnaan)1(1=150+(n-1)*10 dnaan)1(1=35+(n-1)*(-5) 小结:这节课我们一起对生活中常见的一类数据,进行了一次有意义的探索,并总结等差数列的概念求出了等差数列的通项公式,等差数列的定义就是判断一个数列就是否就是等差数列的依据之一,通项公式就是通项 an与项数 n的关系的一种解析表示 ,它从函数与方程两个角度为我们求解问题提供了有力的工具.通过给等差数列下定义及自行探求通项公式,使我们领略了合情推理与逻辑推理在探索、发现知识方面的重要作用.让学生明白“数学来源于生活 ,应用于生活”。作业:等

11、差数列有很多的性质 ,请同学们回去后对等差数列的性质进行研究？在生活中寻找一些数据进行一次探索？(研究性作业 ) 说明:导入与新授之间只要过度自然即可,导入环节不超过 1-2 分钟。上述详案 ,标注括号的部分在试讲过程中,可以根据实际情况与时间不完精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 中学数学之经典案例全说出来。 整个教学过程凸显学生为主体,引导学生“说出“教学过程。板书可以在讲课过程中适当写出,布置作业环节要体现开放性。二、几何课程

12、模板(圆柱的认识 ) 导入师:上节课我们学习了长方体 ,咱们简单的回顾一下。 首先我们教师里面有哪些东西就是正方体长方体,她们有哪些方面的性质？生:长方体的组成 ,就就是长方体有 6个面,12条棱与8个顶点。相对的面的面积相等,相对的棱的长度相等 ,比如教师里面立着的空调就就是一个长方体。师:回答的很好 ,学习几何就是很有意思的 ,它常常与我们的生活联系在一起。再瞧一下老师手里的杯子,大家来描述一下 , 它就是什么形状？生:圆圆的,像个圆筒一样。师:回答的很好 ,现在请大家想一下 ,生活中还有那些物体也就是这种样子的形状？生1:超市里面的灌装可乐。生2:教室里面日光灯灯管。师:很好,您们很善于

13、观察生活。刚刚大家列举的物体,圆筒一样的形状 ,我们称之为圆柱。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 中学数学之经典案例新授请大家拿出学具 ,圆柱体模型 ,观察并想一想圆柱有哪些特征？生1:圆柱有三部分组成 ,两个圆与一个周围的面。生2:两个圆的面积相等 , 生3:圆柱有无数条高。师:您能给大家指一指圆柱的高在哪里不？(学生指 ) 教师划一条侧面上的斜线 ,这就是圆柱的高不？为什么？两个底面圆心的连线就是高不？高有多少条？师:大家的观

14、察很仔细 ,确实圆柱就是由三部分组成的,两个圆与一个曲面 ,并且两个圆的面积相等 ,在圆柱中 ,两个圆叫圆柱的底面 ,曲面叫做圆柱的侧面 ,圆柱有无数条高。 (板书) 师:通过刚才的研究 ,我们知道 :圆柱就是有两个完全一样的圆与一个侧面组成的 ,就是不就是任意两个完全相等的圆与一个侧面就一定能组成圆柱呢？(不就是)我这里有两个大小完全相同的圆与一个侧面 ,她们能不能组成一个圆柱呢？(不能) 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 中学

15、数学之经典案例圆柱的底面与侧面之间又有什么样的关系呢？请大家以小组为单位 ,结合手中的学具进行研究。生1:圆的大小与侧面的粗细一样。师:大家的感觉没错。可就是老师总感觉底面圆与侧面之间的关还不够具体 ,谁有办法能让大家很容易的瞧到它们之间的关系？再次进行小组合作。组1:我们可以把圆柱的侧面剪开,把它展开后就变成了一个长方形。这样它们就都成了平面图形,就容易进行比较了。师:这个小组的同学把侧面展开变成了长方形,就是沿哪里剪开的？ (圆柱的高 )这样就把侧面这一曲面转变成了平面。板书:化曲为直在以前的学习中 ,还有哪些知识也用到了这一方法？生2:学习圆的周长时我们也就是用到了这一思想。生3:学习圆

16、的面积时我们也就是用到了这一思想,把原转化成了近似的长方形。师:大家的想法很有创造力 ,那展开后的长方形与底面圆之间有什么关系？组2:现在长方形的长等于圆柱的底面周长。师:大家把展开的圆柱体再围起来,验证一下这位同学的结果。(学生操作 ) 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 中学数学之经典案例还有其她发现不？生4:长方形的宽等于圆柱的高。师:现在谁能完整地说一说展开后的长方形与圆柱的关系？生5:圆柱的侧面展开后就是一个长方形,长方形

17、的长等于圆柱的底面周长 ,长方形的宽等于圆柱的高。板书: 师:刚才通过大家的努力 ,我们发现了圆柱的基本特征。现在给大家分小组 ,每小组发两张白纸 ,大家自己尝试一下做一个白纸。并测量出自己制作的圆柱的各个数据。组1:我们组就是利用长 62、8厘米求出了底面圆的周长也就是62、8厘米,62、8 3、14 2=10厘米,所以底面圆的半径就是 10厘米。用圆规画出了两个圆。粘起来就做成了一个圆柱。组2:我们就是把 31、 4厘米作为圆柱的底面周长,求出底面半径就是 5厘米,用圆规画出了两个圆做成了圆柱。小结; 请大家把做成的圆柱举起来互相欣赏一下。虽然两个小组精品资料 - - - 欢迎下载 - -

18、 - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 中学数学之经典案例做成的圆柱形状不同 ,但她们都用到了今天所学的圆柱的基本特征:圆柱由两个完全相等的圆与一个侧面围成的,圆柱的侧面展开后就是一个长方形 ,长方形的长等于圆柱的底面周长,长方形的宽等于圆柱的高。练习大家在课堂上面表现的很好,对圆柱模型的研究也很深入,请大家课后在生活中寻找一个圆柱形的物体,并对她的高与底面进行测量 ,想一想 ,如果想知道圆柱的面积 ,可以怎么算。说明:几何课程可以尽量使用模型并结合到实际生活,使课程的设计更有创意。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 10 页 - - - - - - - - - -