2022年中学高三数学二轮复习《数列》学案.pdf

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1、江苏省赣马高级中学2006 届高三第二轮复习数学第19 讲数列的应用学案019 一、考试要求：1能运用等差数列公式解答简单的问题。2能运用等比数列公式解决简单的问题。二 考点扫描1、 数列与其它章节的综合题：数列综合题，包括数列知识和指数函数、对数函数、不等式的知识综合起来，另外，数列知识在复数、三角函数、解析几何等部份也有文泛的应用。2、 数列的控索性问题：探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现，探索性问题对分析问题、解决问题的能力有较高的要求。3、 等差数列和等比数列的综合问题。4、 数列的实际应用：现实生活中涉及到银行利率、企业投金、产品利润、人口增长、工作效率、图形面积、曲线长度

2、等实际问题，常常考虑用数列的知识来加以解决。三、主要方法：1解答数列应用题要注意步骤的规范性：设数列，判断数列，解题完毕要作答；2在归纳或求通项公式时，一定要将项数n计算准确；3在数列类型不易分辨时，要注意归纳递推关系；4在近似计算时，要注意应用对数方法和二项式定理，且要看清题中对近似程度的要求四、小题训练（1）某种细菌在培养过程中, 每隔20分钟分裂一次 ( 一个分裂成二个) 经过3小时这种细菌由一个可繁殖成 _个. （2）一个球应从100米高处自由下落 ,每次着地后又跳回到原高度的一半落下,当它第 10 次着地时 ,共经过了多少米 ? （3）弹子跳棋共有60颗大小相同球形弹子，现在棋盘上将

3、它们叠成正四面体形球垛，使剩下的弹子尽可能的少，那么剩余的弹子共有（） （A）0颗B）4 颗（C）5颗 （D）11颗（4）已知函数)(xf定义在正整数集上，且对于任意的正整数x，都有) 1(2)2(xfxf)(xf，且6)3(,2)1(ff，则)2005(f_。（5） an 为等比数列， bn为等差数列，, 0,02211bababann公差 d0, 公比 q1，则an与bn(n 3) 的大小关系是（）Annab Bnnab Cnnab Dnnab四典型例题例1 。 已 知 数 列an的 前n项 和 为).Ra(n)1a(nS2n设 集 合Nn|)nS,a(Ann,.Ry,x, 1yx41|)

4、y,x(B22(1) 求数列an的通项公式 ; (2) 若以集合A 中的元素作为点的坐标, 则这些点是否都在同一条直线上? 并说明理由 ; (3)“BA至多只有一个元素”是否正确? 如果正确 , 请给予证明 ; 如果不正确 , 请举例说明 . 例 2。 (2005 湖南卷 )已知数列)1(log*2Nnan为等差数列，且.9,331aa（）求数列na的通项公式；（）证明.111112312nnaaaaaa例 3已知数列an为等差列 ,7a215a5. (1) 求数列an的通项公式 ; (2) 设nS是数列an的前 n 项和 ,请比较nS2nS与21nS的大小 . 精品资料 - - - 欢迎下载

5、 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - - - 例 4设数列5,6.naa是等差数列（1）当3353,;nmmaaaaa a时请在数列中找一项使得成等比数列（2）当31212*2,()5,ttan nntnnnNLLLL时若自然数满足使得1235,tnnnaaaaaLL是等比数列，求数列nt的通项公式 . 五、强化训练1等比数列na中，1512a，公比12q，用n表示它前n 项的积：12.nna aa， 则1，2，.n中最大的是（）A 11B 10C 9D 82已知函数22)

6、(xxxf，当11x时，),2)(*1Nnnxfxnn，求数列nx的通项公式2005x。3有四个命题：一个等差数列na中，若存在)(01Nkaakk，则对于任意自然数kn，都有0na；一个等比数列na中，若存在)(0,01Nkaakk，则对于任意kn，都有0na；一个等差数列na中，若存在)(0,01Nkaakk，则对于任意kn，都有0na；一个等比数列na中，若存在自然数k， 使01kkaa， 则对于任意kn， 都有01nnaa，其中正确命题的序号是_。5数列cn的前 n 项和为nT,)21(nc1nn.nN求证 : .4Tn6 已知数列)1(log*2Nnan为等差数列，且.9,331aa

7、证明.111112312nnaaaaaa7已知函数22axx)x(f)0a(. (1) 求)x(f的反函数)x(f1及其定义域; (2) 数列an, , a3a1)Nn()a(fan11n, 设aaaabnnn, 数列bn的前n 项和为nS, 试比较nS与87 的大小 , 并证明结论 .解 : (1) 设) 0a (axxy22, 则22axxy,axxyx2y2222y2ayx22 (1分 ) 0y2) ay)(ay(y2ayy2ayyxy2222,ay或0ya. 所求的反函数是: ,x2ax)x(f221其定义域是 : ax0 xa|x或.(4 分) (2) n22n1na2aaa, .b

8、)aaaa(aa2aaaa2aaaaaab2n2nnn22nn22n1n1n1n(6 分) 又21aa3aa31a1ab, a3a1111, 1n1n22183n42n21nn)21()b(bbbb (8 分) )21()21()21()21(21bbbS1n2842n21n (9 分) 1n1n21n11n1n1nCCC1) 11 (2,则当4n时, 有1n2)2n)(1n()1n(1CC1221n11n1n, (12 分) 1n2)21()21(1n (13 分)21(1 1611614121)21()21()21()21(21S3n1n542n87)21(161873n (14 分) 精

9、品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - - - 湖北省黄冈中学2006 届高三第二轮复习数学第19 讲四、小题训练（1） 错解一 由题意每次分裂数构成等比数列, 公比为2, 共繁殖920180次 , 9a81qa256个 错解二 由题意每次分裂数构成等比数列, 公比为2, 共繁殖920180次,细菌由一个可繁殖成102312121)1(1010110qqaS 正解 由题意知 , 每次分裂细菌数 构 成 等 比 数 列na,11a, 公 比2q, 共

10、 分 裂920180次 , 第9次 应 为10a,5129110qaa( 个)（2） 思维分析 :数列建模过程中， 关键是建立递推关系式， 然而求出na，再结合数列相关性质解题。解：球第一次着地时经过了100米，从这时到球第二次着地时，一上一下共经过了米10021002，因此球第十次着地时共经过的路程为米300211)21(1100100210021002100100100982（3）解析：最上面一层放1 个，设最上一层是第一层，由上而下共有n层，第k层弹子数为) 1(21kk，总弹子数为)2)(1(61)21(21)21(21222nnnnn，由60)2)(1(61nnn得6n，故6n时剩余

11、最小，且剩余4颗。答案： B （4）解析：由)1(2)()2(xfxfxf知函数)(*Nxxf当x从小到大依次取值时对应的一系列函数值组成一个等差数列，)2005(,),3(),1(fff形 成 一 个 首 项 为2， 公 差 为4的 等 差 数 列 ，40104)11003(2)2005(f。答案：4010（5）解析：等比数列nb可以看成关于n 的指数函数，它是凹函数，等差数列na可以看成关于n 一次函数。由于11,ab22ab，相当于图像有两个交点，且最后交点以后，nb图像在na上方，当n3，nnab。选 B 四典型例题 例 1。解 : (1)当1n时, a1a1Sa11 (1 分) 当2

12、n时, )1n)(1a()1n(n)1a(nSSa221nnn2an2 (3 分 )可见 , 当1n时, 满足上式 . 所以 , 数列an的通项公式是)Nn(2an2an(2)由数列an的通项公式是,2an2an可知数列an是等差数列.2)aa(nSn1n2)aa(nn, ).aa(21nSnn点)nS,a(nn的坐标满足方程),ax(21y点)nS,a(nn在直线)ax(21y上. 所 以 , 以 集 合A中 的 元 素 为 坐 标 的 点)nS,a(nn均 在 直 线)ax(21y上(3) 由4y4x)ax(21y22, 消 去y, 得4aax22 当0a时 , 方 程 无 解 , 此 时

13、 , ;BA当0a时 , 方程只有一个解,a24ax2此时方程组也只有一个解, 即a44aya2a4x22故上述方程组至多有一解 , 所以BA至多有一个元素例2 。 （I ）解：设等差 数列)1(log2na的公差为d. 由, 8log2log)2(log29,322231daa得即 d=1. 所 以,)1(1)1(log2nnan即.12nna（II）证明因为nnnnnaaa2121111，所以nnnaaaaaa2121212111132112312.1211211212121nn例3解: (1)设公差为d, 由已知可得 : ,2d, 5a1所以等差数列an的通项公式为 ; .3n2an (

14、4 分) (2) an的前 n 项和为,n4nS2n (6 分) 22222221n2nn)5n()1n()6n)(2n)(4n(n)1n(4) 1n()2n(4)2n)(n4n(SSS)25n10n)(1n2n()24n10n)(n2n(2222(10 分) 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - - - ,0n2n1n2n22,024n10n25n10n22, 11n2nn2n22, 125n10n24n10n221SSS21n2nn.SSS

15、21n2nn (12 分) 例 4 （1）设53633,2 ,22公差为则由得nadaadd由22353593,3 3(3)6 ,9,;2即解得即成等比数列ma aammaaa 6 分(2)533552,6,2,5,(5)24,2naaaadnaandnQ当时8 分又1235,nnaaaa，,成等比数列tnaL55363,32tntaqaaa则，1,2,3,.tL10 分1524,2436 3 ,22 34,ttntttttannan又即132,ttn1, 2,3t，五、强化训练1 C2解：由22)(,)(1xxxfxxfnn， 得2211nnnxxx，即1122nnnnxxxx, 21111

16、nnxx , 所以，数列1nx是以首项111x，公差为21的等差数列。2121) 1(111ndnxxn, 12nxn，100311200522005x。3。 5解析 : 设想把nT的值转化成4 减去一个正数，则可以利用函数值域求解。1n2n)21(n)21(32121Tn32n)21(n)21(3)21(221T21得,)21(n211211)21(n)21()21()21(211T21nnn1n32n1144( )2( ) .22nnnTn可见，1144( )2( )22nnnTn取值一定小于4，故.4Tn6 解：设等差数列)1(log2na的公差为d. 由, 8log2log)2(log

17、29, 322231daa得即 d=1. 所以,) 1(1) 1(log2nnan即.12nna因为nnnnnaaa2121111，所以nnnaaaaaa2121212111132112312.1211211212121nn湖北省黄冈中学2006 届高三第二轮复习数学第20 讲1 （ 1）证明：由已知可得na确定后，1na表示如下：1na=na%16)1(%)41(na即1na=80%na+16%=54na+254（ 2） 解： 由1na=54na+254可得：1na54=54（na54） = （54）2（1na54） =)54()54(1an故有1na=54)54(21n，若1na.53则有

18、54)54(21n.53即1)54(21n两边同时取对数可得) 12lg3)(1()5lg2lg2)(1(2lgnn故412lg312lgn，故使得上式成立的最小*Nn为 5，故最少需要经过5 年的努力，才能使全县的绿化率达到60%. 2解： （1）因为A型车2006年关税税款为2001年关税税款的%25，故所减少了的关税税款为24%7532（万元）。所以，2006年A型车的价格为402464（万元）。因 为 在2006年B型 车 的 价 格 不 高 于A型 车 价 格 的%90， 所 以 有 ：B型 车 价 格36%9040（万元）。因为2001年B型车的价格为46万元，故五年中至少要降价1

19、0万元。所以平均每年至少降价2万元。（2）根据题意，2001年存入的33万元5年后到期时连本带息可得5%)811(33（万元）。因为0769236%)81(10%815133%)811(3325（万元），所以够买一辆（ 1）中所述降价后的B型汽车。3解： （1）1114800800(1)800(1)40001 ( ) 555nnnaL 1)45(1600)411(400)411(4004001nnbn（2）50nabnn，至少经过 5 年。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - - -