拉普拉斯变换及在线性系统的应用(共21页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上本科生毕业论文拉普拉斯变换及在线性系统的应用 院 系 数学与统计学院专 业 数学与应用数学班 级 2007级本科3班学 号 学 生 姓 名 联 系 方 式 指 导 教 师职称 讲师 助教2011年 4月 独 创 性 声 明本人郑重声明：所呈交的毕业论文是本人在指导老师指导下取得的研究成果.除了文中特别加以注释和致谢的地方外,论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果.与本研究成果相关的所有人所做出的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意.签名： 年月日授权声明本人完全了解许昌学院有关保留、使用本科生毕业论文的规定,即：有权保留并向国家有关部门或机构送交毕业论文

2、的复印件和磁盘,允许毕业论文被查阅和借阅.本人授权许昌学院可以将毕业论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索,可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编论文.本人论文中有原创性数据需要保密的部分为（无） 签名： 年月日指导教师签名： 年月日摘 要本文由拉普拉斯变换的一些基础知识入手,介绍了拉普拉斯变换的概念,定理.归纳总结了它的一些性质及关于各性质的证明和用法.重点讨论了如何用拉普拉斯变换解常系数线性微分方程（组）,总结出象原函数的几种求解方法,以及不同的方法适合使用的情况等.另外还简单介绍了拉普拉斯变换在工程学中的一些线性系统的应用,其中包括在动态电路系统和电力系统的应用.关键词：拉普拉

3、斯变换；常系数微分方程；线性系统ABSTRACTThis paper is about the basic knowledge of the Laplace Transform. It contains the concept of Laplace Transform, theorems,summarizes some of its properties and the nature of the proof and usage.It discusses hou to use the Laplace Transform to solve Linear Differential Equation

4、s (group). And it sums up a variety of solutions of the original function, whats more,the different methods are used in different situations. And it also introduces the Laplace transform of some linear systems engineering applications, including dynamic circuit system and electrical system.Keywords:

5、 Laplace transform; Constant coefficient differential equations; Linear system 目 录专心-专注-专业拉普拉斯变换及在线性系统的应用1 引言 拉普拉斯(Laplace)变换（简称拉氏变换）是在对傅立叶(Fourier)变换改进的基础上发展起来的.我们知道傅氏变换是建立在傅氏积分的基础上,一个函数除了要满足狄氏条件外,还要在上绝对可积.这是一个相当强的条件,即使一些简单的函数如线性函数,三角函数都能不满足.另外,在工程实际问题中,许多以时间t作为作为自变量的函数在时是无意义的,为解决上述问题,拉普拉斯变换就应运而生.

6、拉氏变换在傅氏变换的基础上引入了衰减指数函数和单位阶跃函数,从而放宽了对函数的限制,也使之更适合工程实际.所以拉氏变换就既继承了傅立叶变换的许多好的性质,又克服了傅立叶变换的一些不足之处,它的应用性更强.拉普拉斯变换是比傅立叶变换应用更为广泛的一种积分变换.本文从白艳萍,雷英杰等编写的复变函数与积分变换中提炼了拉氏变换的概念,参考了冯复科编写的复变函数与积分变换和李红,谢松法编写的复变函数与积分变换总结出拉氏变换的存在性定理,周期函数的拉氏变换及拉氏逆变换,反演公式等.从上面的用到的书籍以及金忆丹,尹永成编写的复变函数及拉普拉斯变换中归纳出拉氏变换常用的八条性质等.大部分性质有对应的简单证明及

7、用法例题.由拉氏变换和傅氏变换的关系导出的反演积分公式,原则上讲是一种求拉氏逆变换的通用方法.但对于求一些复杂的象原函数,我们可根据具体情况,充分利用拉氏变换的各种性质,选择适合的简便的算法.通常是将象函数分解为一些基本函数的相加或相乘,再利用拉氏变换的各种性质,并结合这些基本函数的原函数,求出总的象原函数.论文后半部分则主要简单介绍了拉普拉斯变换的一些应用.拉普拉斯变换是高等数学及一些物理系统研究中的一个非常重要的变换.作为一种数学工具可以使有关运算得以简化.首先从数学角度来看,拉氏变换是求解常系数线性微分方程的重要方法,应用变换解常变量齐次,可以将微分方程化为代数方程,使问题得以解决,并且

8、分析计算都变得简单和有效.其次在上,拉普拉斯变换是研究线性定常系统的基本工具.在物理学中有很多线性系统,如电路系统、动力系统等的研究,可以归结为求常系数线性微分方程的初值问题.而拉普拉斯变换提供了求解初值问题的一种简便方法.所以说它是研究工程实际问题中线性系统的有力工具.本文参考了近期的一些科研论文,仅从数学角度分析了拉普拉斯变换在求解微分方程,在复杂的线性动态电路及动力系统等线性系统的一些简单的应用.2 拉普拉斯变换的理论基础2.1拉普拉斯变换与拉普拉斯逆变换的定义设函数在时有定义,若广义积分对参变量在某一区间D内收敛,则此广义积分在区域D内定义了一个复变函数, ， （1）称复变函数为函数的

9、拉普拉斯变换,记为 ， （2）函数成为的Laplace逆变换,记为,和构成了一对拉普拉斯变换对,其中,称为变换的象函数,而称为变换的象原函数.从象函数求它的象原函数的一般公式：（拉普拉斯逆变换的一般公式）,我们说拉普拉斯变换是由傅里叶变换转化而来的,那么它们之间又有怎样的联系呢？由（1）式,我们有可见函数的拉氏变换就是的傅氏变换.其大致思路就是：首先通过单位阶跃函数使函数在的部分充零；其次对函数在的部分乘上一个衰减的指数函数以降低其“增长”速度,这样就可使函数满足傅氏积分条件,即可进行积分.另外,我们一般约定：在拉氏变换中所提到的函数均理解为当时取零值.例 1 求单位阶跃函数及函数的拉氏变换（

10、为常实数且）.解 根据拉氏变换的定义,有 .例 2 正弦函数的（为常数）Laplace变换.解 根据拉氏变换的公式,有从上面的例子我们已经看出拉氏变换的确扩大了傅氏变换的使用范围,但到底那类函数存在拉氏变换呢？也就是说,相对于傅氏变换的条件,拉氏变换存在的条件要弱的多,但一个函数的拉氏变换的存在,还是要具备一些条件的.定理 1（拉普拉斯变换的存在定理） 若函数满足下列条件：在的任何有限区间上分段连续.随着t的增大,即时,函数的增大,不比某个指数函数快,即存在常数和,使得.则的拉普拉斯变换在半平面上一定存在.常见的大部分函数都是满足的,如常值函数,单位阶跃函数,三角函数,指数函数及幂函数等.他它

11、们虽不满足在上绝对可积的条件,但它们的增大却不超过指数级.而函数则不满足,因为无论取多大的M和c,对足够大的t,总会出现,其拉氏变换不存在. 值得注意的是,拉氏变换的存在定理的条件是充分的,但不是必要的.定理 2 周期函数的拉氏变换设是以T为周期的周期函数,即,且在各周期上分段连续,则有 证 令,则可得 2.2 拉普拉斯变换的性质(1)线性性质若是常数,则 ,.这个性质表明函数线性组合的拉氏变换等于函数拉氏变换的线性组合.拉氏的逆变换也一样.例 1 求的拉氏变换.解 由及,有同理可得 .（2）相似性质对于任一常数有 .证 （3）位移性质若则有（）或 ,（为常数）.证 由拉氏变换的定义 这个性质

12、反映了平移函数的像可由未平移函数的像乘以表示,平移函数的原像可通过未平移函数的原像乘以因子表示.例 2 已知,求.解 由拉氏变换的线性性质, 而 , ,由位移的性质可知 ,及 ,所以 .（4）微分性质 像原函数的微分性质若则证 根据拉氏变换的定义和分部积分法,得推论 若为象原函数,则拉氏变换的这一推论可以用来求解微分方程（组）的初值问题.例 3 求解微分方程 解 对方程两边取拉氏变换,并利用线性性质及上面推论有其中,代入初值即得根据上边例题结果,有 像函数的微分性质一般的有 证 由有（5）积分性质 像原函数的积分性质若 则 一般的有 .像函数的积分性质一般的有 .证 设则由微分性质从而 并且由

13、得两边取,则有这是一个求形如的积分的一个重要方法.这种形式的积分用数学分析中的积分方法很难找到解,但用拉氏变换的方法就简单多了,我们来看下面的例子.例 4 求解 而因此（6）延迟性质若又时,则对于任一实数,有或证 由定义有令 , 有 必须注意的是本性质中对的要求,即当时.此时在时为零.(7)卷积性质按照卷积的定义,两个函数的卷积是指如果与满足当时,则有所以在拉普拉斯变换中有显然,上式满足交换律,结合律,与对加法的分配律.若设,则存在,且 或 .这个性质表明：两个函数卷积的拉氏变换等于这两个函数拉氏变换的乘积.卷积性质可以推广到多个函数的情形.利用卷积性质可以求一些函数的逆变换.在拉氏变换中,卷

14、积性质起着十分重要的作用.例 5 已知,求.解 由于,故有（8）初值定理与终值定理初值定理若,且存在,则或.终值定理若,且存在,则或.由上面的这些性质及例题,我们可以看出,利用拉氏变换的这些基本性质,可使积分变得简单,从而使拉氏变换的应用更为广泛.2.3 拉普拉斯逆变换与反演积分公式我们知道运用拉氏变换求解具体实际问题时,常常需要由像函数求出像原函数.从前面的讨论,我们已经知道可以利用拉氏变换的性质并根据一些已知的变换来求像原函数,下面我们介绍一种更一般性的方法,它直接用像函数表示出像原函数,即所谓的反演积分,再利用留数求出像原函数.由上文,若,则,且,由拉氏逆变换的定义,所以.时,解得,令,

15、则有,. 这就是求拉氏逆变换的一般公式,通常称作拉氏反演公式. 右端的积分称作拉氏反演积分. 拉氏反演积分是一个复变函数的积分,计算通常比较困难.但当满足一定条件,可以用留数来计算.若有有限个奇点适当选取,使得这些奇点全在的范围内,且当时,则有,即 ,.例 1 已知,求.解法一 利用部分分式求解. 对进行分解可得,由于 , ,故.解法二 利用卷积求解.设,则.又由于,根据卷积性质有解法三 利用留数求解.由于,分别为像函数的简单极点与二阶极点,应用留数定理及留数计算法则有求解函数像函数或者像原函数的方法可能很多,例如利用卷积定理,部分分式反演积分还有留数定理等,这几种方法都各自有各自的优缺点,我

16、们要根据实际情况,选择合适的拉氏变换或性质定理.有时还可以利用拉氏变换的基本性质.以上的这些方法除了留数理论的情况外,都需要知道一些最基本的拉氏变换的象函数的象想函数.此外还可以用查表的方法,简化计算.3 拉氏变换的应用3.1 利用拉普拉斯变换解微分方程积分方程（组）许多工程实际问题可以用微分方程来描述,拉氏变换对求解微分方程非常有效,这是拉普拉斯变换的一个最基本的应用.含有未知数及其各阶导数方程称为微分方程.如果未知数及其各阶导数都是一次的,则称之为线性微分方程.线性微分方程常常被用来描述各种各样的动态系统,这个我们下文会提到.应用拉普拉斯变换求解常系数微分方程,其求解方法大致为以下二个步骤

17、：（1）和利用傅氏变换求解微分方程一样,根据拉氏变换的线性性质和微分性质等,对原微分方程两端取拉普拉斯变换,同时结合其初始条件,将原常系数微分方程通过拉普拉斯变换转化为关于象函数的代数方程.（2）求解象函数满足的代数方程,得到象函数.再对求得的象函数做拉氏逆变换,得原方程之解.例 1 求方程的满足初始条件的解.解 对方程两边施行拉普拉斯变换得,由此得,把上式右端分解成部分,对上式右端各项分别求出(查表)其原函数,则它们的和就是x(s)的原函数,这就是所要求的解应用拉普拉斯变换求积分方程.例 2 解积分方程.解 解此方程要用到拉普拉斯变换的卷积性质.令,则,故,于是.例 3 求解微分方程组 解

18、令对方程两边取拉式变换,并应用初始条件得求解得 ,取拉氏逆变换得原方程组的解为综上,我们可以得到用拉普拉斯变换法解微分或者积分方程的以下几个优点：求解过程规范,便于在工程技术中使用；当初始条件全部为0时(这在工程中常遇到),用拉普拉斯变换求解就会变得简单,而用经典的方法求解不会那么简单；当方程中的非齐次项(在工程中称为输入函数)具有跳跃点而不可微时,用经典的方法求解是很困难的,而用拉普拉斯变换不会带来任何困难；在实际计算中可以用拉普拉斯变换表来求一些函数的像函数,这就使得求解方程变得更加方便. 3.2 利用拉普拉斯变换求解实变量的广义积分对于一些含参变量的广义积分, 一些通行的数学分析教材中很

19、难甚至无法求出它们的解.但是我们可以通过引进参变量L,使其成为t的函数,再利用取拉普拉斯变换的方法,并使参变量t取某些特殊值,确定出积分的值. 该方法简便易行,能够顺利的求解. 如对于某些含参变量的广义积分而言,像(前面已经求解过的)等,在一般的数学分析教材中,利用积分号下求导以及交换积分次序来计算含参变量的广义积分,对此该方法很难求解,但如果把含参变量的广义积分取拉普拉斯变换,再通过拉普拉斯逆变换,就可以较方便地解决此类问题.例 1 计算积分.解 设取拉普拉斯变换并交换积分次序,得取拉斯逆变换,即 .3.3 拉普拉斯变换在复杂线性动态电路的应用线性动态电路是包含线性动态元件的线性电路.因为线

20、性动态元件的元件约束方程是电压或电流变量与它们的导数或微分间的关系式,一般采用拉普拉斯变换法来分析复杂的线性动态电路.复杂线性动态电路是指动态元件多,动态元件具有初始储能,激励复杂的线性动态电路.复杂线性动态电路的电压电流关系是用高阶微分方程描述的.拉氏变换将高阶线性常微分方程变换为容易处理的线性多项式方程,并将电压和电流变量的初始值自动引入到多项式方程中,这样,在变换过程中,初始条件的处理就成为变换的一部分,因此拉普拉斯变换是求解高阶微分方程,分析复杂线性动态电路的有效工具.应用拉普拉斯变换法分析复杂线性动态电路,并不是简单的应用拉氏变换求解高阶线性常微分方程,而是把拉氏变换溶入到动态电路的

21、分析方法中.图(1)所示是一个RLC串联电路,图中,R=800,L=200H,C=lO00,u(t)= (t)V, =1V,i()=2mA,求(t)电压.根据电路的元件约束和结构约束,即在RLC电路中,根据基尔霍夫定理,其中 ,则响应与激励的关系为.本题可以写出描述出图(1)所示电路电压电流关系的二阶微分方程(t)(3).对(3)式进行拉普拉斯变换可以得到对应的复频域方程(4).通过(4)式可以解得待求响应的象函数,此象函数的反拉普拉斯变换就是图(1)所示电路的待求响应(t) . 图（1）我们还可以根据拉氏变换的线性性质直接写出电路KVL方程的复频域形式(5).将电阻、电感、电容元件约束方程的

22、复频域形式、代入(5)式得 （6）整理(4)式得方程(7),(7)式与(4)式是同一复频域方程,可见这种方法同样可以应用于分析复杂线性动态电路.拉普拉斯变换法是数学工具在电路分析中的应用.对分析动态电路具有重要意义,它的变换域法思想对分析其它问题也具有重要意义.3.4 拉普拉斯变换在动力系统中的应用从文章上部分我们看到,用拉普拉斯变换求解常系数线性微分方程初值问题的解非常简便,对于向量函数的拉普拉斯变换,当一般的自治系统（9）为常系数线性系统时,运用拉普拉斯变换求解该问题它无需先求出已知系统的通解,而是先通过拉普拉斯变换将已知系统化为代数系统,求出代数系统的解,再通过拉普拉斯逆变换,便可得到所

23、求初值问题的解然而,根据拉普拉斯变换的定义及其性质,我们仅能求得初始条件为=0时的初值问题的解在此,我们给出利用拉普拉斯变换求解常系数线性自治系统 (10) (其中,)满足在任意点的初值条件(11)的解的方法以及利用拉普拉斯变换求其通解的方法 定义 设向量函数它的每个分量都满足拉普拉斯变换存在性定理的条件(i=l,2,n),定义： 引理1 自治系统(1)的解(积分曲线)具有平移不变性即：若X=X(t)为系统(1)的一个解,则对于任意常数,函数X=X(t+)也是系统(1)的解 另外,将自治系统(1)的满足初值条件(2)的解记为,我们有下面的结论：引理2 自治系统(1)的解的一个平移也是系统(1)

24、的解,并且二者恒等事实上,由引理1,两者皆为系统(1)的解,又满足同样的初值条件,由初值问题解的存在与唯一性定理知上面两个解为同一个解.利用拉普拉斯变换求解常系数数线性自治系统在零点的初值问题考虑初值问题其中,设系统(1)的解为,由引理, =,这样,我们便将初值点平移到了点,于是可用拉普拉斯变换求解该初值问题如下：令（其中,）则,系统两边同时取拉普拉斯变换,得到关于,即以为自变量的方程组,从中可以解出再取拉普拉斯逆变换,便得到所求系统初值问题的解看一个简单的例子例 1 求解系统的满足初始条件的解解 首先转化初值条件,设系统满足初始条件的解为,由引理, ,令,（其中）,在系统(6)的两边同时取拉

25、普拉斯变换,得 解之得 再取拉普拉斯的逆变换,得变量还原,得所求系统初值问题的解为4.小结本文先介绍了拉普拉斯变换的概念,定理等基础理论知识,概括了它的基本性质用法等,并简单讨论了拉氏变换在求解常系数线性微分方程及在一些线性系统的应用.拉普拉斯变换是高等数学及一些物理系统研究中的一个非常重要的变换.作为一种数学工具可以使有关运算得以简化,同时也是研究工程实际问题中线性系统的有力工具.在物理学中有很多线性系统,如电路系统、动力系统等的研究,可以归结为求常系数线性微分方程的初值问题.而拉氏变换提供了求解初值问题的一种简便方法,因此拉氏变换在各种线性系统理论分析中的应用十分广泛.本文仅从数学角度简单

26、分析了拉氏变换在求解微分方程,信号系统,动力系统,分析高阶动态电路的应用.总之,拉普拉斯变换是进行线性系统分析的一种方便、快捷的有效方法另外,拉氏变换的最重要贡献之一,则是从理论上建立了微积分算子的基础,在此就不详述了.参考文献1 白艳萍,雷英杰,杨明.复变函数与积分变换M 北京：国防工业出版社 ,2006.2冯复科. 复变函数与积分变换M北京：科学出版社 ,2008.3李红,谢松法. 复变函数与积分变换M北京：高等教育出版社 ,2008.4王振芳.拉普拉斯变换及其应用J.雁北师范学院学报 2001 17(6) ：48-495王高雄,周之铭,朱恩铭,王寿松常微分方程(第三版)M北京：高等教育出

27、版社,2006. 6金忆丹,尹永成.复变函数与拉普拉斯变换M浙江：浙江大学出版社,2003.7黄会芸.拉普拉斯变换的应用J.保山师专学报 2009 28(5) ：17-188李曼生,陈莉. 拉普拉斯变换在求解微分方程中的应用J.2006 19（3）：6-89李瀚荪简明电路分析基础M北京：高等教育出版社,2002.10牛皖闽,佟亮,李诚,赵肖宇.关于应用拉普拉斯变换分析复杂线性动态电路的探讨J. 绥化学院学报 2006 26(6) ：173-17411李连忠,何乐亮,李晓雯.拉普拉斯变换在动力系统中的一个应用J.山东师范大学学报(自然科学版),2009 24(3) ：123-124致 谢本文是在

28、指导老师的精心指导下完成的.非常感谢我的指导老师翟根芳老师和邹科发老师对我学习上循循善诱的教导以及给予我的帮助他们严谨治学的态度、丰富的知识、诲人不倦的精神都给我留下了深刻的印象,是我学习的榜样.在他们的指导下,不仅使我掌握了如何去学习,如何去科学的思考和研究问题,还使我明白了许多为人处世的道理本文凝结着翟老师和邹老师辛勤的汗水,从开始的论文选题及后来的完善定稿,翟老师和邹老师都给予了我悉心的指导,并且在百忙之中对论文进行了详细的批阅和校对同时感谢数学与统计学院的领导和老师四年来对我的教育与培养；感谢在一起愉快度过大学生活的师兄弟妹,舍友以及所有的同学特别感谢我的室友和我的家人,在我的学习和生活上给予我的关爱、理解和帮助