第21章-一元二次方程导学案(共28页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上 21.1 一元二次方程 主备人： 审核：九年级数学组 时间： 班级 姓名 学习目标：1、会根据具体问题列出一元二次方程，体会方程的模型思想，提高归纳、 分析的能力。2、 理解一元二次方程的概念；知道一元二次方程的一般形式；会把一个一元二次方 程化为一般形式；会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。教学过程：一、探究新知：自学课本2页问题1、问题2（列方程、整理后与课本对照），并完成下列各题：问题1可列方程： 整理得 问题2可列方程： 整理得 1、4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长.2、一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长.3、

2、把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长x；观察上述三个方程以及两个方程的结构特征，类比一元一次方程的定义，自己试着归纳出一元二次方程的定义：【我学会了】1、只含有 个未知数，并且未知数的最高次数是 ，这样的 方程，叫做一元二次方程。2、一元二次方程的一般形式： ,其中 是二次项， 是一次项， 是常数项， 是二次项系数 ， 是一次项系数。 3、一元二次方程的解也叫做一元二次方程的_，即使一元二次方程等号左右两边相等的_的值。展示反馈： 1、判断下列方程是否为一元二次方程。 (6)2x(3x-5)=6x2+4【自主探究】例 将方程 (8-2x)(5

3、-2x) =18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项 1、将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数。 （1） （2）2、若关于的一元二次方程的常数项为0，求的值是多少？3、判断下列方程后面所给出的数，那些是方程的解；（1） 1 2；（2） 2， 4【巩固练习】1、下面哪些数是方程的根？3、2、1、0、1、2、3、2、一个三角形两边长分别为3 cm和7 cm，第三边长a cm，且整数a满足a210a210，求三角形的周长【归纳小结】1、本节课我们学习了哪些知识？2、学习过程中用了哪些数学方法？3、确定一元二次方程的项及系

4、数时要注意什么？【达标测评】1、判断下列方程是否是一元二次方程;（1）（ ）（2） ( )(3) （ ） (4) ( ) 2、将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：（1）3x2x=2； （2）7x3=2x2;（3） (2x1)3x(x2)=0 （4）2x(x1)=3(x5)4.3、 若关于x的方程（m+3）+（m5）x+5=0是一元二次方程，试求m的值，并计算这个方程的各项系数之和4、初中同学聚会，如果参加聚会的有x个人，每两人之间都握一次手，共握了21次手，请你列出符合上述条件的方程，并判断方程是什么类型？5、已知关于x的方程(k2-1)x2+

5、kx-1=0为一元二次方程，则k .6、已知关于x的一元二次方程有一个解是0，求m的值。7、已知a是方程x22 x3=0的一个根，求代数式3 a26 a3的值。【延展提高】1、已知关于的方程（1）m为何值时，此方程是一元一次方程？并求出此时方程的解；（2）m为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项。2、若是关于的方程的根，则的值为（ ）A1 B2 C1 D23、若m是方程x2x10的根，则式子m32m22 009的值为()A. 2 007 B. 2 008 C. 2 009 D. 2 0104、已知，是一元二次方程x22x30的两个根，那么(222)(

6、 221)_.5、已知关于x的方程x2bxa0有一个根是a(a0)，则ab的值为()A B0 C1 D26、已知实数a是一元二次方程的解，求代数式的值.7、求证：关于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程 教学反思：教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历将实际问题转化为数学问题，体会数学建模的思想方法. 21.2.1直接开平方法 主备人： 审核：九年级数学组 时间： 班级 姓名 学习目标：1、初步掌握用直接开平方法解一元二次方程，会用直接开平方法解形如=p(p0)或（mx+n）=p(p 0)的方程2、理解一元二次方程解法的基本思想及其与一元

7、一次方程的联系，体会两者之间相互比较和转化的思想方法；3、能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性。导学流程： 一、自主探索自学课本P5完成下列各题：解下列方程：（1）x220; （2）16x2250. （3）（x1）240； （4）12（2x）290.总结归纳：如果方程能化成=p或（mx+n）=p(p 0)（即未知数的一次整式的完全平方等于非负常数）形式，则可用直接开平方法解之 。达标测评：1、解下列方程：（1）x2169； （2）45x20； （3）x212=0 （4）x22=0（5）2x23=0 （6）3x2=0（7）12y2250； （8）（9） （10）x2+4x+3=0（11）x2

8、6x=9 （12）x2+2x=1 21.2.1、配方法主备人： 审核：九年级数学组 时间： 班级 姓名 学习目标：1、掌握用配方法解数字系数的一元二次方程；2、理解解方程中的程序化，体会化归思想。教学过程：1、 精讲点拨：我们把方程x2+6x160变形为(x+3)225，它的左边是一个含有未知数的_ _式，右边是一个_ _常数.这样，就能应用直接开平方的方法求解.这种解一元二次方程的方法叫做配方法.练一练 ：配方.填空：（1）x26x（ ）（x ）2； （2）x28x（ ）（x ）2；（3）x2x（ ）（x ）2；(4)( )=4( )2=从这些练习中你发现了什么特点?(1)_(2)_2、自主

9、学习：自学P6p9的内容合作交流；配方法解一元二次方程 用配方法解下列方程：（1）x26x70； （2）x23x10.解（1）移项，得x26x_.方程左边配方，得x22x3_27_，即 （_ _）2_ _. x3_ _.原方程的解是x1_，x2_.（2）移项，得x23x1.方程左边配方，得x23x（ ）21_，即 _所以 _原方程的解是： x1_x2_总结规律用配方法解二次项系数是1的一元二次方程？有哪些步骤？(移项 配方 分解因式 直接开平方 得解)注：配方时方程两边同时加上一次项系数 的 。深入探究（用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程） 例题：用配方法解方程： 解：将二次项系数化为1

10、得： 移项得： 配方得： 分解因式得： 直接开平方得： 原方程的解是x1_，x2_点评：用配方法解一元二次方程的一般步骤是：(将二次项系数化为1 移项 配方 分解因式 直接开平方 得解)用配方法解下列方程：（1） （2） 达标测评：用配方法解方程：1、x28x20 2、x25x60. 3. x(x+4)=8x+12 4、x2pxq0(p24q0). 5、 2x+12x+10=0 6、2x2x=6 拓展提高 已知代数式x25x+7,先用配方法说明，不论x取何值，这个代数式的值总是正数；再求出当x取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？ 21.2.2、公式法主备人： 审核：九年级数学组 时间：

11、 班级 姓名 学习目标:1、经历推导求根公式的过程，加强推理技能训练，进一步发展逻辑思维能力；2、会用公式法解简单系数的一元二次方程；3进一步体验类比、转化、降次的数学思想方法。教学过程：复习提问：1、用配方法解一元二次方程的步骤有哪些？ 2、用配方法解方程3x26x8=0;3、你能用配方法解下列方程吗？请你和同桌讨论一下. ax2bxc0(a0).推导公式 用配方法解一元二次方程ax2bxc0(a0).因为a0，方程两边都除以a，得_0.移项，得 x2x_，配方，得 x2x_,即 (_) 2_因为 a0，所以4 a20，当b24 ac0时，直接开平方，得 _.所以 x_ 即x_由以上研究的结

12、果，得到了一元二次方程ax2 bxc0的求根公式：精讲点拨：利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数a、b、c的值，直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法.合作交流b24 ac为什么一定要强调它不小于0呢？如果它小于0会出现什么情况呢？展示反馈 当b24ac0时，方程有 个 的实数根；（填相等或不相等） 当b24ac0时，方程有 个 的实数根x1x2 ； 当b24ac0时，方程 实数根.巩固练习1、做一做：(1)方程2x3x+1=0中，a=（ ）,b=（ ）,c=（ ）(2)方程(2x1)=4中，a=（ ）,b=（ ）,c=（ ）.(3)方程3x2x+4=0中，=（ ）,则该一元二次方

13、程（ ）实数根。(4)不解方程，判断方程x4x+4=0的根的情况。深入探究：自学P11页例6，完成下列特别各题：应用公式法解下列方程:(1)、2x2x60； (2)、x24x2；(3)、5x24x120； (4)、4x24x1018x. 达标测评（A）1、应用公式法解方程：(1) x26x10； (2)2x2x6；(3)4x23x1x2； (4)3x(x3) 2(x1) (x1).（5）（x2）（x+5）8； （6）（x1）22（x1）. 21.2.3 因式分解法主备人： 审核：九年级数学组 时间： 班级 姓名 学习目标：1会用因式分解法（提公因式法、公式法）法解某些简单的数字系数的一元二次方

14、程。2能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性。教学过程：1：知识准备将下列各题因式分解(1)am+bm+cm= ; (2)a2b2= ; (3)a22ab+b2= (4)= 因式分解的方法： 解下列方程（1）2x2+x=0（用配方法） （2）3x2+6x=0（用公式法）2：探究仔细观察方程特征，除配方法或公式法，你能找到其它的解法吗？3、归纳：（1）对于一元二次方程，先因式分解使方程化为_ _的形式，再使_，从而实现_ _，这种解法叫做_。（2）如果，那么或，这是因式分解法的根据。如：如果，那么或_，即或_。练习：说出下列方程的根：（1） （2）例题、用因

15、式分解法解下列方程： (1) x24x=0 (2) 4x249=0 (3)x2+1=2x (4) 对应练习：用因式分解法解下列方程(1) （2）(2x1)2=(3x)2（3） (4)课堂小结：因式分解法解一元二次方程的一般步骤（1） 将方程右边化为 （2） 将方程左边分解成两个一次因式的 （3） 令每个因式分别为 ，得两个一元一次方程（4） 解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解【达标测试】1方程的根是 2方程的根是_3已知y=x26x+9，当x=_时，y的值为0；当x=_时，y的值等于94若关于x的一元二次方程的根分别为5，7，则该方程可以为（ ） A（x+5）（x7）=0 B（x5）

16、（x+7）=0C（x+5）（x+7）=0 D（x5）（x7）=05方程（x+4）（x5）=1的根为（ ） Ax=4 Bx=5 Cx1=4，x2=5 D以上结论都不对10、用因式分解法解下列方程：(1) (2) (3) (4) （5）(x4)2=(52x)2 (6) 21.2解一元二次方程 主备人： 审核：九年级数学组 时间： 班级 姓名 学习目标：1、理解并掌握用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元一次方程的方法2、选择合适的方法解一元二次方程【预习准备】一、梳理知识1、解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程，即降次2、一元二次方程主要有四种解法，它们的理论根据和适用范围

17、如下表：方法名称理论根据适用方程的形式直接开平方法配方法公式法因式分解法3、一般考虑选择方法的顺序是：二、用适当的方法解下列方程：1. 2. 3、X（x2）+X2=0 4. 5、5x22X =x22X+ 6. 【课堂活动】 典型例题1用直接开方法解方程： （2）2用因式分解法解方程： （2） 3用配方法解方程： 4用公式法解方程： （2） 活动3：课堂小结解一元一次方程的方法： 【课后巩固】用适当方法解方程： （5） （6） （7） （8） 实际问题与一元二次方程(1) 主备人： 审核：九年级数学组 时间： 班级 姓名 学习目标: 1、掌握用“倍数关系”建立数学模型，并利用它解决一些具体问题

18、2、掌握建立数学模型以解决增长率与降低率问题。 学习过程： 一、知识回顾：列一元一次方程解应用题的步骤？ 二、探索新知 探究1: 有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?分析: 设每轮传染中平均一个人传染了个人，则第一轮后有 人患了流感，第二轮传染了 人 解:设每轮传染中平均一个人传染了个人,由题意得： 整理得： 解之得： ， 经检验：= 不符合题意，应舍去答:每轮传染中平均一个人传染了 个人.思考:按照这样的传染速度,三轮传染后有多少人患流感? 小结：通过对这个问题的探究,你对类似的传播问题中的数量关系有新的认识吗?巩固练习.1.某种植物的主干长

19、出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干,支干和小分支的总数是91,每个支干长出多少小分支? 2.要组织一场篮球联赛, 每两队之间都赛2场,计划安排90场比赛,应邀请多少个球队参加比赛?探究2 两年前生产 1吨甲种药品的成本是5000元,生产1吨乙种药品的成本是6000元,随着生产技术的进步,现在生产 1吨甲种药品的成本是3000元,生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大? 算一算:乙种药品成本的年平均下降率是多少? 比较:两种药品成本的年平均下降率。 思考：经过计算,你能得出什么结论?成本下降额较大的药品,它的成本下降率一定也较大吗 ?应怎样全面地比

20、较对象的变化状况?小结：类似地 这种增长率的问题在实际生活普遍存在,有一定的模式若平均增长(或降低)百分率为x,增长(或降低)前的是a,增长(或降低)n次后的量是b,则它们的数量关系可表示为 巩固练习（列出方程） 1、某林场现有木材a立方米，预计在今后两年内年平均增长p%，那么两年后该林场有木材多少立方米?2、某化工厂今年一月份生产化工原料15万吨，通过优化管理，产量逐年上升，第一季度共生产化工原料60万吨，设二、三月份平均增长的百分率相同，均为x，可列出方程为四、 课堂练习：一、选择题12005年一月份越南发生禽流感的养鸡场100家，后来二、三月份新发生禽流感的养鸡场共250家，设二、三月份

21、平均每月禽流感的感染率为x，依题意列出的方程是（ ） A100（1+x）2=250 B100（1+x）+100（1+x）2=250 C100（1x）2=250 D100（1+x）22一台电视机成本价为a元，销售价比成本价增加25%，因库存积压，所以就按销售价的70%出售，那么每台售价为（ ） A（1+25%）（1+70%）a元 B70%（1+25%）a元 C（1+25%）（170%）a元 D（1+25%+70%）a元二、填空题1某农户的粮食产量，平均每年的增长率为x，第一年的产量为6万kg，第二年的产量为_kg，第三年的产量为_，三年总产量为_2某糖厂2002年食糖产量为at，如果在以后两年平

22、均增长的百分率为x，那么预计2004年的产量将是_3我国政府为了解决老百姓看病难的问题，决定下调药品价格，某种药品在1999年涨价30%后，2001年降价70%至a元，则这种药品在1999年涨价前价格是_归纳小结：列一元二次方程解一元二次方程的一般步骤？ 六、达标检测：1、 某种细菌，一个细菌经过两轮繁殖后，共有256个细菌，每轮繁殖中平均一个细菌繁殖了多少个细菌？2、公司2001年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率 实际问题与一元二次方程(2) 主备人： 审核：九年级数学组 时间： 班级 姓名 学习目标

23、： 1、掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题 2、掌握建立数学模型以解决如何全面地比较几个对象的变化状况的问题 学习过程：一、复习引入三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、菱形及圆的面积公式 ？ 二、探索新知问题1：如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（精确到0.1cm）？思考： (1)本题中有哪些数量关系？ （2）正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形如何理解？ （3）如何利用已知的数量关系选取未知数

24、并列出方程？（4）你有几种解法？解法一：设上下边衬宽均为9xcm,左右边衬宽均为7xcm,则有：解法二:设正中央的矩形两边分别为9xcm，7xcm。 练习：某林场计划修一条长750m，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.6m2，上口宽比渠深多2m，渠底比渠深多0.4m （1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？ （2）如果计划每天挖土48m3，需要多少天才能把这条渠道挖完？ 备选题(某小区规划在一个长为40米、宽为26米的矩形场地上修建三条同样宽度的马路，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种草.若使每一块草坪的面积都是144，求马路的宽.) 问题2：某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺

25、年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100张，商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元? 分析：总利润=每件平均利润总件数设每张贺年卡应降价x元，则每件平均利润应是 元，总件数应是 解：设每张贺年卡应降价x元 练习： 新华商场销售甲、乙两种冰箱，甲种冰箱每台进货价为2500元，市场调研表明：当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台乙种冰箱每台进货价为2000元，市场调研表明：当销售价为2600元时，平均每天

26、能售出12台；而当销售价每涨价25元时，平均每天就能少售出4台，商场要想使这两种冰箱的销售利润平均每天均达到5000元，那么两种冰箱的定价应各是多少元？ 三、课堂检测 （一）、选择题1直角三角形两条直角边的和为7，面积为6，则斜边为（ ） A B5 C D72有两块木板，第一块长是宽的2倍，第二块的长比第一块的长少2m，宽是第一块宽的3倍，已知第二块木板的面积比第一块大108m2，这两块木板的长和宽分别是（ ） A第一块木板长18m，宽9m，第二块木板长16m，宽27m; B第一块木板长12m，宽6m，第二块木板长10m，宽18m; C第一块木板长9m，宽4.5m，第二块木板长7m，宽13.5

27、m; D以上都不对3从正方形铁片，截去2cm宽的一条长方形，余下的面积是48cm2，则原来的正方形铁片的面积是（ ） A8cm B64cm C8cm2 D64cm2 4某果园有100棵桃树，一棵桃树平均结1000个桃子，现准备多种一些桃树以提高产量，试验发现，每多种一棵桃树，每棵桃树的产量就会减少2个，如果要使产量增加15.2%，那么应多种多少棵桃树? 22.2.4一元二次方程根与系数的关系（1） 主备人： 审核：九年级数学组 时间： 班级 姓名 学习目标：1理解并掌握根与系数关系：， ； 2会用根的判别式及根与系数关系解题.学习过程：一）自我完成：阅读教材P15 16页 ,并完成下列练习。1

28、、(1)一元二次方程的一般式： （2）一元二次方程的求根公式： 2、探究1：完成下列表格方 程25x2+3x10=03 问题：你发现什么规律？ 用语言叙述你发现的规律；. 将（x x1）（xx2）=0 化为一般形式 x2( x1 +x2)x+ x1 x2=0与x2+px+ q=0 对比, 易知: p= ， q= 。 二）小组讨论：探究2：完成下列表格方 程2x23x2=0213x24x+1=01问题：上面发现的结论在这里成立吗？用语言叙述发现的规律： ax2+bx+c=0的两根,用式子表示你发现的规律。x1+x2= x1x2=利用求根公式推到根与系数的关系（韦达定理）ax2+bx+c=0的两根

29、 = , = = = 三）学以致用：例1、根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程的两根和与两根积：（1） （2） （3）例2、已知方程的一个根是3，求另一根及K的值。练习：课本16页习题四） 课堂小结：通过本节课的学习你有什么收获？五）、学习内容达标检测1若方程(a0)的两根为，, 则= = 2 方程则= = 3 若方程 的一个根2，则它的另一个根为 p= 4 已知方程的一个根1，则它的另一根是 m= 5 若0和3是方程的两根，则p+q= 6若方程的两根中只有一个为0，那么 （ ）A. p=q=0 B. P=0,q0 C. p0,q=0 D. p0, q0）7、不解方程，求下列方程的两根

30、和与两根积：（1）x25x10=0 （2）2x2+7x+1=0 （3）3x21=2x+5 （4）x（x1）=3x+7六、 学习内容反思：22.2.4一元二次方程根与系数的关系（2）学习目标：1、掌握根与系数关系：， ； 2、会用根的判别式及根与系数关系解题.学习内容：【典型例题讲练】1.已知一元二次方程的一个根，求出另一个根以及字母系数的值. 1.已知方程x26x+m22m+5=0一个根为2，求另一个根及m的值. 解：2.判别一元二次方程两根的符号. 2.不解方程，判别2x2+3x7=0两根的符号情况. 【变式1】当m为什么实数时，关于x的二次方程mx22(m+1)x+m1=0的两个根都是正数

31、. 【变式2】k为何值时，方程2(k+1)x2+4kx+3k2=0（1） 两根互为相反数； （2）两根互为倒数；（3）有一根为零，另一根不为零.3.根的关系，确定方程系中字母的取值范围或取值. 3. 关于x的一元二次方程x23x+k+1=0的两根的平方和小于5，求k的取值范围. 【变式1】已知：方程x2+2(m2)x+m2+4=0有两个实数根，且这两个根的平方和比两根的积大21，求m的值. 【变式2】设与是方程x27mx+4m2=0的两个实数根，且(1)(1)=3，求m的值4 求关于根的对称式的值 5 在关于一元二次方程的根x1与x2的式子中，如果交换这两个字母的位置后式子不变(我们常把这种式子叫做对称式)，就可以通过恒等变形，转化为用x1+x2与x1x2表达的式子，从而可以利用根与系数的关系解决6 如 +，(1+x1)(1+x2)都是对称式，它们可以变形为用x1+x2与x1x2表达的式子，7 如 (1+x1)(1+x2)=1+(x1+x2)+x1x2，8 +=(x1+x2)22x1x2，等9 4 ， .如果与是方程2x2+4x+1=0的两个实数根，求的值 10 【变式】已知与是方程3x2x2=0的两个实数根，求代数式的值