2017年高考数学全国卷1理科数学试题全部解析(共27页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上2017 年普通高等学校招生全国统一考试（全国 I 卷）理科数学注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、 选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。x1. 已知集合 A x x 1 ，B x 3 1 ，则（）A A B x x 0 B A B RC A B x x

2、1 D A B【答案】 Ax【解析】 A x x 1 ， B x 3 1 x x 0 A B x x 0 ， A B x x 1 ，选 A2. 如图，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图 .正方形内切圆中的黑色部分和白色部分位于正方形的中心成中心对称， 在正方形内随机取一点， 则此点取自黑色部分的概率是（）A14B8C12D4【答案】 B【解析】 设正方形边长为 2，则圆半径为 1则正方形的面积为 2 2 4，圆的面积为2 1 ，图中黑色部分的概率为2则此点取自黑色部分的概率为 24 8故选 B1专心-专注-专业3. 设有下面四个命题（）1p ：若复数 z 满足1zR ，则 z R

3、；p ：若复数 z 满足z2 R ，则 z R ；2p ：若复数3z ，z 满足z z R ，则1 2 1 2z z ；1 2p ：若复数 z R ，则 z R 4A p1 ，p3 Bp ，p C1 4p ，p D2 3p ，p2 4【答案】 B1 1 a bi【解析】 p1 :设 z a bi ，则 2 2z a bi a bR ，得到 b 0 ，所以 z R .故P 正确；1p2 : 若 z2 1 ，满足z R ，而 z i ，不满足z R ，故 p2 不正确；2 2p3 : 若z 1，1z 2，则 z1z2 2 ，满足z1z2 R ，而它们实部不相等，不是共轭复2数，故 p3 不正确；p

4、4 : 实数没有虚部，所以它的共轭复数是它本身，也属于实数，故p 正确；44. 记Sn 为等差数列an 的前 n 项和，若a4 a5 24，S6 48 ，则 an 的公差为（）A1 B2 C4 D8【答案】 C【解析】 a4 a5 a1 3d a1 4d 246 5S 6a d 486 12联立求得2a 7d 2416a 15d 481 得 21 15 d 2436d 24d 4选C5. 函数 f x 在 ， 单调递减， 且为奇函数 若 f 1 1，则满足1 f x 2 1 的x 的取值范围是（）A 2，2 B 1，1 C 0 ，4 D 1，3【答案】 D【解析】 因为 f x 为奇函数，所以

5、 f 1 f 1 1 ，于是 1 f x 2 1等价于 f 1 f x 2 f 1 |又 f x 在 ， 单调递减1 x 2 11 x 3 故选D26.11 1 x2x6展开式中2x 的系数为A15 B 20 C30 D35【答案】 C.【解析】1 16 6 61+ 1 x 1 1 x 1 x2 2x x对61 x 的2x 项系数为26 5C 1562对12x1 x6的2x 项系数为4C =15 ，62x 的系数为 15 15 30故选 C7. 某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为 2 ，俯视图为等腰直角三角形、该多面体的各个面中有若干是梯

6、形，这些梯形的面积之和为A10 B12 C14 D16【答案】 B【解析】 由三视图可画出立体图该立体图平面内只有两个相同的梯形的面S梯2 4 2 2 6S全梯6 2 12故选 Bn n8. 右面程序框图是为了求出满足 3 2 1000的最小偶数 n ，那么在 和 两个空白框中，可以分别填入3A A 1000 和 n n 1 B A 1000 和 n n 2C A 1000 和 n n 1 D A 1000 和 n n 2【答案】 D【答案】 因为要求 A 大于 1000 时输出，且框图中在“否”时输出“ ”中不能输入A 1000排除 A、B又要求 n为偶数，且 n 初始值为 0，“ ”中 n

7、 依次加 2 可保证其为偶故选D29. 已知曲线 C1 : y cos x ， 2C : y sin 2x ，则下面结论正确的是（）3A把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线 C26B把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变， 再把得到的曲线向左平移12个单位长度，得到曲线C2C把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的个单位长度，得到曲线 C212倍， 纵坐标不变， 再把得到的曲线向右平移6D把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的 2 倍，纵坐标不变， 再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线 C212【答案】 D【解析

8、】C y x ， 2 : sin 21 : cos C y x23首先曲线C 、1C 统一为一三角函数名，可将2C1 : y cos x 用诱导公式处理 y cos x cos x sin x 横坐标变换需将1变成2 ，2 2 24即1 C 上各 坐 短它原 点横标缩 来1y sin x y sin 2x sin 2 x22 2 4 2 y sin 2x sin 2 x 3 3注意 的系数，在右平移需将 2 提到括号外面，这时x 平移至4 x ， 3根据“左加右减”原则，“x ”到“4x ”需加上3，即再向左平移121210. 已知 F 为抛物线 C ：2y x 的交点，过F 作两条互相垂直

9、l1 ，l2 ，直线 l1 与 C 交于 A、4B 两点，直线 l2 与 C 交于 D ， E 两点， AB DE 的最小值为（）A 16 B 14 C 12 D10【答案】 A【解析】设AB 倾斜角为 作 AK1 垂直准线， AK2 垂直 x 轴AF cos GF AK（几何关系） 1易知AK AF1（抛物线特性） P PGP P 2 2 AF cos P AF同理PAF ，1 cosBFP1 cos 2P 2P AB 2 2 1 cos sin又 DE 与 AB垂直，即 DE 的倾斜角为2DE2sin2P 2P2 cos2而2y x ，即 P 2 41 1AB DE 2P 2 2sin c

10、os42 2sin cos2 2sin cos42 2sin cos1442sin 216 2sin 2 16 ，当取等号4即 AB DE 最小值为 16 ，故选A511. 设 x ， y ， z 为正数，且 2 3 5x y z，则（）A 2x 3y 5z B 5z 2x 3y C 3y 5z 2xD 3y 2x 5z【答案】 D【答案】 取对数： xln 2 y ln3 ln5 .x ln3 3y ln 2 2 2x 3yx ln2 zln5则xzln5 5ln 2 2 2x 5z 3y 2x 5z，故选D12. 几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件，为激发大家学习数学的兴趣，

11、他们推出了 “解数学题获取软件激活码”的活动， 这款软件的激活码为下面数学问题的答案： 已知数列 1, 1, 2 , 1, 2 , 4 , 1, 2 , 4 , 8 , 1, 2 , 4 , 8 , 16 ， ，其中第一项是20 ，接下来的两项是20 ，2 ，在接下来的三项式2 ，1 62 ，12 ，依次类推，求满足如下条件2的最小整数 N ： N 100 且该数列的前 N 项和为 2的整数幂那么该款软件的激活码是（ ）A 440 B 330 C 220 D110【答案】 A【解析】 设首项为第 1 组，接下来两项为第 2 组，再接下来三项为第 3 组，以此类推n 1 n设第 n 组的项数为

12、n ，则 n 组的项数和为2由题， N 100 ，令n 1 n2100 n 14 且*n N ，即 N 出现在第 13 组之后第 n 组的和为n1 21 2n2 1n 组总共的和为n2 1 21 2nn 2 2 n若要使前 N 项和为 2 的整数幂，则n 1 nk 应与2 n 互为相反N 项的和2 12数即k n k N ，n *2 1 2 14k log n 32 n 29，k 5则N29 1 2925 440故选A二、 填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13. 已知向量 a ， b 的夹角为 60 ， a 2 ， b 1 ，则 a 2b _6【答案】 2 3【解析】2

13、 22a 2b (a 2b) a 2 a 2b cos60 2 b22 1 22 2 2 2 224 4 4 12 a 2b 12 2 3x 2 y 114. 设 x ， y 满足约束条件2x y 1 x y 0，则 z 3x 2y 的最小值为 _【答案】 5x 2 y 12x y 1不等式组 表示的平面区域如图所示x y 0yA Bx 1Cx+2 y-1=02x+y+1=0由 z 3x 2 y 得3 zy x ，2 2求 z 的最小值，即求直线3 zy x 的纵截距的最大值 2 2当直线3 zy x 过图中点 A 时，纵截距最大2 2由2x y 1x 2 y 1解得 A 点坐标为 ( 1,1

14、)，此时 z 3 ( 1) 2 1 515. 已知双曲线 C : 2 2x y 2 2a b，（ a 0 ，b 0 ）的右顶点为 A，以 A为圆心， b 为半径作圆 A，圆 A与双曲线 C 的一条渐近线交于 M ， N 两点，若 MAN 60 ，则 C 的离心率为_2 3【答案】3【解析】 如图，7OA a ， AN AM b MAN 60 ， 3AP b，22 2 2 3 2OP OA PA a b4tanAPOP32b32 2a b 4又 tanba，3b22 23a b4ba，解得2 3 2a be2b1 12a1 2 33 316. 如图，圆形纸片的圆心为 O，半径为 5 cm ，该纸

15、片上的等边三角形 ABC 的中心为 O ，D 、E 、F 为元 O 上的点， DBC ，ECA，FAB 分别是一 BC ，CA ， AB为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以 BC ，CA ， AB为折痕折起 DBC ，ECA，FAB ，使得 D ，E ， F 重合，得到三棱锥当 ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：3cm ）的最大值为 _【答案】 4 15【解析】 由题，连接 OD ，交 BC 与点 G ，由题， OD BC3OG BC ，即 OG 的长度与 BC 的长度或成正比6设OG x ，则 BC 2 3x， DG 5 x三棱锥的高 h DG 2 OG2 25 10x x2

16、x 25 10x12S 2 3 3x 3 3xABC2则12V S h 3x 25 10xABC34 5= 3 25x 10x8令4 5f x 25x 10x ，5x (0, ) ，23 4f x 100 x 50x令 f x 0 ，即 x4 2x3 0 ， x 2则f x f 2 80则V 3 80 45体积最大值为 4 15 cm3三、 解答题： 共 70 分。解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤。 第 17-21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。17. ABC 的内角 A， B ， C 的对边分别为 a，

17、b ， c ，已知 ABC 的面积为 （1）求 sin Bsin C ；2a3sinA（2）若 6cos B cos C 1 ， a 3 ，求 ABC 的周长【解析】 本题主要考查三角函数及其变换，正弦定理，余弦定理等基础知识的综合应用.（1） ABC 面积S2a3sinA.且1S bc sin A 22 1a3sin A 2bc sin A2 3 2a bc sin A2由正弦定理得2 3 2sin A sin Bsin C sin A ，2由 sin A 0得 2sin B sin C . 3（2）由（ 1）得 2sin Bsin C ， 3cos B cosC16 A B C cos A

18、 cos B C cos B C sin BsinC cos B cosC12又 A 0， A 60 ， sin 3A ，2cos A12由余弦定理得2 2 2a b c bc 9 a由正弦定理得 b sin B sin Aa， c sin C sin A92abc 2 sin Bsin C 8 sin A由 得 b c 33a b c 3 33，即 ABC 周长为 3 3318. （12 分）如图，在四棱锥 P ABCD 中， AB CD 中，且 BAP CDP 90 （1）证明：平面 PAB 平面 PAD ；（2）若 PA PD AB DC ， APD 90 ，求二面角 A PB C 的余

19、弦值【解析】 （1）证明： BAP CDP 90 PA AB ， PD CD又 AB CD ， PD AB又 PD PA P ， PD 、 PA 平面 PAD AB 平面 PAD ，又 AB 平面 PAB平面 PAB 平面 PAD（2）取 AD 中点 O ， BC 中点 E ，连接 PO ， OE AB CD四边形 ABCD 为平行四边形OE AB由（1）知， AB 平面 PADOE 平面 PAD ，又 PO 、 AD 平面 PADOE PO ，OE AD又 PA PD ， PO AD PO 、OE 、 AD 两两垂直以 O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 O xyz设 PA 2 ，

20、 D 2 ，0 ，0 、 B 2 ，2 ，0 、 P 0，0， 2 、C 2 ，2，0 ， PD 2 ，0 ， 2 、 PB 2 ，2， 2 、 BC 2 2 ，0，0设n x , y , z 为平面 PBC 的法向量n PB 0 2x 2y 2z 0 由 ，得n BC 0 2 2x 0令 y 1，则 z 2 ， x 0 ，可得平面 PBC 的一个法向量 n 0 ,1 , 2 APD 90 ， PD PA又知 AB 平面 PAD ， PD 平面 PAD PD AB ，又 PA AB A PD 平面 PAB10即 PD 是平面 PAB 的一个法向量， PD 2 , 0 , 2cos PD , n

21、PD nPD n2 32 3 3由图知二面角 A PB C 为钝角，所以它的余弦值为3319. （12 分）为了抽检某种零件的一条生产线的生产过程，实验员每天从该生产线上随机抽取 16 个零件，并测量其尺寸（单位： cm ）根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布2N ， （1）假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在 3 ， 3之外的零件数，求 P X 1 及 X 的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在 3 ， 3 之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查（I）试说明上

22、述监控生产过程方法的合理性：（II）下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸：9.95 1 0. 1 29.96 9. 9 610.01 9.92 9. 9 8 1 0. 0 410.26 9.91 1 0. 1 310.02 9.22 10.04 10.05 9. 9 516经计算得x x 9.97，ii 116 161 12 2 2s x x x 16x 0.212 ，其中 xi 为i i16 16i 1 i 1抽取的第 i 个零件的尺寸， i 1，2， ，16 用样本平均数 x 作为 的估计值 ?，用样本标准差s作为 的估计值 ? ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查，剔

23、除 ? 3 ?， ? 3 ? 之外的数据，用剩下的数据估计 和 （精确到 0.01）附：若随机变量 Z 服从正态分布2N ， ,则P 3 Z 3 0.997 4 160.997 4 0.9592 ， 0.008 0.09【解析】 （1） 由题可知尺寸落在 3 ， 3 之内的概率为 0.9974，落在3 ， 3 之外的概率为 0.0026P X00 160 C 1 0.9974 0.9974 0.959216P X 1 1 P X 0 1 0.9592 0.0408由题可知 X B 16，0.0026E X 16 0.0026 0.0416（2）（ i ）尺寸落在 3 ， 3 之外的概率为 0.

24、0026，由正态分布知尺寸落在 3 ， 3 之外为小概率事件，因此上述监控生产过程的方法合理（ii ）3 9.97 3 0.212 9.3343 9.97 3 0.212 10.6063 ， 3 9.334，10.6061120. 9.334，10.606 ， 需对当天的生产过程检查因此剔除 9.22剔除数据之后：9.96 16 9.221510.2722 2 2 2 2 9.95 10.02 10.12 10.02 9.96 10.02 9.96 10.02 10.01 10.022 2 2 2 2 9.92 10.02 9.98 10.02 10.04 10.02 10.26 10.02

25、9.91 10.022 2 2 2 20.998 10.02 10.02 10.02 10.04 10.02 10.05 10.02 9.95 10.02 1150.80.8 0.0920. （12 分） 2 2x y已知椭圆 C ： 2 2 1 a ba b 0 ，四点3P1 1，1 ，P2 0，1 ，P3 1， ，P4 1，232中恰有三点在椭圆 C 上（1）求 C 的方程；（2）设直线l 不经过 P2 点且与 C 相交于 A、 B 两点，若直线P2 A 与直线P2 B 的斜率的和为 1，证明： l 过定点【解析】 （1）根据椭圆对称性，必过 P3 、P4又P 横坐标为 1，椭圆必不过4P

26、 ，所以过1P ，P ，P 三点2 3 43P 0，1 ，P 1， 代入椭圆方程得 将 2 3212b13，解得 a2 4 ，2 1b1 4 12 2a b椭圆 C 的方程为：2x42 1y （2） 当斜率不存在时，设 :l x m，A m，y ，B m， yA Ak k P A P B 2 2y 1 y 1 2A Am m m1得 m 2 ，此时 l 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足 当斜率存在时，设 l y kx b b 1A x ，y ，B x ，y1 1 2 2y kx b联立2 4 2 4 0x y，整理得2 2 21 4k x 8kbx 4b 4 08kbx x1 2 21

27、4k，24b 4x x1 2 21 4kk k则P A P B2 2y 1 y 11 2x x1 2x kx b x x kx b x2 1 2 1 2 1x x1 2122 28kb 8k 8kb 8kb21 4k24b 421 4k8k b 14 b 1 b 11，又 b 1b 2k 1，此时 64k ，存在 k 使得 0成立直线 l 的方程为 y kx 2k 1当 x 2 时， y 1所以 l 过定点 2 ， 1 21. （12 分）已知函数2 x xf x ae a 2 e x （1）讨论 f x 的单调性；（2）若 f x 有两个零点，求 a的取值范围【解析】 （1）由于2 x xf

28、 x ae a 2 e x故2x x x xf x 2ae a 2 e 1 ae 1 2e 1x x当 a 0 时， e 1 0a ， 2e 1 0从而 f x 0 恒成立f x 在 R 上单调递减当 a 0 时，令 f x 0，从而 aex 1 0 ，得 x ln a x ， ln a ln a ln a ，fx 0f x 单调减 极小值 单调增综上，当 a 0 时， f (x) 在 R 上单调递减；当a 0 时， f (x) 在( , ln a) 上单调递减，在 ( ln a, ) 上单调递增（2）由（ 1）知，当a 0时， f x 在 R 上单调减，故 f x 在 R 上至多一个零点，不

29、满足条件当a 0时，1f f ln a 1 ln amina令1g a 1 ln aa令1g a 1 ln a a 0 a1 1g a 0，则 2a a从而 g a 在 0， 上单调增，而 g 1 0 故当 0 a 1时，g a 0 当 a 1时 g a 0 当 a 1时 g a 01若a 1，则 f min 1 ln a g a 0a，故 f x 0 恒成立，从而 f x 无零点，不满足条件1若a 1，则 minf 1 ln a 0a条件，故 f x 0 仅有一个实根 x lna 0 ，不满足1若0 a 1，则 fmin 1 ln a 0aa a 2，注意到 ln a 0 2f 1 1 0

30、e e e13故 f x 在 1， ln a 上有一个实根，而又3 1ln 1 ln ln aa a且3 33 ln 1 ln 1 3a af ln( 1) e a e a 2 ln 1 a a3 3 3 3 1 3 a a 2 ln 1 1 ln 1 0a a a a故 f x 在3ln a ，ln 1 上有一个实根a又 f x 在 ， ln a 上单调减，在 ln a， 单调增，故 f x 在 R 上至多两个实根又 f x 在 1， ln a 及3， 上均至少有一个实数根，故 f x 在 Rln a ln 1a上恰有两个实根综上， 0 a 1 （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、

31、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22. 选修 4-4：坐标系与参考方程 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为xy3cossin，（ 为参数），直线 l 的参数方程为x a 4t，y 1 t（t 为参数）（1）若 a 1，求 C 与 l 的交点坐标；（2）若 C 上的点到 l 距离的最大值为 17 ，求 a 【解析】 （1） a 1时，直线 l 的方程为 x 4y 3 0 曲线 C 的标准方程是2x92 1y ，x 4 y 3 02x92y1，解得：xy30或xy21252425联立方程 ，则C 与 l 交点坐标是 3，0 和21 24，25 25（2）直线

32、l 一般式方程是 x 4y 4 a 0 设曲线 C 上点 p 3cos ，sin 则 P 到 l 距离5sin 4 a3cos 4sin 4 ad ，其中17 17tan34依题意得： d 17 ，解得 a 16或 a 8max1423. 选修4-5：不等式选讲已知函数2 4 1 1f x x ax ，g x x x （1）当 a 1时，求不等式 f x g x 的解集；（2）若不等式 f x g x 的解集包含 1，1 ，求 a 的取值范围【解析】 （1）当 a 1时，2 4f x x x ，是开口向下，对称轴1x 的二次函数22 1x，xg x x 1 x 1 2， 1 x 1，2x，x 1当 x (1, ) 时，令x2 x 4 2x，解得x17 12g x 在 1， 上单调递增， f x 在 1， 上单调递减17 1此时 f x g x 解集为1， 2当 x 1，1 时， g x 2 ， f x f 1 2 当 x ， 1 时， g x 单调递减， f x 单调递增，且g 1 f 1 2 综上所述， f x g x 解集 17 11， 2（2）依题意得： x2 ax 4 2 在 1，1 恒成立即 x2 ax 2 0 在 1，1 恒成立21 a 1 2 0则只须21 a 1 2 0，解出： 1 a 1故 a 取值范围是 1，1 15