圆心角弧弦弦心距之间的关系(共21页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上2圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系教学目标1使学生理解圆的旋转不变性，理解圆心角、弦心距的概念；2使学生掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系定理及推论，并初步学会运用这些关系解决有关问题；3培养学生观察、分析、归纳的能力，向学生渗透旋转变换的思想及由特殊到一般的认识规律教学重点和难点重点;圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系； 难点;从圆的旋转不变性出发，推出圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系2圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系一、创设情景，引入新课圆是轴对称图形圆的这一性质，帮助我们解决了圆的许多问题今天我们再来一起研究一下圆还有哪些特性1动态演示，发现规律图7

2、47，并动态显示：平行四边形绕对角线交点O旋转180后(1)结果怎样？(2)这样的图形叫做什么图形？图748，并动态显示：O绕圆心O旋转180，归纳出：圆是以圆心为对称中心的中心对称图形让学生观察发现什么结论？得出：不论绕圆心旋转多少度，都能够和原来的图形重合进一步演示，让圆绕着圆心旋转任意角度，知识点一、圆的旋转不变性于是归纳总结，得出圆所特有的性质：圆的旋转不变性即圆绕圆心旋转任意一个角度，都能够与原来的图形重合知识点二、弧、弦、圆心角的关系1.圆心角定义如图所示，AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角(central angle),从圆心到弦的距离叫做弦心距2.定理：在同圆或

3、等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等已知；在O中求证；3.推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等要点诠释：(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征.(2)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.4推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等 注意：要正确理解和使用圆心角定理及推论。 （1）不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，若没有这一条件虽然圆心角相等，但所对的弧、弦、弦心距不一定

4、相等。 距也不相切。 （2）要结合图形深刻理解圆心角、弧、弦、弦心距这四个概念与“所对”一词的含义，从而正确运用上述关系。 下面举四个错例： 这两个结论都是错误，首先CE、FD不是弦，CEA、BFD不是圆心角，就不可以用圆心角定理推论证明。 （3）同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，同时在本定理和推论中的“弧”是指同为劣弧或优弧，一般选择劣弧。 （4）在具体运用定理或推论解决问题时可根据需要，选择有关部分，比如“等弧所对的圆心角相等”，在“同圆中，相等的弦所对的劣弧相等”等。 5. 1的弧：因为同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成360份，我们把每一份这样的弧叫做1

5、的弧。 一般地，n的圆心角对着n的弧，n的弧对着n的圆心角，也就是说，圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。注意：这里说的相等是指角的度数与弧的度数相等。而不是角与弧相等，在书写时要防止出现“”之类的错误。因为角与弧是两个不能比较变量的概念。相等的弧一定是相同度数的弧，但相同度数的弧却不一定是相等的弧。6. 圆中弧、圆心角、弦、弦心距的不等关系 （1）在同圆或等圆中，如果弦不等，那么弦心距也就不等，大弦的弦心距较小，小弦的弦心距反而大，反之弦心距较小时，则弦较大。 当弦为圆中的最大弦（直径）时，弦心距缩小为零；当弦逐步缩小时，趋近于零时，弦心距逐步增大，趋近于半径。 （2）在同圆或等圆中，如果弧

6、不等，那么弧所对的弦、圆心角也不等，且大弧所对的圆心角较大，反之也成立。 注意：不能认为大弧所对的弦也较大，只有当弧是劣弧时，这一命题才能成立，半圆对的弦最大，当弧为优弧时，弧越大，对的弦越短。 7. 辅助线方法小结： （1）有弦的中点时，常连弦心距，进而可利用垂径定理或圆心角、弦、弧、弦心距关系定理；另外，证明两弦相等也常作弦心距。 （2）在计算弧的度数时，或有等弧的条件时，或证等弧时，常作弧所对的圆心角。 （3）有弧的中点或证弧的中点时，常有以下几种引辅助线的方法： （I）连过弧中点的半径；（II）连等弧对的弦；（III）作等弧所对的圆心角。规律方法指导圆是平面几何知识中接触到的唯一的曲线

7、形，因此它在研究问题的方法上与直线形有很大的不同，所以在学习这部分知识时要注意这个问题.另外，这一章的概念和定理较多，学习时要注意阶段性的小结，巩固每一阶段的知识.由于本章要经常用到前面学过的许多知识，综合性较强，所以要不怕困难，才能学好本章.【典型例题1】 例1. 已知：如图，在O中，弦AB、CD的延长线交于P点，PO平分APC。 求证：（1）ABCD；（2）PAPC 分析：要证明两弦相等，可利用弧、圆心角、弦心距之中的一种相等来证，由于已知角平分线PO过圆心，利用弦心距相等可以解决。 证明：（1）过O点作OMAB于M，ONCD于N PO平分APC OMON ABCD（在同圆中，相等的弦心距

8、所对的弦相等） 此题还有几种变式图形，道理是一样的。 变式1 弦AB、DC的交点在圆上，即B、P、D三点重合。 若PO平分APC，求证：PAPC。 变式2 弦AB、CD交于P点（P点在圆内） PO平分APC，求证：ABCD。 此题还可将题设与结论交换一下，即已知ABCD，求证：PO平分APC，证法与上面一样，利用弦心距等。 （2）在RtPOM和RtPON中， 即PAPC 例2. 如图，在O中，AB2CD，那么（ ） 分析： 例3. 求证：OEOF 例4. 如图，O中AB是直径，COAB，D是CD的中点，DEAB。 分析：度数又等于它们所对的圆心角的度数，则关键是求出COE、AOE的度数。 例5

9、. 交AB于M、N。 求证：AMMNNB 解析一： 解析二： 解析三： 要证AMMNNB，即证AM：MO2：1，故联想到三角形的重心性质，若能证明M是ACG的重心，问题得证。（三角形的重心即为三角形三条中线的交点到顶点的距离等于交点到对边中点距离的2倍）【模拟试题】一. 选择题。 1. 在O与O中，若中，则有（ ） A. B. C. D. 的大小无法比较 2. 半径为4cm，120的圆心角所对的弦长为（ ） A. B. C. D. 3. 在同圆或等圆中，如果圆心角BOA等于另一个圆心角COD的2倍，则下列式子中能成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 在O中，圆心角AOB90，点O到弦A

10、B的距离为4，则O的直径的长为（ ） A. B. C. 24D. 16 5. 在O中，两弦ABCD，OM、ON分别为这两条弦的弦心距，则OM、ON的关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 6. 如图，AB为O的直径，C、D是O上的两点，则DAC的度数是（ ） A. 70B. 45C. 35D. 30二. 填空题。 1. 一条弦把圆分成1：3两部分，则劣弧所对的圆心角的度数为_。 2. 一条弦等于其圆的半径，则弦所对的优弧的度数为_。 3. 在半径为R的圆中，垂直平分半径的弦长等于_。 4. 在O中，弦CD与直径AB相交于E，且AEC30，AE1cm，BE5cm，那么弦CD的弦心距OF_

11、cm，弦CD的长为_cm。 5. 已知O的半径为5cm，过O内一已知点P的最短的弦长为8cm，则OP_。 6. 已知A、B、C为O上三点，若度数之比为1：2：3，则AOB_，BOC_，COA_。 7. 已知O中，直径为10cm，是O的，则弦AB_，AB的弦心距_。三. 解答题。 1. 如图：已知，OA为O的半径，AC是弦，OBOA并交AC延长线于B点，OA6，OB8，求AC的长。 2. 如图，中，O在的三边上所截得的弦长都相等，求BOC的度数。 3. 已知：如图，在O中，弦ABCD，且ABCD于E，BE7，AE3，OGAB于G，求：OG的长？ 4. 已知：如图，求OFE的度数。 5. 如图，C

12、是O的直径AB上一点，过点C作弦DE，使CDCO，使的度数为40，求的度数。 6. 如图：已知，O中，OB、OC分别交AC、DB于M、N。 求证：是等腰三角形。 7. 如图，O中弦ABCD，且AB与CD交于E。求证：DEAE。【试题答案】一. 选择题。 1. D2. B3. D4. B5. A6. C二. 填空题。 1. 902. 3003. 4. 5. 3cm6. 60，120，1807. 三. 解答题。 1. 过O点作ODAB于D 根据射影定理： 2. 提示：O是中B、C的角平分线交点。 3. OG2 过O点作OMCD 四边形OGEM是正方形 4. 5. 120。连结OD、OE。 6. 证

13、明： 又OBAC，OCBD OMON 是等腰三角形 7. 证明：连结OE，过O点作OMAB于M，ONCD于N ABCD，OMON 又OEOE， MEEN 即AEDE【典型例题2】 1如图，在O中，AB、CD是两条弦，OEAB，OFCD，垂足分别为EF （1）如果AOB=COD，那么OE与OF的大小有什么关系？为什么？（2）如果OE=OF，那么与的大小有什么关系？AB与CD的大小有什么关系？为什么？AOB与COD呢？ 分析：（1）要说明OE=OF，只要在直角三角形AOE和直角三角形COF中说明AE=CF，即说明AB=CD，因此，只要运用前面所讲的定理即可（2）OE=OF，在RtAOE和RtCOF

14、中，又有AO=CO是半径，RtAOERtCOF，AE=CF，AB=CD，又可运用上面的定理得到= 2.如图，在O中，求A的度数.思路点拨：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等解： .举一反三【变式1】如图所示，中弦AB=CD，求证：AD=BC.思路点拨：AD和BC是同圆中两条相等的弦，要说明的AB、CD也是同圆中的两条相等的弦，可以考虑弧、弦、圆心角的关系，因为图中没有给出圆心角，所以可以先考虑弧.证法1：AB=CD，(在同圆中，相等的弦所对的弧(同为优弧或同为劣弧)也相等) AD=BC(在同圆中，相等的弧所对的弦也相等)证法2：如图，连接OA，OD，OB，

15、OC， AB=CD，(在同圆中，相等的弦所对的圆心角相等) AD=BC(在同圆中，相等的圆心角所对的弦也相等)总结升华：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弦、两条弧中若有一组量相等，它们对应的其余各组量也相等，因此在圆中说明或证明弦、弧、圆心角的相等关系时可考虑利用弧、弦、圆心角的关系，只不过叙述时要注意一条弦和两条弧对应，不要认为相等的弦所对的弧一定相等分析：(1)、(2)都是不对的在图754中，因为和不在同圆或等圆中，不能用定理对于(2)也缺少了等圆的条件可让学生举反例说明4如图755，点P在O上，点O在EPF的角平分线上，EPF的两边交O于点A和B求证：PA=PB变式1已知：如图756，点

16、O在EPF的平分线上，O和EPF的两边分别交于点A，B和C，D求证：AB=CD变式2已知：如图757，O的弦AB，CD相交于点P，APO=CPO，求证：AB=CD说明：这组例题均是利用弦心距相等来证明弦相等的问题，当然，也可利用其它方法来证，只不过前者较为简便练习1 已知：如图758，AD=BC求证：AB=CD变式如图3和图4，MN是O的直径，弦AB、CD相交于MN上的一点P，APM=CPM （1）由以上条件，你认为AB和CD大小关系是什么，请说明理由（2）若交点P在O的外部，上述结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由 (3) (4) 分析：（1）要说明AB=CD，只要证明AB、

17、CD所对的圆心角相等，只要说明它们的一半相等 上述结论仍然成立，它的证明思路与上面的题目是一模一样的 解：（1）AB=CD 理由：过O作OE、OF分别垂直于AB、CD，垂足分别为E、F APM=CPM 1=2 OE=OF 连结OD、OB且OB=OD RtOFDRtOEB DF=BE 根据垂径定理可得：AB=CD （2）作OEAB，OFCD，垂足为E、F APM=CPN且OP=OP，PEO=PFO=90 RtOPERtOPF OE=OF 连接OA、OB、OC、OD 易证RtOBERtODF，RtOAERtOCF 1+2=3+4 AB=CD5.已知：如图所示，O中弦ABCD求证：ADBC【总结升华

18、】在同圆或等圆中，证两弦相等时常用的方法是找这两弦所对的弧相等或所对的圆心角相等，而图中没有已知的等弧和等圆心角，必须借助已知的等弦进行推理本题主要是考查弧、弦、圆心角之间的关系，要证ADBC，只需证或证AODBOC即可举一反三：【变式】如图所示，已知AB是O的直径，M、N分别是AO、BO的中点，CMAB，DNAB 求证： 作业设计 一、选择题 1如果两个圆心角相等，那么（ ） A这两个圆心角所对的弦相等;B这两个圆心角所对的弧相等 C这两个圆心角所对的弦的弦心距相等;D以上说法都不对 2在同圆中，圆心角AOB=2COD，则两条弧AB与CD关系是（ ） A=2 B C2 D不能确定 3如图5，

19、O中，如果=2，那么（ ）AAB=AC BAB=AC CAB2AC (5) (6) 二、填空题 1交通工具上的轮子都是做圆的，这是运用了圆的性质中的_ 2一条弦长恰好为半径长，则此弦所对的弧是半圆的_3如图6，AB和DE是O的直径，弦ACDE，若弦BE=3，则弦CE=_ 三、解答题 1如图，在O中，C、D是直径AB上两点，且AC=BD，MCAB，NDAB，M、N在O上 （1）求证：=；（2）若C、D分别为OA、OB中点，则成立吗？2如图，以ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作圆，分别交BC、AD于E、F，若D=50，求的度数和的度数 3如图，AOB=90，C、D是AB三等分点，AB分别交OC、

20、OD于点E、F，求证：AE=BF=CD答案: 一、1D 2A 3C 二、1圆的旋转不变形 2或 33 三、1（1）连结OM、ON，在RtOCM和RtODN中OM=ON，OA=OB，AC=DB，OC=OD，RtOCMRtODN，AOM=BON， （2）www.1230.org 初中数学资源网 2BE的度数为80，EF的度数为503连结AC、BD，C、D是三等分点，AC=CD=DB，且AOC=90=30，OA=OC，OAC=OCA=75，又AEC=OAE+AOE=45+30=75，AE=AC，同理可证BF=BD，AE=BF=CD【典型例题3】例1 如图，已知，O中，AB、CD为弦，且AB=CD，OMAB于M，ONCD于N，求证：OM=ON。例3 【模拟试题】一. 选择题1. 下列命题中正确的是（ ）A. 过弦的中点的直线平分弦所对的弧B. 过弦的中点的直线必过圆心C. 弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心D. 弦的垂线平分弦所对的弧2. O的半径是20mm，圆心角AOB=120，AB是O的弦，则专心-专注-专业