2019年考研数学二真题与解析(共10页).docx

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1、精选优质文档-倾情为你奉上2019年考研数学二真题解析一、选择题 18小题每小题4分，共32分1当时，若与是同阶无穷小，则（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】（C）【详解】当时，所以，所以2曲线的拐点是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】（D）【详解】，；令得，且，所以是曲线的拐点；而对于点，由于，而，所以不是曲线的拐点3下列反常积分发散的是 （ ）（A） （B） (C） （D）【答案】（D）【详解】（1）当时，是关于的一阶无穷小，当然发散；（2）用定义：，当然发散4已知微分方程的通解为，则依次为（ ）（A） （B） (C） （D）【答案】（D）【详解】（1）由非齐次线性方程的

2、通解可看出是特征方程的实根，从而确定；（2）显然，是非齐次方程的特解，代入原方程确定5已知平面区域，记， ，则 （ ）（A） （B） （C） （D）【答案】（A）【详解】（1）显然在区域，此时由结论当时知道，所以；（2）当时，令，则，；令得到在唯一驻点，且，也就是在取得极小值，在同时取得在上的最大值，也就有了结论，当时，也就得到了；由（1）、（2）可得到6设函数的二阶导函数在处连续，则是两条曲线，在对应的点处相切及曲率相等的 （ ） （A）充分不必要条件 （B）充分必要条件 （C）必要不充分条件 （D）既不充分也不必要条件【答案】（A）【详解】充分性：（1）当进，由洛必达法则，也就是两条曲线在

3、对应的点处相切；（2）由曲率公式可知两条曲线在对应的点处曲率相等必要性不正确的原因在于，虽然相切能得到，但在相切前提下，曲率相等，只能得到，不能确定，当然得不到7 设是四阶矩阵，为其伴随矩阵，若线性方程组的基础解系中只有两个向量，则（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】（A）【详解】线性方程组基础解系中只有两个向量，也就是，所以8设是三阶实对称矩阵，是三阶单位矩阵，若，且，则二次型的规范形是 （ ）（A） （B） （C） （D）【答案】（C）【详解】假设是矩阵的特征值，由条件可得，也就是矩阵特征值只可能是和而，所以三个特征值只能是，根据惯性定理，二次型的规范型为二、填空题（本题共6小题，

4、每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）9 【答案】解： 10曲线在对应点处的切线在的截距为 【答案】【详解】，所以切线方程为，在的截距为11.设函数可导，则 .【答案】【详解】，12曲线的弧长为 【答案】【详解】13已知函数，则 【答案】【详解】（1）用定积分的分部积分：（2）转换为二重积分：14已知矩阵，表示元素的代数余子式，则 【答案】【详解】三、解答题15（本题满分10分）已知函数，求，并求函数的极值【详解】当时，；当时，；在处，所以在处不可导综合上述：；令得到当时，当时，当时，当时，；故是函数的极小值点，极小值为；是函数的极大值点，极大值为；是函数的极小值点，极小值为16（本

5、题满分10分）求不定积分【详解】17（本题满分10分）设函数是微分方程满足条件的特解（1）求的表达式；（2）设平面区域，求绕轴旋转一周所形成的旋转体的体积【详解】（1）这是一个一阶线性非齐次微分方程先求解对应的线性齐次方程的通解：，其中为任意常数；再用常数变易法求通解，设为其解，代入方程，得，也就是通解为：把初始条件代入，得，从而得到（2）旋转体的体积为18（本题满分10分）设平面区域，计算二重积分【详解】显然积分区域关于轴对称，由对称性，显然；19（本题满分10分）设是正整数，记为曲线求曲线与轴所形成图形的面积，求，并求【详解】先求曲线与轴的交点：令得当时，；当时，由不定积分可得，所求面积为

6、当为奇数时， 同理：显然，有所以20（本题满分11分）已知函数满足关系式求的值，使得在变换之下，上述等式可化为函数的不含一阶偏导数的等式【详解】在变换之下，；把上述式子代入关系式，得到根据要求，显然当时，可化为函数的不含一阶偏导数的等式21（本题满分11分）已知函数在上具有二阶导数，且，证明：（1）至少存在一点，使得；（2）至少存在一点，使得证明 （1）令，则，则由于在连续，则在上可导，且，则由拉格朗日中值定理，至少存在一点，使得，也就是；对在上用罗尔定理 ，则至少存在一点，使得；（2）令，则显然，在具有二阶导数，且对分别在上用拉格朗日中值定理，至少存在一点，使得；至少存在一点，使得；对在上用

7、拉格朗日中值定理，则至少存在一点，使得，也就是22（本题满分11分）已知向量组：；向量组：若向量组和向量组等价，求常数的值，并将用线性表示【详解】向量组和向量组等价的充分必要条件是（1）当时，显然， ，两个向量组等价此时，方程组的通解为，也就是，其中为任意常数；（2）当时，继续进行初等行变换如下：显然，当且时，同时，也就是，两个向量组等价这时，可由线性表示，表示法唯一：23（本题满分11分）已知矩阵与相似（1）求之值；（2）求可逆矩阵，使得【详解】（1）由矩阵相似的必要条件可知：，即，解得（2）解方程组得矩阵的三个特征值；分别求解线性方程组得到分属三个特征值的线性无关的特征向量为：令，则可逆，且；同样的方法，可求得属于矩阵的三个特征值的线性无关的特征向量为：令，则可逆，且；由前面，可知令，就满足专心-专注-专业