圆锥曲线定值定点专题(共37页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上专题二 压轴解答题 以解析几何中定点、定值为背景的解答题【名师综述】解析几何中的定值、定点、定线问题仍是高考考试的重点与难点，都是探求变中有不变的量.一般运用函数与方程、转化与化归、数形结合、分类讨论、特殊到一般、相关点法、设而不求、换元、消元等基本思想方法. 类型一 定值问题典例1 如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，左焦点，直线与椭圆交于两点， 为椭圆上异于的点.（1）求椭圆的方程；（2）若，以为直径的圆过点，求圆的标准方程；（3）设直线与轴分别交于，证明： 为定值.【举一反三】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，且过点. 为椭圆的右焦点

2、， 为椭圆上关于原点对称的两点，连接分别交椭圆于两点.求椭圆的标准方程；若，求的值；设直线， 的斜率分别为， ，是否存在实数，使得，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.类型二 定点问题典例2 已知椭圆的左、右焦点分别为， ， 为椭圆的上顶点， 为等边三角形，且其面积为， 为椭圆的右顶点.（）求椭圆的方程；（）若直线与椭圆相交于两点（不是左、右顶点），且满足，试问：直线是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标，否则说明理由.【举一反三】已知定点、，直线、相交于点，且它们的斜率之积为，记动点的轨迹为曲线.（）求曲线的方程；（）过点的直线与曲线交于、两点，是否存在定点，使得直线与斜率之积为定值，若

3、存在求出坐标；若不存在请说明理由.典例3 已知抛物线： （）的焦点是椭圆： （）的右焦点，且两曲线有公共点（1）求椭圆的方程；（2）椭圆的左、右顶点分别为， ，若过点且斜率不为零的直线与椭圆交于， 两点，已知直线与相较于点，试判断点是否在一定直线上？若在，请求出定直线的方程；若不在，请说明理由.【举一反三】如图，设椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，的面积为.（1）求该椭圆的标准方程；（2）是否存在圆心在轴上的圆，使圆在轴的上方与椭圆两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求圆的方程，若不存在，请说明理由.1在平面直角坐标系中，已知直线与椭圆交于点， （在轴上

4、方），且.设点在轴上的射影为，三角形的面积为2（如图1）.（1）求椭圆的方程；（2）设平行于的直线与椭圆相交，其弦的中点为.求证：直线的斜率为定值；设直线与椭圆相交于两点， （在轴上方），点为椭圆上异于， ， ， 一点，直线交于点， 交于点，如图2，求证： 为定值.2如图，在平面直角坐标系中，过椭圆： 的左顶点作直线，与椭圆和轴正半轴分别交于点， （1）若，求直线的斜率；（2）过原点作直线的平行线，与椭圆交于点，求证： 为定值 3已知椭圆： 的离心率为，且上焦点为，过的动直线与椭圆相交于、两点设点，记、的斜率分别为和（1）求椭圆的方程；（2）如果直线的斜率等于，求的值；（3）探索是否为定值？如

5、果是，求出该定值；如果不是，求出的取值范围 4. 已知椭圆的离心率是，其左、右顶点分别为、，为短轴的一个端点，的面积为（1）求椭圆的方程；（2）直线与轴交于，是椭圆上异于、的动点，直线、分别交直线于、两点，求证：为定值5. 已知圆与轴负半轴相交于点，与轴正半轴相交于点.（1）若过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程；（2）若在以为圆心半径为的圆上存在点，使得 (为坐标原点)，求的取值范围；（3）设是圆上的两个动点，点关于原点的对称点为，点关于轴的对称点为，如果直线与轴分别交于和，问是否为定值？若是求出该定值；若不是，请说明理由.6. 在平面直角坐标系中，已知点，点，点（1）求经过A，B，C三

6、点的圆P的方程；（2）过直线上一点Q，作圆P的两条切线，切点分别为A，B，求证：直线AB恒过定点，并求出定点坐标7. 已知圆：，点，点在圆上运动，的垂直平分线交于点（1）求动点的轨迹的方程；（2）设分别是曲线上的两个不同点，且点在第一象限，点在第三象限，若，为坐标原点，求直线的斜率；（3）过点且斜率为的动直线交曲线于两点，在轴上是否存在定点，使以为直径的圆恒过这个点？若存在，求出的坐标，若不存在，说明理由8. 如图，在直角坐标系中，圆与轴负半轴交于点，过点 的直线，分别与圆交于，两点（1）若，求的面积；（2）过点作圆O的两条切线，切点分别为E，F，求；（3）若，求证：直线过定点9. 如图，在平

7、面直角坐标系中，圆交轴于点（点在轴的负半轴上），点为圆上一动点，分别交直线于两点。（1）求两点纵坐标的乘积；（2）若点的坐标为，连接交圆于另一点试判断点与以为直径的圆的位置关系，并说明理由；记的斜率分别为，试探究是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由 压轴解答题 以解析几何中定点、定值为背景的解答题【名师综述】解析几何中的定值、定点、定线问题仍是高考考试的重点与难点，都是探求变中有不变的量.一般运用函数与方程、转化与化归、数形结合、分类讨论、特殊到一般、相关点法、设而不求、换元、消元等基本思想方法. 类型一 定值问题典例1 如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，左焦点，直线

8、与椭圆交于两点， 为椭圆上异于的点.（1）求椭圆的方程；（2）若，以为直径的圆过点，求圆的标准方程；（3）设直线与轴分别交于，证明： 为定值.【答案】（1）（2）（3）见解析【解析】（2）设，则，且.以为直径的圆过点，又， .由解得： ，或（舍）.又圆的圆心为的中点，半径为，圆的标准方程为.（3）设，则的方程为，若不存在，显然不符合条件.令得；同理， 为定值. 【名师指点】对于定值问题，可以通过特殊位置、特殊图形、特殊数学来寻求定值再证明，或者可以直接通过运算求解求得；而范围问题需将所求量用变量表示，利用函数与方程思想求解【举一反三】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，且过点.

9、 为椭圆的右焦点， 为椭圆上关于原点对称的两点，连接分别交椭圆于两点.求椭圆的标准方程；若，求的值；设直线， 的斜率分别为， ，是否存在实数，使得，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2） （3）【解析】 （2）若，由椭圆对称性，知，所以， 此时直线方程为， 由，得，解得（舍去），故 （3）设，则，直线的方程为，代入椭圆方程，得，因为是该方程的一个解，所以点的横坐标， 又在直线上，所以，同理， 点坐标为， ， 所以，即存在，使得类型二 定点问题典例2 已知椭圆的左、右焦点分别为， ， 为椭圆的上顶点， 为等边三角形，且其面积为， 为椭圆的右顶点.（）求椭圆的方程；（）若直线

10、与椭圆相交于两点（不是左、右顶点），且满足，试问：直线是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标，否则说明理由.【答案】() ；（）直线过定点，定点坐标为.【解析】 （）设， ，联立得， 又，因为椭圆的右顶点为，即，解得： ， ，且均满足，当时， 的方程为，直线过定点，与已知矛盾； 当时， 的方程为，直线过定点 所以，直线过定点，定点坐标为【名师指点】解析几何中有关定点问题等综合性问题，它涉及到解析几何中的定义、几何性质、直线与圆锥曲线位置关系，同时又与三角函数、函数、不等式、方程、平面向量等代数知识紧密联系，解这类问题时，需要有较强的代数运算能力和图形识别能力，要能准确地进行数与形的语言转换和运

11、算、推理转换，并在运算过程中注意思维的严密性，以保证结果的完整性【举一反三】已知定点、，直线、相交于点，且它们的斜率之积为，记动点的轨迹为曲线.（）求曲线的方程；（）过点的直线与曲线交于、两点，是否存在定点，使得直线与斜率之积为定值，若存在求出坐标；若不存在请说明理由.【答案】(1) 曲线的方程为 ;(2)见解析.【解析】（）由已知直线过点，设的方程为，则联立方程组，消去得 ,设，则，直线与斜率分别为 ， ，.当时， ；当时， .所以存在定点，使得直线与斜率之积为定值. 类型三 定线问题典例3 已知抛物线： （）的焦点是椭圆： （）的右焦点，且两曲线有公共点（1）求椭圆的方程；（2）椭圆的左、

12、右顶点分别为， ，若过点且斜率不为零的直线与椭圆交于， 两点，已知直线与相较于点，试判断点是否在一定直线上？若在，请求出定直线的方程；若不在，请说明理由.【答案】(1) (2) 点在定直线上【解析】， 解得，椭圆的方程为（2）方法一当点为椭圆的上顶点时，直线的方程为，此时点， ，则直线和直线，联立，解得，当点为椭圆的下顶点时，由对称性知： . 猜想点在直线上，证明如下：由条件可得直线的斜率存在， 设直线，联立方程，消得： 有两个不等的实根， 设，则， 则直线与直线联立两直线方程得（其中为点横坐标）将代入上述方程中可得，即，即证将代入上式可得，此式成立点在定直线上.方法二由条件可得直线的斜率存在

13、， 设直线联立方程，消得： 有两个不等的实根， 设，则， ，由， ， 三点共线，有： 由， ， 三点共线，有： 上两式相比得，解得点在定直线上【名师指点】设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算.【举一反三】如图，设椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，的面积为.（1）求该椭圆的标准方程；（2）是否存在圆心在轴上的圆，使圆在轴的上方与椭圆两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求圆的方程，若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）存在满足条件的圆，其方程为.【解析】从而，由得，因此.所以，故因此，所求椭圆的标准方程为：【精选名校模拟】1在平面直

14、角坐标系中，已知直线与椭圆交于点， （在轴上方），且.设点在轴上的射影为，三角形的面积为2（如图1）.（1）求椭圆的方程；（2）设平行于的直线与椭圆相交，其弦的中点为.求证：直线的斜率为定值；设直线与椭圆相交于两点， （在轴上方），点为椭圆上异于， ， ， 一点，直线交于点， 交于点，如图2，求证： 为定值.【答案】（1） (2) 【解析】 (2)设平行的直线的方程为，且， 联立，得到， 所以， ；故，直线的斜率为（定值） 由题意可知，联立方程组得 设，先考虑直线斜率都存在的情形：直线，联立方程组： 得, 直线,联立方程组： 得, 则， 所以当直线斜率不存在时结果仍然成立.2如图，在平面直角坐

15、标系中，过椭圆： 的左顶点作直线，与椭圆和轴正半轴分别交于点， （1）若，求直线的斜率；（2）过原点作直线的平行线，与椭圆交于点，求证： 为定值【答案】（1）（2）见解析。【解析】 则直线的方程为 又椭圆： ， 由得， ， 则，从而 因为，所以所以，解得（负值已舍） （2）设点的横坐标为结合（1）知，直线的方程为由得， 从而 ，即证 3已知椭圆： 的离心率为，且上焦点为，过的动直线与椭圆相交于、两点设点，记、的斜率分别为和（1）求椭圆的方程；（2）如果直线的斜率等于，求的值；（3）探索是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，求出的取值范围【答案】（1）（2）2（3）为定值，且定值为2.【解析

16、】 （2）因为直线的斜率等于，且经过焦点F，所以直线， 设、，由消得，则有， 所以. （3）当直线的斜率不存在时， ， ，则， ，故 当直线的斜率存在时，设其为，则直线： ，设， ，由消得，则有， 所以 . 所以为定值，且定值为2. 4. 已知椭圆的离心率是，其左、右顶点分别为、，为短轴的一个端点，的面积为（1）求椭圆的方程；（2）直线与轴交于，是椭圆上异于、的动点，直线、分别交直线于、两点，求证：为定值【答案】（1）；（2）3【解析】所以,又在上，所以，即， 11分代入上式，得，所以为定值3. 12分5. 已知圆与轴负半轴相交于点，与轴正半轴相交于点.（1）若过点的直线被圆截得的弦长为，求直

17、线的方程；（2）若在以为圆心半径为的圆上存在点，使得 (为坐标原点)，求的取值范围；（3）设是圆上的两个动点，点关于原点的对称点为，点关于轴的对称点为，如果直线与轴分别交于和，问是否为定值？若是求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】（1）直线的方程为或；（2）；（3）为定值1.【解析】直线被圆截得的弦长为， ，此时的方程为： 所求直线的方程为或（2）设点的坐标为，由题得点的坐标为，点的坐标为由可得，化简可得 点在圆上， 所求的取值范围是.（3），则直线的方程为令，则 同理可得 为定值1.6. 在平面直角坐标系中，已知点，点，点（1）求经过A，B，C三点的圆P的方程；（2）过直线上一点Q，作圆

18、P的两条切线，切点分别为A，B，求证：直线AB恒过定点，并求出定点坐标【答案】（1）圆P的方程为；（2）证明过程详见试题解析，定点坐标为【解析】（2）连接，过直线上一点Q，作圆P的两条切线，切点分别为A，B，A，B在以直径的圆上；设，则的中点坐标为，以直径的圆的方程为，化简得；因为为两圆的公共弦，所以两圆方程相减即得，整理得，所以，解得，直线AB恒过定点，且定点坐标为7. 已知圆：，点，点在圆上运动，的垂直平分线交于点（1）求动点的轨迹的方程；（2）设分别是曲线上的两个不同点，且点在第一象限，点在第三象限，若，为坐标原点，求直线的斜率；（3）过点且斜率为的动直线交曲线于两点，在轴上是否存在定点

19、，使以为直径的圆恒过这个点？若存在，求出的坐标，若不存在，说明理由【答案】（1）；（2）；（3）在轴上存在满足条件的定点，点的坐标为【解析】（3）直线方程为，联立直线和椭圆的方程得: 得由题意知：点在椭圆内部，所以直线与椭圆必交与两点，设则假设在轴上存在定点，满足题设，则因为以为直径的圆恒过点,则，即: （*）因为则（*）左边变为 由假设得对于任意的,恒成立， 即解得，因此，在轴上存在满足条件的定点，点的坐标为8. 如图，在直角坐标系中，圆与轴负半轴交于点，过点 的直线，分别与圆交于，两点（1）若，求的面积；（2）过点作圆O的两条切线，切点分别为E，F，求；（3）若，求证：直线过定点【答案】（

20、1） ；（2）；（3）见解析 【解析】，由此能证明直线过定点 试题解析：（1）由题知，得直线的方程为，直线的方程为 所以，圆心到直线的距离，所以，由中位线定理知， AN=， 由题知，所以，=. 9. 如图，在平面直角坐标系中，圆交轴于点（点在轴的负半轴上），点为圆上一动点，分别交直线于两点。（1）求两点纵坐标的乘积；（2）若点的坐标为，连接交圆于另一点试判断点与以为直径的圆的位置关系，并说明理由；记的斜率分别为，试探究是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由【答案】（1）;（2）点在圆外; 【解析】（2），由（1）知，即，点在圆内。设，当直线的斜率不存在时，此时，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，代入圆方程，整理得，又，。专心-专注-专业