高中数学新人教版必修一知识讲解及练习附答案知识讲解《函数》全章复习与巩固基础(共12页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上高中数学新人教版必修一知识讲解及练习附答案函数全章复习与巩固编稿： 审稿： 【学习目标】1会用集合与对应的语言刻画函数；会求一些简单函数的定义域和值域，初步掌握换元法的简单运用.2能正确认识和使用函数的三种表示法：解析法，列表法和图象法了解每种方法的优点在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；3求简单分段函数的解析式；了解分段函数及其简单应用；4理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；结合具体函数了解奇偶性的含义；5理解函数零点的意义，能判断二次函数零点的存在性，会求简单函数的零点，了解函数的零点与方程根的关系；6能运用函数的图象理解和研究函数的性质

2、.【知识网络】【要点梳理】要点一：关于函数的概念1两个函数相等的条件用集合与对应的语言刻画函数，与初中的“用变量的观点描述函数”实质上是一致的函数有三要素定义域、值域、对应关系，它们是不可分割的一个整体当且仅当两个函数的三要素完全相同时，这两个函数相等2函数的常用表示方法函数的常用表示方法有：图象法、列表法、解析法注意领会在实际情境中根据不同的需要选择恰当的方法表示函数3映射设A、B是两个非空集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x（原象），在集合B中都有唯一确定的元素（象）与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射由映射定义知，函数是一种特殊的映射，

3、即函数是两个非空的数集间的映射4函数的定义域函数的定义域是自变量的取值范围，但要注意，在实际问题中，定义域要受到实际意义的制约其题型主要有以下几种类型：（1）已知得函数表达式，求定义域；（2）已知的定义域，求的定义域，其实质是由的取值范围，求出的取值范围；（3）已知的定义域，求的定义域，其实质是由的取值范围，求的取值范围5函数的值域由函数的定义知，自变量在对应法则下取值的集合叫做函数的值域函数值域的求法：（1）与二次函数有关的函数，可用配方法（注意定义域）；（2）形如的函数，可用换元法即设，转化成二次函数再求值域（注意）；（3）形如的函数可借助反比例函数求其值域，若用变量分离法求值域，这种函数

4、的值域为；（4）形如（中至少有一个不为零）的函数求值域，可用判别式求值域6函数的解析式函数的解析式是函数的一种表示方法，求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是求出函数的定义域求函数解析式的主要方法：已知函数解析式的类型时，可用待定系数法；已知复合函数的表达式时，可用换元法，此时要注意“元”的取值范围；若已知抽象函数表达式，则常用解方程组、消参的方法求出要点二：函数的单调性（1）如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有，那么就说函数在区间D上是增函数（2）如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有，那么

5、就说函数在区间D上是减函数（3）若函数在某个区间上总是递增（或递减）的，则该区间是函数的一个单调增（或减）区间若函数在整个定义域上总是递增（或递减）的，则称该函数为单调增（或减）函数与函数单调性有关的问题主要有：由函数单调性定义判断或证明某一个函数在一个区间的单调性；通过图象或运用复合函数的单调性原理求函数的单调区间；应用函数的单调性证明不等式、比较数的大小、判断某些超越方程根的个数等要点三：函数的奇偶性（1）若一个函数具有奇偶性，则它的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，那么它就失去了是奇函数或是偶函数的条件，即这个函数既不是奇函数也不是偶函数（2）若奇函数的定义域内

6、有零，则由奇函数定义知，即，所以（3）奇、偶性图象的特点如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数如果一个函数是偶函数，则它的图象是以y轴为对称轴的对称图形；反之，如果一个函数的图象是y轴为对称轴的轴对称图形，则这个函数是偶函数要点四：图象的作法与平移（1）根据函数表达式列表、描点、连光滑曲线；（2）利用熟知函数图象的平移、翻转、伸缩变换；（3）利用函数的奇偶性，图象的对称性描绘函数图象要点五：一次函数和二次函数1一次函数，其中2二次函数二次函数，通过配方可以得到决定了二次函数图象

7、的开口大小及方向顶点坐标为，对称轴方程为对于二次函数当时，的图象开口向上；顶点坐标为；对称轴为；在上是单调递减的，在上是单调递增的；当时，函数取得最小值当时，的图象开口向下；顶点坐标为；对称轴为；在上是单调递增的，在上是单调递减的；当时，函数取得最大值要点六：函数的应用举例（实际问题的解法）（1）审题：弄清题意、分清条件和结论、理顺数量关系；（2）建模：将文字语言转化成数学语言，利用相应的数学知识模型；（3）求模：求解数学模型，得到数学结论；（4）还原：将用数学方法得到的结论，还原为实际问题的意义 求解函数应用问题的思路和方法，我们可以用示意图表示为：要点七：函数与方程（1）对于函数，我们把使

8、得实数叫做函数的零点（2）确定函数的零点，就是求方程的实数根（3）一般地，如果函数在区间上的图象是连续不间断的一条曲线，并且，那么函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根（4）一般地，对于不能用公式法求根的方法来说，我们可以将它与函数联系起来，并利用函数的性质找出零点或零点所在的区间，从而求出方程的根，或者用二分法求出方程的近似解判断函数在某区间有零点的依据：对于一些比较简单的方程，我们可以通过公式等方法进行解决，对于不能用公式解决的方程，我们可以把这些方程与函数联系起来，并利用函数的图象和性质找零点，从而求出方程的根对于如何判断函数在某区间内是否是零点的问题，最关键的是要把握两条

9、：其一，函数的图象在某区间是否是连续不间断的一条曲线；其二，该函数是否满足在上述区间的两个端点处，函数值之积小于0（5）在实数范围内，二次函数的零点与二次方程的根之间有密切关系，方程有两个实根，其对应二次函数有两个零点；，方程有一个二重根，其对应二次函数有一个二重零点；，方程无根，其对应二次函数无零点【典型例题】类型一：映射例1设集合，f是A到B的映射，并满足（1）求B中元素（3，4）在A中的原象；（2）试探索B中有哪些元素在A中存在原象；（3）求B中元素（a，b）在A中有且只有一个原象时，a，b所满足的关系式【思路点拨】本例是一道与方程综合的题目，关键是将题目转化为我们所熟悉的映射的知识【解

10、析】（1）设（x，y）是（3，4）在A中的原象，于是，解得或，（3，4）在A中的原象是（1，3）或（3，1）（2）设任意（a，b）B在A中有原象（x，y），应满足由可得y=xb，代入得x2bx+a=0 当且仅当=b24a0时，方程有实根只有当B中元素满足b24a0时，才在A中有原象（3）由以上（2）的解题过程知，只有当B中元素满足b2=4a时，它在A中有且只有一个原象【总结升华】高考对映射考查较少，考查时只涉及映射的概念，因此我们必须准确地把握映射的概念，并灵活地运用它解决有关问题举一反三：【变式1】 已知a，b为两个不相等的实数，集合，表示把M中的元素x映射到集合N中仍为x，则a+b等于（

11、）A1 B2 C3 D4【答案】 D 【解析】 由已知可得M=N，故，a、b是方程x24x+2=0的两根，故a+b=4类型二：函数的概念及性质【高清课堂：集合与函数性质综合 例2】例2设定义在R上的函数y= f（x）是偶函数,且f（x）在（，0）为增函数若对于，且，则有 ( ) A B C D 【答案】D 【解析】因为，且，所以，画出y= f（x）的图象，数形结合知，只有选项D正确 【总结升华】对函数性质的综合考查是高考命题热点问题这类问题往往涉及函数单调性、奇偶性、函数图象的对称性，以及题目中给出的函数性质解决这类问题的关键在于“各个击破”，也就是涉及哪个性质，就利用该性质来分析解决问题 举

12、一反三：【变式1】下列函数中,既是奇函数又是增函数的为（）ABCD【答案】D【解析】奇函数有和,又是增函数的只有选项D正确【变式2】 定义在R上的偶函数f (x)，对任意x1，x20，+）（x1x2），有，则（ ）A BC D【答案】A【解析】由题知，为偶函数，故，又知x0，+）时，为减函数，且321，即故选A例3设偶函数满足，则（ ）Ax|x2或x4 Bx|x0或x4Cx|x0或x6 Dx|x2或x2【答案】 B 【解析】 当x0时，x0，又是偶函数，或解得x4或x0，故选B例4设函数的定义域为，若所有点 构成一个正方形区域，则的值为（ ）A2 B4 C8 D不能确定【答案】 B【解析】 依

13、题意，设关于x的不等式ax2+bx+c0（a0）的解集是x1，x2（x1x2），且，的最大值是依题意，当sx1，x2的取值一定时，取遍中的每一个组，相应的图形是一条线段；当s取遍x1，x2中的每一个值时，所形成的图形是一个正方形区域（即相当于将前面所得到的线段在坐标平面内平移所得），因此有，又a0，因此a=4，选B项举一反三：【变式1】若函数的定义域是0，2，则函数的定义域是（ ）A0，1 B0，1） C0，1）（1，4 D（0，1）【答案】 B 【解析】 要使有意义，则，解得0x1，故定义域为0，1），选B例5已知函数的最大值为M，最小值为m，则的值为（ ）A B C D【答案】 C 【解析

14、】 函数的定义域为3，1又而，4y28又y0，m=2故选C项举一反三：【变式1】函数（xR）的值域是_【答案】0，1）【解析】（1）注意到x20，故可以先解出x2，再利用函数的有界性求出函数值域由，得，解之得0y1故填0，1）例6设函数（1）画出函数的图象；（2）若不等式的解集非空，求a的取值范围【解析】 （1）由于，则函数的图象如图所示（2）由函数与函数y=ax的图象可知，当且仅当或a2时，函数与函数y=ax的图象有交点故不等式的解集非空时，a的取值范围为举一反三：【变式1】 直线y=1与曲线y=x2|x|+a有四个交点，则a的取值范围是_【答案】 【解析】 如图，作出y=x2|x|+a的图

15、象，若要使y=1与其有四个交点，则需满足，解得类型三：函数的零点问题例7若函数在区间（2，2）上的图象是连续的，且方程在（2，2）上仅有一个实根0，则的值（ ）A大于0 B小于0 C等于0 D无法确定【答案】D【解析】根据连续函数零点的性质，若，则在（1，1）内必有零点，即方程在（1，1）内有根；反之，若方程在（2，2）内有实根，不一定有，也有可能【总结升华】若，则在（1，1）内必有零点，但当在（1，1）内有零点时，却不一定总有举一反三：【变式1】若函数的零点是2和，则 ， 【答案】【变式2】若函数有一个零点是2，那么函数的零点是 【答案】类型四：函数性质的综合应用例8. 已知函数（x0，常数

16、aR）（1）讨论函数的奇偶性，并说明理由；（2）若函数在x2，+）上为增函数，求a的取值范围【思路点拨】（1）对进行分类讨论，然后利用奇函数的定义去证明即可（2）由题意知，任取2x1x2，则有恒成立，即可得的取值范围【解析】 （1）当a=0时，对任意x（，0）（0，+），为偶函数当a0时，（a0，x0），取x=1，得，函数既不是奇函数，也不是偶函数（2）解法一：设2x1x2，要使函数在x2，+）上为增函数，必须恒成立x1x20，x1 x24，即ax1 x2 (x1+ x2)恒成立又x1+ x24，x1x2(x1+ x2)16a的取值范围是（，16解法二：当a=0时，显然在2，+）上为增函数当a

17、0时，反比例函数在2，+）上为增函数，在2，+）上为增函数当a0时，同解法一【总结升华】 函数的奇偶性与单调性是函数的重要性质，因而也是高考命题的热点应运用研究函数的奇偶性与单调性的基本方法，来分析解决问题举一反三：【高清课堂：集合与函数性质综合 例5】【变式1】已知函数，且f（1）=1（1）求实数k的值及函数的定义域；（2）判断函数在（0，+）上的单调性，并用定义加以证明【解析】（1），定义域为：（2）在（0，+）上任取，则 =所以函数在上单调递增类型五：函数的实际应用 例9某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定资本为200元，每桶水的进价是5元销售单价与日均销售量的关系如下表：销售单价/

18、元6789101112日均销售量/桶480440400360320280240请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价能获得最大利润? 【答案】11.5 1490【思路点拨】 由题目可获取以下主要信息：(1)已知固定成本200元天，水进价5元桶；(2)用表格体现出了售价与日销售量的关系；(3)解决利润最大问题解决本题可先分析表格，从中找到单价每增加1元，则日销售量就减少40桶，然后设出有关未知量，建立函数模型，进而解决问题 【解析】 设每桶水在原来的基础上上涨x元，利润为y元，由表格中的数据可以得到：价格每上涨1元，日销售量就减少40桶，所以涨价x元后，日销售的桶数为：480-40(x-1)

19、520-40x0，所以0x13，则利润：(0x13) 故当x6.5时，利润最大，即当水的价格为11.5元时，利润最大值为1490元【总结升华】 列表法是给出函数关系的一个重要形式，通过“利润收入支出”这一实际意义建立变量之间的关系运用二次函数模型，常解决一些最大（小）值问题，对生产生活等问题进行优化举一反三：【变式1】某公司每年需购买某种元件8000个用于组装生产，每年分n次等量进货，每进一次货（不分进货量大小）费用500元，为了持续生产，需有每次进货的一半库存备用，每件每年库存费2元，问分几次进货可使得每年购买和贮存总费用最低？【思路点拨】本题的关键是根据题意列出函数关系式，然后利用配方法求函数的最大值【答案】4【解析】设每年购买和贮存元件总费用为y元，其中购买成本费为固定投入，设为c元，则 ，当且仅当，即n=4时，y取得最小值且ymin=4000+c所以分4次进货可使得每年购买和贮存元件总费用最低【总结升华】题中用了配方法求最值，技巧性高，另外本题还可利用函数在（0，+）上的单调性求最值专心-专注-专业