2022年德外初三数学竞赛试题.pdf

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1、德阳外国语学校初三数学竞赛说明：本试卷满分150 分;考试时间： 120 分钟一选择题（每题5 分，共 35 分）1. 三角形两边的长是3 和 4，第三边的长是方程x212x350 的根，则该三角形的周长为( ) A14 B12C 12 或 14 D 以上都不对2. 若 A(134，y1) ，B(1，y2) ，C(53，y3) 为二次函数y x24x5 的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是 ( ) Ay1y2y3 By3y2y1 Cy3y1y2 D y2y1y33如图，在平面直角坐标系中，P与 x 轴相切，与y 轴相交于A（0， 2） ，B（ 0，8） ，则圆心 P的坐标是（）A （

2、 5，3）B （ 5，4）C （3，5）D （4，5）4. 如图， O为圆心，若已知圆心角AOC = x，则 CBD为( ) A. 180 xB. 90 xC.12xD. 9012x5已知 M=a2+12a4b，N=4a20b2，则 M与 N的大小关系是（）AM N BM N CM N DM N 6. 若对于所有实数x，2xaxa恒为正，则（）0a4a0a或4a04a7. 二次函数2yaxbxc的图象如图所示，现有以下结论：0abc； bac； 420abc； 23cb； ()(1)abm amb m。其中正确的结论有（）A. 1 个 B. 2个 C. 3个 D. 4个第 3 题图DCBAO第

3、 4 题图xy321-1O第 7 题图精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 二填空题（每题5 分，共 35 分）8如图，O是ABC的外接圆， 直径 AD=4， ABC= DAC ，则 AC长为9. 若函数21(2)12ymxmxm的图象与 x 轴只有一个交点，则m的值为。10. 方程22010201110 xx+ =的解为。11. 设2213 ,b13 ,aab且ab,则代数式2211ab的值是。12已知直线yb（b 为实数）与函数24

4、3yxx的图象至少有三个公共点，则实数b 的取值范围是。13. 如图，在边长为2 的菱形 ABCD中， A=60， M是 AD边的中点， N是 AB边上的一动点， 将AMN 沿 MN所在直线翻折得到AMN ，连接 AC，则 AC长度的最小值是_14. 对 于 一 切 不 小 于 的 自 然 数n ， 关 于x的 一 元 二 次 方 程22(2)20 xnxn的两根记为,(2)nnab n，则223320072007111.(2)(2)(2)(2)(2)(2)ababab三 解 答 题 （ 每 题 20 分 ， 共80 分 ）15 如 图 ，AB为 半 O的 直 径 ，C为 半 圆 弧 的 三

5、等 分 点 ，过B，C两 点 的 半 O的 切 线 交 于 点P， 若AB的 长 是2a，求PA的 长第 8 题图第 13 题图精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 16已知 k 是整数，且方程x2+kxk+1=0 有两个不相等的正整数根，求k 的值17P为正方形 ABCD 内部一点， PA=1 ，求阴影部分的面积SABCP精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - -

6、 - - - - -第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 18. 如图， 已知抛物线y=ax2+bx+c（a0）的对称轴为直线x=1，且抛物线经过A （1，0） ，C（0，3）两点，与x 轴交于点 B（1）若直线 y=mx+n经过 B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；（2） 在抛物线的对称轴x=1 上找一点 M ， 使点 M到点 A的距离与到点C的距离之和最小，求出点 M的坐标；（3）设点 P为抛物线的对称轴x=1 上的一个动点，求使BPC为直角三角形的点P的坐标精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - -

7、 - - - - - - - -第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 德阳外国语学校初三数学竞赛答案一、选择题（本题满分35 分，每小题5 分）1、B2、C3、D4、C 5、D 6、D7.C 二、填空题（本大题满分35 分，每小题5 分）8、 2 2 9、0 或 2，-2 10、121,12010 xx11、712.01b13.7114.10034016三、 （本大题满分80 分，每小题20 分）15. 连接 OC 、OP ；C 为半圆弧的三等分点，BOC=120 .（5 分）已知 PC 、PB都是O 的切线，由切线长定理知： POB=12BOC=60 . （10 分

8、）在 RtPOB中， OB=a ，POB=60 ，则PB=3a (15 分)在 RtABP中，由勾股定理得：22222(3 )7APABBPaaa .(20 分 )16. 解：设方程x2+kxk+1=0 的两个不相等的正整数根为a，b（ab），根据根与系数的关系有：a+b=k，ab=k+1.（5 分）消去 k 有：ab=a+b+1，即（ a1）（ b1）=2 . （10 分）a，b 是正整数，只有a1=1，b1=2，a=2，b=3， .(15 分)2+3=k 故 k 的值为 5 . (20 分)精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 -

9、- - - - - - - - -第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 17. 解： , 将 PAD绕点 D逆时针旋转90到PCD 的位置，连接PP ，ADC=90 ， DA=DC ，DA与 DC重合， PDP =ADC=90 ，PC=AP=1 ，DP =DP=， APD= DP C，DPP 为等腰直角三角形，PP =DP=2，DPP =DP P=45 ，.（5 分）在PP C 中， PC=，PP =2，PC=1 ，PC2+PC2=PP2，PP C 为直角三角形， PCP=90 .（10 分） ，而 PC=PP ，PPC=30 ，PP C=60 ，DP C= DP P

10、 +PP C=45 +60=105，APD=105 ， APD+ DPP +PPC=105 +45+30=180，点 A、P 、C共线， .（ 15 分）阴影部分为等腰直角三角形，斜边为（+1），阴影部分的面积SABCP= （）2= .（20 分）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 18. 解：（ 1）依题意得：，解之得：，抛物线解析式为y=x22x+3 . （3 分）对称轴为x=1，且抛物线经过A（1，0），把 B（ 3，0）、C（

11、0，3）分别代入直线y=mx+n ，得，解之得：，直线 y=mx+n的解析式为y=x+3； . （6 分）（2）设直线 BC与对称轴 x=1 的交点为 M ，则此时 MA+MC 的值最小把 x=1 代入直线 y=x+3 得， y=2， M （1，2），即当点 M到点 A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为 （ 1，2）； .（11 分）（3）设 P（ 1，t ），又 B（ 3，0）， C （0，3）， BC2=18，PB2=（ 1+3）2+t2=4+t2，PC2=（ 1）2+（t 3）2=t26t+10 ， . （14 分）若点 B为直角顶点，则BC2+PB2=PC2即： 18+4+t2=

12、t26t+10 解之得： t= 2；若点 C为直角顶点，则BC2+PC2=PB2即： 18+t26t+10=4+t2解之得： t=4 ，若点 P为直角顶点，则PB2+PC2=BC2即： 4+t2+t26t+10=18 解之得： t1=，t2=；综上所述 P的坐标为 （ 1，2）或（ 1，4）或（ 1，） 或（ 1，） . （20 分）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 11、解：由 14(a2b2c2)(a2b3c)2 ，得 13a2

13、10b25c24ab6ac12bc0， （5 分）配方得 (3ac)2(2ab)2(3b2c)20，（10 分）所以 3ac0，2ab0， 3b2c0，即 c3a，b2a （15 分）代入22223abcabacbc得22223abcabacbc222222827236aaaaaa3611（分）解法二：由14(a2b2c2)(a2b3c)2 ，得 13a210b25c24ab6ac12bc0， （5 分）5c2(365ab)c365ab213a210b24ab2(36 )5ab0，5(c365ab)2565 a2145b2565 ab0，所以 5(c365ab)2145(2ab)20， （10 分）由此得， c365ab0，2ab0，解得 b2a，c3a （15 分）代入22223abcabacbc得22223abcabacbc222222827236aaaaaa3611（分）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - - -