第五章-积分论(共22页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上第五章 积分论教学目的： 1.掌握可测函数的L积分的一些基本性质,包括积分的线性性质,Levi单调收敛定理和Fatou定理.3.掌握积分的不等式性质和积分的绝对连续性以及积分号下取极限的问题,即控制收敛定理.应注意分清定理的条件和结论.重点难点： 1.定义积分的过程分三个步骤,逐步定义非负简单函数,非负可测函数和一般可测函数的积分.其中第一,二个步骤要验证定义的合理性.本节定义非负简单函数的积分.2.Levi单调收敛定理和Fatou定理.应注意分清各个定理的条件和结论.3.一般测度空间上的积分,除了具有一些与经典积分类似的性质外,还具有一些新的性质.应注意比较.除了应

2、了解积分的基本性质外,还应注意掌握一些基本的证明技巧.引 言有100张各种面值的纸币,求总币值.:,的值有10种(略去1,2,5分),. 在上取,.两种方法:(i)从左到右累加(按人民币的次序分类)(ii)按币值分类再相加对每一,把所有取的区间相加. 如:对 Riemann不可积.而对Lebesgue:,即个1加上个0结果为0.所以.对于前述有限张人民币,取有限个值,相当于简单函数.所以介绍Lebesgue积分,我们从最简单开始.5.1非负简单函数的L积分设D是可测集,是有限个或可数个两两不相交的D的可测子集,使得,则称为D的一个分割.(与数学分析一样,只不过此处不一定是区间,是一般集合)以

3、“是区间”为例.若不是,则是推广的“长方形”,其面积也为设是可测集D上的非负简单函数.此时可以表示为其中是D的一个分割,都是非负实数,此时在D 上Lebesgue积分定义为:并且当时,称在D 上L可积.(此时,未必D测度有限,因时,可能)如:Dirichlet函数就是一个简单函数.下介绍L积分的基本性质.定理5.1.1 设和是可测集D上的两个非负简单函数,而且 a.e.D,则它们在D上的积分相等.(如: 与就是a.e.相等)证明:设 ,其中是D的一个分割,都是非负实数; ,其中是D的一个分割,都是非负实数.此时只要不是零测集(在其上为,在其上为),就有.这样不管是否为零测集,都有于是 (,两两

4、不交)类似:可见,L积分与R积分的差别是L积分不计较零测集.定理5.1.2 设和都是可测集D上的非负简单函数.(i)若 a.e.D 则;(ii),特别时, ;(iii)若和是两个非负实数,则(iv)若A和B是D的两个不相交的可测子集,则证明:(i)与定理5.1.1证明类似,只需注意当不是零测集时.(ii) 两两不交(iii)由于是D的一个分割,并且从而(iv) 以上为简单函数的L积分,若只在D非负可测,由前面,有非负简单函数列,则.有无问题?若又有,则.二者等吗?引理5.1.1 设和都是D上非负简单函数,若满足(i)对几乎所有,单增;(ii) a.e.D 则 .证明:令 ,则是非负简单函数,且

5、在D上几乎处处收敛于.情形1.由Egoroff定理,对任何,有D的可测子集,使,而且在上,一致收敛于,从而有,使 即 由定理5.1.2从而 另一方面这样而,也有限,任意,所以情形2.此时对每一,令,则.由已证,有(*)而 (因,)又,所以,于是(单增时,测度和极限符号交换序)(*)式中令,得定理5.1.3 设和是可测集D上两列非负简单函数,而且对几乎所有的,都单增收敛于相同的极限,则证明:任意固定,则对几乎所有的,有 a.e.D由引理5.1.1令(与无关) 类似所以5.2 非负可测函数的L积分现在我们来定义非负可测函数的Lebesgue积分.设是可测集D上的非负可测函数.(由定理4.2.1)有

6、D上的非负简单函数列,使对每一个,此时在D上的Lebesgue积分定义为若,则称在D上L可积.(由此得L积分唯一)注意:由定理5.1.3,上述的积分值与的选取无关.定理5.2.1 设和都是可测集D上的非负可测函数.(i)若和是两个非负实数,则(ii)若A和B是D的两个不相交的可测子集,则(iii)若 a.e.于D, 则.证明用定义及定理5.1.2.如(i),由已知有非负简单函数列,所以非负简单函数列,于是(ii)(iii)类似.问题:1.现在,都非负可测, ,则？此Levi单调收敛定理.(此处非负可测,不是非负简单函数)2.非负可测,则与关系？此Fatou定理.前面,是D上非负可测函数,则有简

7、单函数列,使对每一,此时.的值与无关,这样才有意义,否则不唯一.定理5.2.2 (Levi单调收敛定理)设,都是可测集D上的非负可测函数,而且对所有的,则.(注意: 不是简单函数,证法有多种)证明:对每一,有非负简单函数列,使 令,则是非负简单函数,而且 (1) (2)从而 (3)在(2)和(3)中固定,令,分别有下面的(4)和(5) (4) (5)在(4)和(5)中再令,得(6),(7) 即(6),即(7)由非负简单函数及的定义再由(7)得此定理是整个积分的基础,重要!与数学分析不一样.Riemann积分无类似的定义或性质,对(R) ,是否,都在上R可积,非负.此外,就有?结论对.但在数学分

8、析中证不出来.而在实变函数中可以如下证:由Levi单调收敛定理,有.又由R积分和L积分是两种不同算法,R可积L可积且二者值相等,因此L换成R也有上述等式.(以后将证)推论(逐项积分)设是可测集D上一列非负可测函数,则证明:对每一,由定理5.2.1.(i)现在, ,满足Levi单调收敛定理,因此下面一个重要性质,对定理5.2.2,去掉,把去掉,即定理5.2.3(Fatou)设()都是可测集D上的非负可测函数,则.问:下极限怎样用上、下确界表示?答: (由于) (此种说法更好!表示与前面有限项无关)证明:对每一,令 则对每一,是非负可测函数(由定理4.1.4),由Levi单调收敛定理又显然(因是从

9、开始的下确界) 所以 而 于是问:R可积的函数非负, 在上.是否R可积?(注意:R积分必须定义在有界闭区间上;R积分要求被积函数有界.)答:否.例如:设是上有理数全体,令 则(因越大,取1的越多).这时R可积,但不R可积. R积分致命之处即在于此!问:为什么是R可积的?因对任意的,有有限个间断点.注:令.则 ()说明Fatou定理中不等式不能改为等式. 例题5.2.1.在上非负连续,则 (以后讲更一般的)以,为例.要证证明:把等分,分点(因闭区间上连续从而可以达到最小值)其中 此时, .其次,对每一,在定义如下非负简单函数 则为非负简单函数.又对每一,所以.(见幻灯片R积分和L积分相等)问：又

10、问:在上是否L可积?若L可积,求积分值.答: 非负可测, .由Levi单调收敛定理 (即)其中而在非负连续,由上面例, 所以即.把无穷区间人为地掐断,这是最典型的Levi定理的应用.5.3 一般可测函数的Lebesgue积分设是可测集D上的可测函数.对每一,令 它们分别称为函数的正部和负部,都是非负可测函数. 现若和至少有一个在D上可积(即有其一,有限),此时在D上的L积分定义为此外,当有限时(即,都有限,或说,都可积),称在D上可积,并记.(表示的是:D上可积函数全体)定理5.3.1 设是可测集D上的可测函数.(i)为使.而且当条件满足时,.(ii)若,则在D上几乎处处有限.(iii)若也是

11、D上的可测函数,而且 a.e.D,则当和中有一个在D上可积时,另一个也在D上可积,而且它们的积分值相等.注:本定理中的(i)是L积分和R积分的一个重要差别.如改一下: ,则不R可积,但R可积.证明: (i)由定义知,可积等价于和都可积,又等价于可积.而所以.(ii)若,则.从而对每一 令得又, 所以 同理 即在D上几乎处处有限.(iii)此时 a.e.D a.e.D 都非负可积由定义及定理5.2.1,结论成立.定理告诉我们,一个函数是否可积,与它在一个零测集上的值是没有关系的,其积分值的大小也与之无关.因此以后对一个可积函数来说,可以认为它处处有限.推论1 若,是的可测子集,则.(证明:因,由

12、定理5.3.1, ,从而,所以.)推论2 若在测度有限的可测集D上有界,则.特别若是是上的有界可测函数,则.证明:看,设.因,所以在D上可积.此时所以.定理5.3.2 设.则(i) 并且=.(ii)若是实数,则并且.(iii)若A和B是D的两个不相交的可测子集,则.(iv)对任何,有D上取有理数值的简单函数使.证明: (i)由 知.又 所以(转化为非负可测函数的性质)两边取积分(每项都是有限的数),再移项得()即 =所以=.(ii)因为,所以时 ,时 ,所以时 时同样可得.(iii)分正、负部,利用积分定义和定理5.2.1立即可得.(iv)先设非负,取 (定理4.2.1中的)则是非负简单函数且

13、.于是:而 即 所以取适当的作为,(iv)得证.对一般的,需考虑和.定理5.3.3(控制收敛定理)设和都是可测集D上的可测函数.若满足(i) a.e.D(ii)存在,使对每一, a.e.D则和()都在D上可积,并且(此类似Levi单调收敛定理,但此处不单调,有正有负)R积分无此性质,如.问.不妨设 则而证明思路:关键上 a.e.D 可得.由知有限.从而和都可积.最后一步: ,由Fatou定理即 (而一串数列,有:,即上下极限关系)这样, 从而即例5.3.1.设,求证:证明:记.由于,所以由控制收敛定理,对每一个,作为的函数在上L可积.即 任取记又 (中值定理)所以由控制收敛定理即 .定理5.3

14、.4(积分的可数可加性)设,是D的一个分割.则证明:不妨设(若不然可分别考虑正、负部).对每一 则非负并且对每一 (因越大,进到的点越多,变成)由Levi单调收敛定理即 例5.3.2.,求.(或证: )解:此时是的一个分割.所以复习R积分:我们知道,在上R可积 则对,有从而,若,只要足够小,则.即,有,只要,就有.与位置无关,只与二者距离有关.现将R积分变为L积分,则无需.此即定理5.3.5(积分的绝对连续性)设,则对任何,存在,使得对D的任何可测子集A,只要,就有.分析:L积分性质:L可积函数与简单函数差不多.考察 (因) (只需取)(1)的证明:由当然可测,从而是一列简单函数的极限.不妨设,则非负.从而由Levi单调收敛定理,;也可以说,由,则有非负简单函数,使;也或者说可积函数和简单函数差不多.证明:取简单函数,使.令,取,则对任何,我们有(此题用了“L可积函数与简单函数差不多”.即,则,存在简单函数,使.其相当重要.证明如下:由,则,都为D上的非负可测函数.由分析中的(1)已证有非负简单函数,使 .于是令,则为简单函数.这样即L可积函数与简单函数差不多,也即.专心-专注-专业