立体几何大题训练(共63页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上17（本小题满分12分）MSDCBA如图，在四棱锥中，平面平面，是线段上一点，（1）证明：平面；（2）设三棱锥与四棱锥的体积分别为与，求的值（1） 证明: 平面平面,平面平面,平面，平面,1分平面 2分四边形是直角梯形，,都是等腰直角三角形,4分平面，平面，,平面6分（2） 解: 三棱锥与三棱锥的体积相等,由( 1 ) 知平面,得,9分设由,得从而 12分18. ( 本小题满分14分)已知正方体ABCDA1B1C1D1，其棱长为2，O是底ABCD对角线的交点。求证：（1）C1O面AB1D1；（2）A1C面AB1D1。 （3）若M是CC1的中点，求证：平面AB1D1平面

2、MB1D1M 证明：（1）连结，设连结， 是正方体 是平行四边形且 又分别是的中点，且是平行四边形 面，面面 5分（2）面 又， 同理可证， 又面 9分（3）设B1D1的中点为N,则ANB1D1,MNB1D1,则（也可以通过定义证明二面角是直二面角） 14分19.（本小题满分14分） 如图，已知三棱锥A-BPC中，APPC, ACBC， M为AB中点，D为PB中点，且PMB为正三角形。 () 求证：DM平面APC： () 求证：平面ABC平面APC； () 若BC=4，AB=20，求三棱锥D-BCM的体积19. 解：() 由已知得，MD是ABP的中位线 MDAP 2分 面APC，面APC MD

3、/面APC 4分 ()PMB为正三角形，D为PB的中点， MDPB， 5分 APPB 6分 又 APPC, PBPC=P AP面PBC 7分 面PBC APBC 又BCAC，ACAP=ABC面APC 9分 面ABC平面ABC平面APC 10分 （）MD面PBC，MD是三棱锥M-DBC的高，且 11分 又在直角三角形PCB中，由PB=1O，BC=4，可得 12分 于是 13分 14分16（本小题满分12分）在边长为的正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，M、N分别为AB、CF的中点，现沿AE、AF、EF折叠，使B、C、D三点重合，构成一个三棱锥（1）判别MN与平面AEF的位置关系，并给

4、出证明；（2）求多面体E-AFMN的体积（1）因翻折后B、C、D重合（如图），所以MN应是的一条中位线，3分则6分（2）因为平面BEF，8分且，10分又12分19（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面为菱形，为的中点。 （1）若，求证：平面平面； （2）点在线段上，试确定的值，使平面； 19解：（1）连BD，四边形ABCD菱形， ADAB， BAD=60ABD为正三角形， Q为AD中点， ADBQPA=PD，Q为AD的中点，ADPQ又BQPQ=Q AD平面PQB， AD平面PAD平面PQB平面PAD（2）当时，平面连AC交BQ于N由可得，平面，平面，平面平面， 即： 18(本题满分14分)

5、 如图，三角形ABC中，AC=BC=，ABED是边长为1的正方形，平面ABED底面ABC，若G、F分别是EC、BD的中点()求证：GF/底面ABC；()求证：AC平面EBC；()求几何体ADEBC的体积V18解：（I）证法一：取BE的中点H，连结HF、GH，（如图1）G、F分别是EC和BD的中点HG/BC，HF/DE，2分图1又ADEB为正方形 DE/AB，从而HF/ABHF/平面ABC，HG/平面ABC, HFHG=H,平面HGF/平面ABCGF/平面ABC5分证法二：取BC的中点M，AB的中点N连结GM、FN、MN（如图2）G、F分别是EC和BD的中点图22分又ADEB为正方形 BE/AD

6、，BE=ADGM/NF且GM=NFMNFG为平行四边形GF/MN，又，GF/平面ABC5分证法三：连结AE，ADEB为正方形，AEBD=F，且F是AE中点，2分GF/AC，又AC平面ABC，GF/平面ABC5分（）ADEB为正方形，EBAB，GF/平面ABC5分又平面ABED平面ABC，BE平面ABC 7分BEAC 又CA2+CB2=AB2ACBC, BCBE=B, AC平面BCE 9分（）连结CN，因为AC=BC，CNAB， 10分又平面ABED平面ABC，CN平面ABC，CN平面ABED。 11分三角形ABC是等腰直角三角形， 12分CABED是四棱锥,VCABED= 14分18（本题满分

7、14分）如图，己知中，且 （1）求证：不论为何值，总有 （2）若求三棱锥的体积18(1）证明：因为AB平面BCD，所以ABCD，又在BCD中，BCD = 900，所以，BCCD，又ABBCB，所以，CD平面ABC， 3分又在ACD，E、F分别是AC、AD上的动点，且 所以，不论为何值，EF/CD,总有EF平面ABC： 7分（2）解：在BCD中，BCD = 900，BCCD1，所以，BD,又AB平面BCD，所以，ABBD，又在RtABD中，AB=BDtan。 10分 由（1）知EF平面ABE，所以，三棱锥ABCD的体积是 14分18.（本小题满分14分）如图4，在四棱锥中，平面平面，ABCPD是

8、等边三角形，已知， （1）求证：平面； （2）求三棱锥的体积18.（本小题满分14分）(本小题主要考查空间线面关系、锥体的体积等知识, 考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力)（1）证明：在中，由于， . 2分 又平面平面，平面平面，平面，平面. 4分（2）解：过作交于.又平面平面， 平面 6分是边长为2的等边三角形， .由（1）知，在中，斜边边上的高为. 8分，. 10分. 14分17（本小题满分14分）如图，已知四边形与都是正方形，点E是的中点， (1) 求证：平面BDE；(2) 求证：平面平面BDE 17（1）设BD交AC于M，连结MEABC

9、D为正方形，所以M为AC中点， 2分E为的中点ME为的中位线 4分 平面BDE 6分 （2） 8分 18（本题满分14分）右图为一简单集合体，其底面ABCD为正方形，平面，且=2 .（1）画出该几何体的三视图；（2）求四棱锥BCEPD的体积；（3）求证：平面 18（本小题满分14分）解：（1）该组合体的主视图和侧视图如右图示：-3分(2)平面，平面平面平面ABCD BC平面-5分-6分四棱锥BCEPD的体积.-8分(3) 证明：，平面，平面EC/平面,-10分同理可得BC/平面-11分EC平面EBC,BC平面EBC且 平面/平面-13分又BE平面EBC BE/平面PDA-14分18（本小题14

10、分）图5直观图俯视图如图，四棱锥，在它的俯视图中，求证：是直角三角形；求四棱锥的体积18解:由已知，点在底面上的投影是点，所以因为、，所以，因为，所以，因为，所以平面，所以，是直角三角形连接，因为，所以是等边三角形在中，根据多边形内角和定理计算得又因为，所以所以，所以又，所以，四棱锥的体积18.（本小题满分l4分） 如图，正方体ABCD-中，E是中点(1)求证：/平面BDE；(2)求证：平面平面BDE.18 (1)证明：连结AC交BD于O，连结EO2分 在中，E、O均为中点 EO/，又平面BDE4分 /平面BDE6分 (2)证明：依题意： 平面 8分 同理 平面,又EO/ EO平面. l2分

11、又平面BDE 平面平面BDEl4分18.（本小题满分14分）E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D 如图，在直四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AB/CD，AB=4, BC=CD=2, AA=2, E、E分别是棱AD、AA的中点. （1）设F是棱AB的中点,证明：直线EE/平面FCC；（2）证明:平面D1AC平面BB1C1C.18证明:（1）在直四棱柱ABCD-ABCD中，取A1B1的中点F1，E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D F1连接A1D，C1F1，CF1，因为AB=4, CD=2,且AB/CD，所以CDA1F1，A1F1CD为平行四边形

12、， 2分所以CF1/A1D， 又因为E、E分别是棱AD、AA的中点，所以EE1/A1D， 3分所以CF1/EE1， 4分又因为平面FCC， 5分平面FCC， 6分所以直线EE/平面FCC. 7分E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D （2）连接AC,在直棱柱中，CC1平面ABCD,AC平面ABCD,所以CC1AC, 8分因为底面ABCD为等腰梯形，AB=4, BC=2, F是棱AB的中点,所以CF=CB=BF，BCF为正三角形，10分,ACF为等腰三角形，且所以ACBC, 又因为BC与CC1都在平面BB1C1C内且交于点C,所以AC平面BB1C1C, 12分而平面D1AC, 13

13、分BEADC18（本小题满分14分）如图，在长方体中，点在棱的延长线上，且（）求证：平面；（）求证：平面平面；（）求四面体的体积18（本小题满分14分）解：（）证明：连四边形是平行四边形 2分则 BEADC 又平面，平面/平面 5分（）由已知得则 6分由长方体的特征可知：平面而平面， 则 9分平面 又平面平面平面 10分（）四面体D1B1AC的体积 14分18（本小题满分14分）如图，三棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，E、F分别为PC、BD的中点，侧面PAD （1）求证：EF/平面PAD； （2）求三棱锥CPBD的体积。18（本小题满分14分） 解：（1）证明：连结AC，则F

14、是AC的中点，E为PC的中点 故在 3分 且 6分 （2）取AD的中点M，连结PM， 8分又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，PM平面ABCD， 10分 4分如图所示是一个几何体的三视图（单位：cm），试画出它的直观图，并计算这个几何体的体积与表面积。 5正视图侧视图俯视图10158解：这个几何体和直观图如图所示；如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形。求证：。ABCDEFGH立体几何专题训练(1)GBFEDCA1、 如图，空间四边形ABCD中，E、F、G分别是AB、BC、CD的中点。求证：（1）BD/平面EFG；（2）AC/平面EFG。

15、SDBACM2、如图，ABCD为平行四边形，S是面ABCD外一点，M为SC的中点。求证：SA/面MDB。PEDCBA3、如图，四棱锥P-ABCD中，PB底面ABCD，底面ABCD为直角三角梯形，AD/BC，ABBC，AB=AD=PB=3，BC=6，点E在棱PA上，且PE=2EA。求证：PC/平面EBD。DCBAD1C1B1A1NMK4、如图，在长方体中，M，N，K分别是AB，CD，的中点。求证：平面MNK/平面。CBAD1C1B1A1D5、 如图，在正方体中。求证：平面/平面。6、如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，SD底面ABCD。求证：BCSC。DSCBAPCBAH7、已知P是所在平面

16、外一点，PA，PB，PC两两垂直，H是的垂心。求证：PH平面ABC。SDCBA8、如图，SA平面ABC，ADSC。求证：AD平面SBC。9、 如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=。求证：AO平面BCD。OEDCBAMNDCBA10、如图所示，直线AD，CD，BC两两垂直，且BC与AD是异面直线。已知BC=3，CD=4，AB=13，点M，N分别是线段AB，AC的中点。求证：平面MND平面ACD。11、如图，已知AB为圆O的直径，C是圆周上异于A、B的点，PA垂直圆O所在的平面，AEPB，垂足为E，AFFC，垂足为F。求证：平面AEF平面P

17、BC。PEFCBADCBAD1C1B1A112、如图所示，在长方体中，连结。求三棱锥的体积。ODCBAA113、如图，在矩形ABCD中，AB=10，BC=6，将矩形沿对角线BD把折起，使A移到，且在面BCD内的射影O恰好落在CD上。求三棱锥的体积。14、如图，在矩形ABCD中，已知AB=PA=1，BC=2，平面ABCD，Q为BC的中点。求A到平面PDQ的距离。QDCBAP15、如图，在长方体中，E、F分别为的中点。（1）求证：平面BCE；（2）求证：AF/平面BDE。CAED1C1B1BDFA116、如图，在长方体中，M、N分别为棱AB和对角线的中点。（1）求证：MN/平面；（2）求证：MNC

18、D。MNCAD1C1B1BDA117、如图，在三棱锥P-ABC中，E、F、G、H分别是AB、AC、PC、BC的中点，且PA=PB，AC=BC。（1）求证：ABPC；（2）求证：PE/平面FGH。EFCAHPGBC1D1AA1B1DBCE18、 如图，在长方体中，AB=BC=1，E是棱上的点，且。（1）求证：平面BDE；（2）求三棱锥C-BED的体积。19、 如图，在正方体中，E为棱的中点。（1）求证：；（2）求证：AC/平面；（3）求三棱锥A-BDE的体积。CBAD1C1B1A1DEDCB1C1A1AB20、 如图，在三棱锥中，侧棱底面ABC，AC=3，BC=4，AB=5，点D是AB的中点。（

19、1）求证：AC；（2）求证：/平面。21、 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，EFPB交PB于点F。（1）求证：PA/平面EDB；（2）求证：PB平面EFD。BCPADEF22、 如图，已知是正三角形，EA、CD都垂直于平面ABC，且EA=AB=2a，DC=a，F是BE的中点。（1）求证：FD/平面ABC；（2）AF平面EDB。DCBAEF23、 如图，四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，BAAD，CDAD，CD=2AB，PA底面ABCD，E为PC中点，PA=AD=AB=1。（1）求证：EB/平面PAD；（2）求证：BE平面P

20、DC；（3）求三棱锥B-PDC的体积。EPDCBA24、如图，在棱长为2的正方体中，E、F分别是、BD的中点。（1）求证：EF/平面；（2）求证：EF；（3）求三棱锥的体积。FCBAD1C1B1A1DE16. (本小题满分12分)一个多面体的直观图，正（主）视图，侧（左）视图如下所示，其中正（主）视图、侧（左）视图为边长为的正方形。（）请在指定的框内画出多面体的俯视图；（）若多面体底面对角线交于点，为线段的中点，求证: 平面（）求该多面体的表面积；16.解：（）根据多面体的直观图、正（主）视图、侧（左）视图，得到俯视图如下(如果俯视图形状正确，但未标明边长，适当扣1分) 2分（）证明：如上图，

21、连接交于O点，因为为的中点，为AC的中点，所以在中，OE为的中位线， 3分所以，4分平面， 平面，6分所以平面7分（）多面体表面共包括10个面，8分9分 10分11分所以表面积12分18(本小题满分14分) 如图，在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PD=4，DC=3，E是PC的中点。(1)证明：PA/平面BDE：(2)求PAD以PA为轴旋转所围成的几何体体积。18.解:(1)连接A,C交BD于O,连接EO 2分 ABCD是正方形, O为AC中点,E为PA的中点, OE/PA 5分 又OE平面BDE,PA平面BDE PA/平面BDE 7分(2)过D作PA的垂线,

22、垂足为H, 则几何体为DH为半径,分别以PH,AH为高的两个圆锥的组合体 侧棱PD底面ABCD PDDA,PD=4,DA=DC=3, PA=5 9分 10分 12分 14分18. (本小题满分14分)已知四棱锥的三视图如下图所示，是侧棱上的动点.(1) 求四棱锥的体积；(2) 若是的中点，求证：平面 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (3) 是否不论点在何位置，都有？证明你的结论ABCDPE18.() 由三视图可知，四棱锥的底面是边长为1的正方形，侧棱底面，且. 2分，即四棱锥的体积为. 4分() 连结、，是正方形，是的中点，且是的中点， 6分 9分()不论点在何位置，都有. 10分证明

23、如下：是正方形，. 底面，且平面，. 12分又，平面. 不论点在何位置，都有平面. 不论点在何位置，都有. 14分16（本小题满分14分）如图，矩形中，为上的点，且.（1）求证：；（2）求证；（3）求三棱锥的体积.ks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5u（1）证明：， , ，-1分, . ，-2分, . -3分, . -4分 （2）证明：依题意可知：是中点, . -5分, 是中点. 在中，, -6分 , . -8分（3）解： ，. . -9分 是中点,是中点, 且 -10分 , 在Rt中，. , -11分. -14

24、分18.(本小题满分14分)如图，在四棱锥P-ABCD中，平面ABCD，且BD平分E为PC的中点，AD=CD=1，BC=PC，(1)求证：PA平面BDE：(2)求证：平面PBD；(3)求四棱锥P-ABCD的体积(1)证明：设,连结EH，在中，且DB平分,H为AC的中点，E为PC的中点，EH/PA.平面BDE，平面BDE，PA平面BDE； 5分(2)证明：平面ABCD,平面ABCD，,由(I)知平面PBD，平面PBD，平面PBD; 9分另证：平面ABCD，平面PBD，平面平面ABCD,由(I)知平面平面ABCD=BD,平面ABCD,平面PBD. 9分(3)解:在中，DC=1，得在中,，从而PD=

25、2,11分 13分故四棱锥P-ABCD的体积 14分18（本小题满分14分）如图5，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱底面ABC，D为AC的中点， （1）求证：AB1/平面BC1D； （2）求四棱锥BAA1C1D的体积。17、（本小题满分14分）在图1所示的等腰梯形ABCD中，E、F分别是CD、AB中点，CD2，AB4，ADBC.沿EF将梯形AFED折起，使得AFB60，连接AB、CD，所得几何体的直观图如图2所示.（1）若G为FB的中点，求证：AG平面BCEF；（2）画出该几何体的俯视图.ABCDEFG图2ABCDEF图1（3）求平面ACE将该几何体所分成的两部分的体积之比.17解（1）因为

26、AFBF，AFB60，AFB为等边三角形.ABCDEFG图2又G为FB的中点，所以AGFB. 1分在等腰梯形ABCD中，因为E、F分别是CD、AB的中点，所以EFAB.于是EFAF，EFBF，则EF平面ABF，所以AGEF. 3分又EF与FB交于一点F，所以AG平面BCEF. 4分（2）7分(3) 平面ACE将该几何体所分成的两部分为四棱锥ABCEF和三棱锥ACDE8分由题意易知梯形BCEF的面积为：，由（1）可得AG=为四棱锥ABCEF的高，10分同（1）分析可得EF平面DCE，故平面ABF与平面DCE平行，A与F到平面DCE的距离相等且为EF的长1，三角形CDE为边长等于1的正三角形，其面

27、积为，12分13分平面ACE将该几何体所分成的四棱锥A-BCEF和三棱锥A-CDE体积之比为6：1 （14分） 18（本小题满分14分）如图，在棱长为1的正方体中，是的中点ABCDEAAA（1）求证：平面；（2）在对角线上是否存在点，使得平面？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由18（本小题满分14分）（1）证明：连结，交于点，连结1分因为四边形是正方形，所以是的中点，又是的中点，所以3分因为平面，平面，所以平面5分（2）解：在对角线上存在点，且，使得平面6分证明如下：因为四边形是正方形，所以7分因为平面，平面，所以8分因为，所以平面9分因为平面，所以平面平面10分作于，因为，所以11分因为

28、平面，平面平面，所以平面12分由，得所以当时，平面14分18（本小题满分14分）.如图，边长为的正方形所在的平面与正三角形ABC所在平面垂直，D是BC的中点， （I）求证： （II）求证：A1C/平面AB1D； （III）求的体积故 12分A1C平面AB1D. 9分 （3）A1A. A1A 平面AA1D，平面AA1D， 平面AA1D10分11分由=其中= 13分 18（本小题满分14分）如图, 在直三棱柱中，,，点是的中点，（1）求证：； （2）求证：；（3）求三棱锥的体积。 = 14分18解 ：（1）直三棱柱，底面三边长，,， ，又， 5分（2）设与的交点为，连结，是的中点，是的中点，。 10分（3） 14分16（本小题满分12分）如图6，已知正三棱柱ABCA1B1C1中，D是BC的中点。 （1）求证：平面AB1D平面B1BCC1； （2）求证：A1C/平面AB1D。 证明：（1）因为B1B平面ABC，AD平面ABC，所以ADB1B （2分）因为D为正ABC中BC的中点，所以ADBD （2分）又B1BBC=B， 所以AD平面B1BCC1 （4分）又AD平面AB1D，故平面AB1D平面B1BCC1 （6分） （2）连接A1B，交AB1于E，连DE （7分）因为点E为矩形A1ABB1对角线的交点，所以E为AB1的中点 （8分）