随机过程习题及答案(共19页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上一、 1.1设二维随机变量(,)的联合概率密度函数为： 试求:在时,求。解： 当时， 1.2 设离散型随机变量X服从几何分布： 试求的特征函数，并以此求其期望与方差。解： 所以： 2.1 2.2 设随机过程，其中是常数，与是相互独立的随机变量，服从区间上的均匀分布，服从瑞利分布，其概率密度为 试证明为宽平稳过程。解：（1） 与无关 （2） ， 所以 （3） 只与时间间隔有关，所以为宽平稳过程。2.32.42.53.1一队学生顺次等候体检。设每人体检所需的时间服从均值为2分钟的指数分布并且与其他人所需时间相互独立，则1小时内平均有多少学生接受过体检？在这1小时内最多有4

2、0名学生接受过体检的概率是多少（设学生非常多，医生不会空闲） 解：令表示时间内的体检人数，则为参数为30的poisson过程。以小时为单位。则。3.2在某公共汽车起点站有两路公共汽车。乘客乘坐1,2路公共汽车的强度分别为，当1路公共汽车有人乘坐后出发；2路公共汽车在有人乘坐后出发。设在0时刻两路公共汽车同时开始等候乘客到来，求（1）1路公共汽车比2路公共汽车早出发的概率表达式；（2）当=，=时，计算上述概率。解：法一：（1）乘坐1、2路汽车所到来的人数分别为参数为、的poisson过程，令它们为、。表示=的发生时刻，表示=的发生时刻。 （2）当=、=时，法二：（1）乘车到来的人数可以看作参数为

3、+的泊松过程。令、分别表示乘坐公共汽车1、2的相邻两乘客间到来的时间间隔。则、分别服从参数为、的指数分布，现在来求当一个乘客乘坐1路汽车后，下一位乘客还是乘坐1路汽车的概率。故当一个乘客乘坐1路汽车后，下一位乘客乘坐2路汽车的概率为1-上面的概率可以理解为：在乘客到来的人数为强度+的泊松过程时，乘客分别以概率乘坐公共汽车1，以的概率乘坐公共汽车2。将乘客乘坐公共汽车1代表试验成功，那么有：（2）当=、=时3.3设，是个相互独立的Poisson过程，参数分别为。记为全部个过程中，第一个事件发生的时刻。（1）求的分布；（2）证明是Poisson过程，参数为；（3）求当个过程中，只有一个事件发生时，

4、它是属于的概率。解：（1）记第个过程中第一次事件发生的时刻为，。则。由服从指数分布，有（2）方法一：由为相互独立的poisson过程，对于。这里利用了公式所以是参数为的poisson过程。方法二：当时，当时，得证。（3） 3.4 证明poisson过程分解定理：对于参数为的poisson过程，可分解为个相互独立的poisson过程，参数分别为，。解：对过程，设每次事件发生时，有个人对此以概率进行记录，且，同时事件的发生与被记录之间相互独立，个人的行为也相互独立，以表示为到t时刻第i个人所记录的数目。现在来证明是参数为的poisson过程。独立性证明：考虑两种情况的情形，即只存在两个人记录，一个

5、以概率，一个以概率记录，则是参数为的poisson过程，是参数为的poisson过程。得证。3.5 设是参数为3的poisson过程，试求（1）；（2）；（3）解：（1） （2） （3）3.6 对于poisson过程，证明时，解：3.7 设和分别是参数为，的Poisson过程，另，问是否为Poisson过程，为什么？解：不是，的一维特征函数为：参数为的Poisson过程的特征函数的形式为，所以不是poisson过程。3.8 计算，的联合分布解：3.9 对，计算。解： 3.10 设某医院专家门诊，从早上8:00开始就已经有无数患者等候，而每个专家只能为一名患者服务，服务的平均时间为20分钟，且每

6、名患者的服务时间是相互独立的指数分布。则8:00到12:00门诊结束时接受过治疗的患者平均在医院停留了多长时间。解：从门诊部出来的患者可以看作服从参数为3的泊松过程（以小时为单位）。 则在小时内接受治疗的患者平均停留时间为：当时，平均等待停留时间为。.11 是强度函数为的非齐次Poisson过程，是事件发生之间的间隔时间，问：（1）诸是否独立?（2）诸是否同分布？解：（1）。 从上面看出、不独立。 以此类推，不独立。 （2）； 分布不同。3.12 设每天过某路口的车辆数为：早上7:00 8:00,11:0012:00为平均每分钟2辆，其他时间平均每分钟1辆。则早上7:3011:20平均有多少辆

7、车经过此路口，这段时间经过路口的车辆数超过500辆的概率是多少？解：（1）记时刻7:00为时刻0，以小时为单位。经过路口的车辆数为一个非齐次poisson过程，其强度函数如下： 则在7：3011：20时间内，即时， 代表这段时间内通过的车辆数，它服从均值为如下的poisson分布。即：，在给定的时间内平均通过的车辆数为280。 （2）。3.13 0,t时间内某系统受到冲击的次数，形成参数为的poisson过程。每次冲击造成的损害，独立同指数分布，均值为。设损害会积累，当损害超过一定极限A时，系统将终止运行。以记系统运行的时间（寿命），试求系统的平均寿命。解：在内某系统受到的总损害为一个复合po

8、isson过程，其中。 系统的平均寿命为14 某商场为调查顾客到来的客源情况，考察了男女顾客来商场的人数。假设男女顾客来商场的人数分别独立地服从每分钟2人与每分钟3人的泊松过程。（1） 试求到某时刻时到达商场的总人数的分布；（2） 在已知时刻以有50人到达的条件下，试求其中恰有30位妇女的概率，平均有多少个女性顾客？解：设分别为（0,t）时段内到达商场的男顾客数、女顾客数及总人数。（1） 由已知，为强度的泊松过程，为强度的泊松过程；故，为强度的泊松过程；于是， （5分）（2） （5分） 一般地， 故平均有女性顾客 人 （4分） 4.1（1）对 （2）错 当时，有可能小于t（3）错，时，可能等于

9、n。4.2 更新过程的来到间隔服从参数为的分布。（1）试求的分布；（2）试证。解：（1） （2）由强大数定律： ，以概率1成立。 ， ，。 则：，故。4.3 对于Poisson过程证明定理4.1. 解： ； 。4.4 设，计算，。解：（1）（2） （3）4.5 一个过程有个状态，最初在状态1，停留时间为，离开1到达2停留时间为，再达到3，最后从回到1，周而复始，并且过程对每一个状态停留时间的长度是相互独立的。试求设且为非格点分布。解：记过程处于状态i记为开，从状态i+1到n，经过n再回到1，再到i-1这一过程记为关。 则有，。 设初始状态从1第一次到i需要时间。 则 。4.6 用交错更新过程原

10、理计算t时刻的寿命与剩余年龄的极限分布。解：为t时刻剩余寿命，为t时刻年龄。 若假设更新过程是将一个部件投入使用而一旦失效即更换所产生的，则表示在时刻t部件所使用的年龄，而表示它的剩余寿命。 令，即表示两次相邻更新的时间间隔，我们要计算，为此我们将一个开-关的循环对应于一个更新区间，且若在t时刻的年龄小于或等于x，就说系统在时刻t“开着”。换言之，在两次相邻的时间为的时间内，前x时间内系统“开着”，而其余时间“关着”。 那么若的分布非格点的，由定理4.10得到同理: 4.7 对t时刻最后一次更新取条件重新给出定理4.10的证明。解：表示时刻t前的最后一次更新。令对最后一次更新取条件概率有： ； ； ； 为非负不增函数，且，则由关键更新定理得到：。4.8 对延迟更新过程证明更新方程 解：，。 令，从上面可以推出： 专心-专注-专业