2022年关于《高等数学复习》教程.pdf

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1、精品 word ，欢迎共阅高等数学复习教程第一讲 函数、连续与极限一、理论要求1.函数概念与性质函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期）几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数）2.极限极限存在性与左右极限之间的关系夹逼定理和单调有界定理会用等价无穷小和罗必达法则求极限3.连续函数连续（左、右连续）与间断理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值）二、题型与解法A.极限的求法（1）用定义求（2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子）（3）变量替换法（4）两个重要极限法（5）用夹逼定理和单调有界定理求（6）等价无穷小量替换法（7）洛必达法则与Taylor 级数法（8）其

2、他（微积分性质，数列与级数的性质）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 精品 word ，欢迎共阅1.612arctanlim)21ln(arctanlim3030 xxxxxxxx（等价小量与洛必达）2.已知2030)(6lim0)(6sinlimxxfxxxfxxx，求解：20303)(6cos6lim)(6sinlimxxyxfxxxxfxxx72)0( 06)0( 32166 36cos216lim6 26sin36lim00

3、yyxyyxxxyyxxx362722 lim2lim)(6lim0020yxyxxfxxx（洛必达）3.121)12(limxxxxx（重要极限）4.已知 a、b 为正常数，xxxxba30)2(lim求解：令2ln)ln(3ln,)2(3xxxxxbaxtbat2/300)()ln(23)lnln(3limlnlimabtabbbaabatxxxxxx（变量替换）5.)1ln(102)(coslimxxx解：令)ln(cos)1ln(1ln,)(cos2)1ln(12xxtxtx2/100212tanlimlnlimetxxtxx（变量替换）6.设)( xf连续，0)0( ,0)0(ff，

4、求1)()(lim02002xxxdttfxdttf（洛必达与微积分性质）7.已知0,0,)ln(cos)(2xaxxxxf在 x=0 连续，求a 解：令2/1/)ln(coslim20 xxax（连续性的概念）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 精品 word ，欢迎共阅三、补充习题（作业）1.3cos11lim0 xxxexx（洛必达）2.)1sin1(lim0 xxctgxx（洛必达或Taylor）3.11lim2200 xx

5、txedtex（洛必达与微积分性质）第二讲 导数、微分及其应用一、理论要求1.导数与微分导数与微分的概念、几何意义、物理意义会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导）会求平面曲线的切线与法线方程2.微分中值定理理解 Roll 、Lagrange、Cauchy、Taylor 定理会用定理证明相关问题3.应用会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图会计算曲率（半径）二、题型与解法A.导数微分的计算基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导1.52arctan)(2tetyytxxyy由决定，求dxdy2.xyxyxxyysin)ln()(32由决定，求1|0 x

6、dxdy解：两边微分得x=0 时yxyycos，将 x=0 代入等式得y=1 3.yxxyyxy2)( 由决定，则dxdyx)12(ln|0B.曲线切法线问题4.求对数螺线)2/,2/ee（），在（处切线的直角坐标方程。解：1| ),0(|),(,sincos2/2/2/yeyxeyexxey2/5.f(x) 为周期为5 的连续函数，它在x=1 可导，在x=0 的某邻域内满足f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+o(x)。求 f(x) 在（ 6，f(6) ）处的切线方程。解：需求) 1( ),1()6( ),6(ffff或，等式取x-0 的极限有： f(1)=0 精品资料 - - -

7、 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 精品 word ，欢迎共阅)6(22) 1( 8)1 ( 4)1 ()1(3)1()1(limsin)sin1(3)sin1(lim0sin0 xyfftftftftfxxfxfttxxC.导数应用问题6.已知xexfxxxfxxfy1)( 2)( )(2满足对一切，)0(0)( 00 xxf若，求),(00yx点的性质。解：令0, 00, 0)( 00010000 xxxeexfxxxx代入，故为极小值点。7.23

8、) 1(xxy，求单调区间与极值、凹凸区间与拐点、渐进线。解：定义域), 1()1 ,(x：斜：铅垂；拐点及驻点2100 300 xyxxyxxy8.求函数xexyarctan2/) 1(的单调性与极值、渐进线。解：101arctan2/22xxexxxyx与驻点，2)2(xyxey与渐：D.幂级数展开问题9.xxdttxdxd022sin)sin(xnnnnxnnnnxnxxxdttxdxdnnxxxtxnntxtxtxdttxntxtxtxtx02)12(2622147302141732)12(2622sin)!12()1(! 31)sin()!12)(14() 1(7 ! 3131)si

9、n()!12)(14()() 1()(7 ! 31)(31)sin()!12()() 1()(! 31)()sin(或：20202sinsin)(sinxduudxdduudxdutxxx10.求)0(0)1ln()()(2nfnxxxxf阶导数处的在精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 精品 word ，欢迎共阅解：)(2)1(32()1ln(2213222nnnxonxxxxxxx=)(2)1(321543nnnxonxxxx2!

10、) 1()0(1)(nnfnnE.不等式的证明11.设)1 ,0(x，211)1ln(112ln1)1 (ln)122xxxxx，求证（证： 1）令0)0(,)1 (ln)1 ()(22gxxxxg；得证。单调下降，单调下降单调下降，时0)()(,0)( )( , 0)( )( ) 1 ,0(0)0( )0( ,0)1()1ln(2)( ),( ),( 2xgxgxgxgxgxgxggxxxgxgxg2）令单调下降，得证。,0)( ),1 , 0(,1)1ln(1)(xhxxxxhF.中值定理问题12.设函数 11)(，在xf具有三阶连续导数，且1)1 (,0)1(ff，0)0( f，求证：在

11、（ -1，1）上存在一点3)( f，使证：32)( ! 31)0( !21)0( )0()(xfxfxffxf其中 1 , 1),0(xx将 x=1，x=-1 代入有)( 61)0( 21)0()1 (1)( 61)0( 21)0()1(021ffffffff两式相减：6)( )( 21ff3)( )( 21)( 2121fff，13.2ebae，求证：)(4lnln222abeab证：)( )()(:fabafbfLagrange令ln2lnln,ln)(222ababxxf精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - -

12、 - - - -第 5 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 精品 word ，欢迎共阅令2222ln)()(0ln1)( ,ln)(eetttttt)(4lnln222abeab（关键：构造函数）三、补充习题（作业）1.23)0( ,11ln)(2yxxxf求2.曲线012)1 , 0(2cos2sinxyteytextt处切线为在3.exyxxexy1)0)(1ln(的渐进线方程为4.证明 x0 时22) 1(ln)1(xxx证：令3222)1(2)( ),( ),( ,)1(ln)1()(xxxgxgxgxxxxg02) 1( 0)1( ) 1(ggg，00), 1(

13、0),1 , 0(0 2 ,0 ), 1(2 ,0 ),1 , 0(ggxgxgggxggx第三讲 不定积分与定积分一、理论要求1.不定积分掌握不定积分的概念、性质（线性、与微分的关系）会求不定积分（基本公式、线性、凑微分、换元技巧、分部）2.定积分理解定积分的概念与性质理解变上限定积分是其上限的函数及其导数求法会求定积分、广义积分会用定积分求几何问题（长、面、体）会用定积分求物理问题（功、引力、压力）及函数平均值二、题型与解法A.积分计算1.Cxxdxxxdx22arcsin)2(4)4(22.Cxexdxexdxedxxexxxxtantan2sec) 1(tan2222223.设xxxf

14、)1ln()(ln，求dxxf)(精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 精品 word ，欢迎共阅解：dxeedxxfxx)1ln()(Ceexdxeeeexxxxxx)1ln()1()11()1ln(4.112122ln214)11(lim|arctan1arctanbbdxxxxxxdxxxB.积分性质5.)(xf连续，10)()(dtxtfx,且Axxfx)(lim0， 求)(x并讨论)( x在0 x的连续性。解：xdyyfxx

15、tyfx0)()(,0)0()0()0( 2/)0( lim2)0( )()()( 020AAxdyyfxxfxxx6.xxxtdtxfdxddttxtfdxd02222022)()(2)()()()(2202xxfydyfdxdxC.积分的应用7.设)(xf在0， 1连续，在 （0， 1） 上0)(xf， 且223)()( xaxfxxf，又)(xf与 x=1,y=0 所围面积 S=2。求)(xf，且 a=?时 S 绕 x 轴旋转体积最小。解：10242)(23)(23)(acdxxfcxxaxfaxxfdxd102250)()14(23)(adxyVxxaxf8.曲线1xy，过原点作曲线的

16、切线，求曲线、 切线与 x 轴所围图形绕 x 轴旋转的表面积。解：切线2/xy绕 x 轴旋转的表面积为5220yds曲线1xy绕 x 轴旋转的表面积为)155(6221yds总表面积为)1511(6三、补充习题（作业）1.Cxxxxdxxxcot2sinlncotsinsinln22.dxxxx13652精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 精品 word ，欢迎共阅3.dxxxarcsin第四讲 向量代数、多元函数微分与空间解析几何

17、一、理论要求1.向量代数理解向量的概念（单位向量、方向余弦、模）了解两个向量平行、垂直的条件向量计算的几何意义与坐标表示2.多元函数微分理解二元函数的几何意义、连续、极限概念，闭域性质理解偏导数、全微分概念能熟练求偏导数、全微分熟练掌握复合函数与隐函数求导法3.多元微分应用理解多元函数极值的求法，会用Lagrange 乘数法求极值4.空间解析几何掌握曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线的求法会求平面、直线方程与点线距离、点面距离二、题型与解法A.求偏导、全微分1.)(xf有二阶连续偏导，)sin(yefzx满足zezzxyyxx2 ，求)(xf解：uuececufff21)(0 2.yxzy

18、xyxyfxz2)()(1，求3.决定由0),(),()(),(zyxFyxxfzxzzxyy，求dxdz/B.空间几何问题4.求azyx上任意点的切平面与三个坐标轴的截距之和。解：adazzyyxx000/5.曲面2132222zyx在点)2,2, 1 (处的法线方程。C.极值问题6.设),(yxzz是由0182106222zyzyxyx确定的函数，求),(yxzz的极值点与极值。三、补充习题（作业）1.yxzxygyxxyfz2),(),(求精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共

19、15 页 - - - - - - - - - - 精品 word ，欢迎共阅2.xzxygyxxyfz求),(,(3.dzxyyxuuz求,arctan,ln,22第五讲 多元函数的积分一、理论要求1.重积分熟悉二、三重积分的计算方法（直角、极、柱、球）Drrbaxyxyrdrrfddyyxfdxdxdyyxf21)(2)(1)(2)(1),(),(),(Vrrzzzzzrzrbaxyxyyxzyxzdrrrfddrdrzrfddzdzzyxfdydxdxdydzzyxf)(2)(1),(2),(1221)(2)(1),(2),(1)(2)(1),(2),(1sin),(),(),(),(会用

20、重积分解决简单几何物理问题（体积、曲面面积、重心、转动惯量）DyxdxdyzzAyxfz221),(2.曲线积分理解两类曲线积分的概念、性质、关系，掌握两类曲线积分的计算方法LttbaxdrrrrfrrLdtyxtytxftyytxxLdxyxyxfxyyLdlyxf22222)sin,cos()(:)(),()()(:1)(,()(:),(熟悉 Green 公式，会用平面曲线积分与路径无关的条件3.曲面积分理解两类曲面积分的概念（质量、通量）、关系熟悉 Gauss与 Stokes公式，会计算两类曲面积分LSSVDxyyxyxzzSSdFrdFStokesdVESdEGaussdxdyzzyx

21、zyxfdSzyxf旋度）通量，散度）()(:(:1),(,(),(22),(:二、题型与解法A.重积分计算1.,)(22dVyxI为平面曲线022xzy绕 z 轴旋转一周与z=8的围域。解：31024)(20220802228022zzyxrdrrddzdxdyyxdzI精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 精品 word ，欢迎共阅2.DDdxdyyxayxI,422222为)0(22axaay与xy围域。 （)2116(22aI

22、3.其他, 00 ,21 ,),(2xyxyxyxf，求DxyxDdxdyyxf2:,),(22(49/20) B.曲线、曲面积分4.LxxdyaxyedxyxbyeI)cos()(sin()0, 0(2)0,2(2OxaxyaAL至沿从解：令AyOL至沿从013220112)22()()(abadxbxdxdyabIaDLLL5.LyxydxxdyI224,为半径的圆周正向为中心，为以)1()0, 1(RL。解：取包含 (0,0)的正向sincos2:1ryrxL，1110LLLLLL6.对空间 x0 内任意光滑有向闭曲面S，0)()(2Sxzdxdyedzdxxxyfdydzxxf，且)(

23、xf在 x0 有连续一阶导数，1)(lim0 xfx,求)(xf。解：sxdVexxfxxfxfdVFSdF)()( )(02)1(1)11(2xxxexeyexyxy第六讲 常微分方程一、理论要求1.一阶方程熟练掌握可分离变量、齐次、一阶线性、伯努利方程求法2.高阶方程会求)()(,( ),()(,( ),()(ypyyyfyxpyyxfyxfyn精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 精品 word ，欢迎共阅3.二阶线性常系数)

24、sincos()(00 2112112121121221xcxceyiexccyececyqpqpyyxxxx(齐次) xnxnxnxnexxQyandxexQyorexQyexPxf22212212)()()()()(非齐次) ),max(sin)(cos)(sin)(cos)()sin)(cos)()(22jinxxrxxqxeyixxrxxqeyixxpxxpexfnnxnnxjix(非齐次) 二、题型与解法A.微分方程求解1.求0)2()23(222dyxyxdxyxyx通解。（)322cxyxxy2.利用代换xuycos化简xexyxyxycos3sin2cos 并求通解。（xexc

25、xxcyeuuxxcos5sin2cos2cos,4 21）3.设)(xyy是上凸连续曲线，),(yx处曲率为211y，且过)1 ,0(处切线方程为y=x+1 ，求)(xyy及其极值。解：2ln211,2ln211| )4cos(|ln01 max2yxyyy三、补充习题（作业）1.已知函数)(xyy在任意点处的增量)1 (,)0(),(12yyxoxxyy求。(4e）2.求xeyy24 的通解。（xxxxeececy2222141）3.求0)1(),0(0)(22yxxdydxyxy的通解。（)1(212xy）4.求1)0( )0(,02 2yyeyyx的特解。（xexy2)23(4141精

26、品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 精品 word ，欢迎共阅第七讲 无穷级数一、理论要求1.收敛性判别级数敛散性质与必要条件常数项级数、几何级数、p 级数敛散条件正项级数的比较、比值、根式判别法交错级数判别法2.幂级数幂级数收敛半径、收敛区间与收敛域的求法幂级数在收敛区间的基本性质（和函数连续、逐项微积分）Taylor 与 Maclaulin 展开3.Fourier 级数了解 Fourier 级数概念与Dirichlet 收敛定理

27、会求,ll的 Fourier 级数与,0l正余弦级数第八讲 线性代数一、理论要求1.行列式会用按行（列）展开计算行列式2.矩阵几种矩阵（单位、数量、对角、三角、对称、反对称、逆、伴随）矩阵加减、数乘、乘法、转置，方阵的幂、方阵乘积的行列式矩阵可逆的充要条件，会用伴随矩阵求逆矩阵初等变换、初等矩阵、矩阵等价用初等变换求矩阵的秩与逆理解并会计算矩阵的特征值与特征向量理解相似矩阵的概念、性质及矩阵对角化的冲要条件掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法掌握实对称矩阵的特征值与特征向量的性质3.向量理解 n维向量、向量的线性组合与线性表示掌握线性相关、线性无关的判别理解并向量组的极大线性无关组和向量组的秩了解

28、基变换与坐标变换公式、过渡矩阵、施密特方法了解规范正交基、正交矩阵的概念与性质4.线性方程组理解齐次线性方程组有非零解与非齐次线性方程组有解条件理解齐次、非齐次线性方程组的基础解系及通解掌握用初等行变换求解线性方程组的方法5.二次型二次型及其矩阵表示，合同矩阵与合同变换二次型的标准形、规范形及惯性定理掌握用正交变换、配方法化二次型为标准形的方法了解二次型的对应矩阵的正定性及其判别法第九讲 概率统计初步一、理论要求1.随机事件与概率了解样本空间（基本事件空间）的概念，理解随机事件的关系与运算会计算古典型概率与几何型概率精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢

29、迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 精品 word ，欢迎共阅掌握概率的加减、乘、全概率与贝叶斯公式2.随机变量与分布理解随机变量与分布的概念理解分布函数、离散型随机变量、连续型变量的概率密度掌握 0-1、二项、超几何、泊松、均匀、正态、指数分布，会求分布函数3.二维随机变量理解二维离散、连续型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布理解随机变量的独立性及不相关概念掌握二维均匀分布、了解二维正态分布的概率密度会求两个随机变量简单函数的分布4.数字特征理解期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数的概念掌握常用分

30、布函数的数字特征，会求随机变量的数学期望5.大数定理了解切比雪夫不等式，了解切比雪夫、伯努利、辛钦大数定理了解隶莫弗 -Laplace 定理与列维 -林德伯格定理6.数理统计概念理解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩了解2分布、 t 分布、 F 分布的概念和性质，了解分位数的概念了解正态分布的常用抽样分布7.参数估计掌握矩估计与极大似然估计法了解无偏性、有效性与一致性的概念，会验证估计量的无偏性会求单个正态总体的均值和方差的置信区间8.假设检验掌握假设检验的基本步骤了解单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验第十讲 总结1.极限求解变量替换（1作对数替换），洛必达法则，其他

31、（重要极限，微积分性质，级数，等价小量替换）1.2)1(.)2()(1limaxnanxnaxnaxnn( 几 何 级数) 2.2/10)arccos2(limexxx(对数替换 ) 3.2tan1)2(limxxx4.21)63(limxxxx5.21)()()(limaxaxnaaxnnnax精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 精品 word ，欢迎共阅6.)0(cos0, 40,2cos1)(02xxtdtxxxxxfx，求

32、)(lim0 xfx2.导数与微分复合函数、隐函数、参数方程求导1.)()()(baxaxxbba2.0)sin(arctanyxxxy，求 dy/dx 3.teytexttsincos决定函数)(xyy，求 dy 4.已知1ln22yyx，验证0) 12(422yyxxy5.bxxvvueyusin,ln31,32,求xy3.一元函数积分1.求函数xdttttxI02113)(在区间1 ,0上的最小值。 （0）2.222|1|1dxxx3.102/32)1dxx（4.dxxx)1(15.12ttdt6.dxxx241414.多元函数微分1.),(2xyeyxfz，求yxzz,2.),(yxz

33、z由0),(xzyyzxF给出，求证：xyzyzxzyx3.求xyyxyxu2),(22在 O(0,0),A(1,1),B(4,2) 的梯度。4.)ln(sinyxxu，求yxu2精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 精品 word ，欢迎共阅6.证明)(2xyfxzn满足nzyzxzyx27.求18:44),(2222yxDyxyxyxf在内的最值。5.多元函数积分1.求证：brotaarotbbadiv)(2.DyyxDdxdy

34、yxI2:,)4(223.DyyxDdxdyyxI2:,)(224.改变积分次序2021),(xdyyxfdx5.DxyxyxDdxdyyxI1,2,2:,)(2围域。6.常微分方程1.求01ln122dxydyxdxy通解。2.求xeyyy3252 通解。3.求xeyyy2652 通解。4.求0)()(22dyxxydxyyx通解。5.求0)0()0( ),2cos(214 yyxxyy特解。6.求1)0( , , 0)0(,4 yyxeyyx特解。高等数学考研题型分析填空题：极限（指数变换，罗必达） 、求导（隐函数，切法线） 、不定积分、二重积分、变上限定积分选择题：等价小量概念，导数应用，函数性质，函数图形，多元极限计算题：中值定理或不等式，定积分几何应用，偏导数及几何应用，常微分方程及应用精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 15 页 - - - - - - - - - -