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1、精选优质文档-倾情为你奉上第五章 向量代数与空间解析几何(数学一)51 向量代数 一空间直角坐标系 从空间某定点作三条互相垂直的数轴,都以为原点,有相同的长度单位,分别称为轴,轴,轴,符合右手法则,这样就建立了空间直角坐标系,称为坐标原点。 1两点间距离 设点,为空间两点,则这两点间的距离可以表示为 2中点公式 设为,联线的中点,则 二向量的概念 1向量 既有大小又有方向的量称为向量。方向是一个几何性质,它反映在两点之间从一点到另一点的顺序关系,而两点间又有一个距离。常用有向线段表示向量。点叫起点,点叫终点,向量的长度叫做模,记为。模为的向量称为单位向量。 2向量的坐标表示 若将向量的始点放在
2、坐标原点,记其终点,且点在给定坐标系中的坐标为。记以三个坐标轴正向为方向的单位向量依次记为,则向量可以表示为 称之为向量的坐标表达式,也可以表示为 称分别为向量在轴,轴,轴上的分量。称分别为向量在轴,轴,轴上的投影。 记与轴、轴、轴正向的夹角分别为,则 方向余弦间满足关系 描述了向量的方向,常称它们为向量的方向角。的模可以表示为 与向量同方向的单位向量可以表示为。与向量平行的单位向量可以表示为。 向量同方向上的单位向量常记为。 三向量的运算 1加法。 减法。 2数乘。(是常数) 向量的加、减和数乘运算统称线性运算。 3数量积。 其中为向量间夹角 为数量也称点乘。 表示向量在向量上的投影,即 4
3、向量积也称为叉乘。 的方向按右手法则垂直于所在平面,且 是向量,。等于以为邻边的平行四边形的面积。 5混合积:定义,坐标公式 几何意义表示以为棱的平行大面体的体积。 四两向量间的关系 设关系向量表示向量坐标表示间夹角与垂直与平行52 平面与直线 一空间解析几何 1空间解析几何研究的基本问题 (1)已知曲面(线)作为点的几何轨迹,建立这曲面(线)的方程。 (2)已知坐标和间的一个方程(组),研究这方程(组)所表示的曲面(线)。 2距离公式 空间两点与间的距离为 3定比分点公式 是的分点:,点的坐标为,则 当为中点时, 二平面及其方程 1法(线)向量,法(线)方向数。 与平面垂直的非零向量,称为平
4、面的法向量,通常记成。法向量的坐标称为法(线)方向数。对于给定的平面,它的法向量有无穷多个,但它所指的方向只有两个。 2点法式方程 已知平面过点,其法向量,则平面的方程为 或 其中 3一般式方程其中不全为零。前的系数表示的法线方向数,是的法向量。 特别情形: ,表示通过原点的平面。 ,平行于轴的平面。 ,平行平面的平面。 表示平面。 4三点式方程 设,三点不在一条直线上,则通过的平面方程为 5平面束 设直线的一般式方程为,则通过的所有平面方程为,其中。 6有关平面的问题 两平面为 与间夹角垂直条件平行条件重合条件 设平面的方程为,而点为平面外的一点,则到平面的距离: 三直线及其方程 1方向向量
5、、方向数 与直线平行的非零向量,称为直线的方向向量,方向向量的坐标称为方向数。 2直线的标准方程(对称式方程)。 其中为直线上的点,为直线的方向数。 3参数式方程 为参变量。 4两点式 设,为不同的两点,则通过和的直线方程为 5一般式方程(作为两平面的交线): ,方向向量 6有关直线的问题 两直线为 与间夹角垂直条件平行条件四平面与直线相互关系 平面的方程为: 直线的方程为:与间夹角()与垂直条件与平行条件与重合条件上有一点在上53 曲面与空间曲线 一曲面方程 1一般方程 2参数方程 (平面区域) 二空间曲线方程 1一般方程 2参数方程 三常见的曲面方程 1球面方程 设是球心,是半径,是球面上任意一点,则,即 2旋转曲面的方程 (1)设是平面上一条曲线,其方程是绕轴旋转得到旋转曲面,设是旋转面上任一点,由点旋转而来(点是圆心)。 由得旋转面方程是 或 由参数方程,得旋转面的参数方程 , (2)求空间曲线绕轴一周得旋转曲面的方程 第一步:从上面联立方程解出, 第二步:旋转曲面方程为 绕轴一周或绕轴一周的旋转曲面方程类似地处理。 专心-专注-专业
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