高中数学必修五不等式讲义(共105页).docx

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1、精选优质文档-倾情为你奉上不等式讲义目录专心-专注-专业一、不等式的基本性质（1）对称性：abbb，bcac；（3）可加性：ab，cRa+cb+c；（4）加法法则：ab，cda+cb+d；（5）可乘性：ab，c0acbc；ab，c0acb0，cd0acbd；（7）乘方法则：ab0anbn（nN*，且n1）；（8）开方法则：ab0nanb（nN*，且n1）；（9）倒数法则：；（10）有关分数的性质：若 ab0，m0，则真分数的性质：；假分数的性质：；（11）*不等式的对称性（了解）设f(x1,x2,xn)是一个元函数. 若将x1,x2,xn中任意的两个变元互相交换位置，得到的f与原式是恒等的，则

2、称 fx1,x2,xn是完全对称的.如xy+yz+zx，等. 设f(x1,x2,xn)是一个n元函数. 若作置换 x1x2,x2x3,xn-1xn,xnx1，得到的f与原式是恒等的，则称f(x1,x2,xn)是轮换对称的.如x3y+y3z+z3x，等.显然，完全对称的一定是轮换对称的.二、重要不等式1.无理式化为有理式，分式化为整式（1）（2）2.1. 含有绝对值的不等式（1）；（2）；（3）对形如|x-a|+|x-b|()c的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解（4）含有绝对值的不等式的性质|a|-|b|ab|a|+|b|.取等条件：不等式|a|-|b|a+b|a|+|b|，右侧“=”成

3、立的条件是ab0，左侧“=”成立的条件是ab0，且|a|b|；不等式|a|-|b|a-b|a|+|b|，右侧“=”成立的条件是ab0，左侧“=”成立的条件是ab0，且|a|b|.2.2. 一元二次不等式ax2+bx+c0(a0)的解 （设 =b2-4ac）D0D=0D0x-b+2a,x-b-2ax-b2a-xa0-b+2ax-b-2a无解无解对于a0，则，当且仅当a=b时，等号成立（3）若 a,b0，则，当且仅当a=b时，等号成立其中，称为调和平均数，称为几何平均数，称为算术平均数，称为平方平均数2.4. 柯西不等式（1）柯西不等式简单形式：，证： 得证. 当时取等号. （2）柯西不等式向量形

4、式：| 如图，设在平面直角坐标系xOy中有向量=(a,b),=(c,d)，与之间的夹角为，0.根据向量数量积的定义，有=|cos，因为|cos|1，所以|.当且仅当是零向量，或者/时取等. （3）二维形式的三角不等式：x12+y12+x22+y22(x1-x2)2+(y1-y2)2 当且仅当P1,P2与原点O在同一直线上，并且点P1,P2在原点O两旁时，式中的等号成立.三、例题展示3.1 比较法【例1】设a、b是非负实数，求证： 【证明】当时，从而，得；当时，从而，得；所以【例2】已知，证明：.【证明】，当时，于是；当时，.所以.【例3】设，则()A B C D【答案】C【解析】，.故答案为：

5、C3.2 分析法1. 凑项【例4】设a1，则的最小值是 【答案】5【解析】 当且仅当 ，即时取等号.【点评】使用该公式时一定要牢牢抓住一正、二定、三相等这三个条件，如果不符合条件则：非正化正、非定构定、不等作图（单调性）.平时应熟练掌握双钩函数的图象，还应加强非定构定、不等作图这方面的训练，并注重表达的规范性，才能灵活应对这类题型.【练习】设x,y为正实数，且，则xy的最小值为 【答案】27【解析】因为，所以，因此 当且仅当y-1=2,y=3时取等号，即xy的最小值为27.未知定值（没有形如“a+b=1”这样的定值式）【例5】设x,y为正实数，则的最小值为 【答案】3【解析一】配凑，当且仅当时

6、，即x=3y取等号.【点评】配凑法是解决这类问题的常用方法，其目的是将代数式或函数式变形为基本不等式适用的条件，对于这种没有明确定值式的求最大值（最小值）问题，要灵活依据条件或待求式合理构造定值式【解析二】比值换元令y=kx，k0则.当且仅当时，即时取等号. 【点评】由于分子，分母皆为x,y的一次方式子，通过减量换元的方法可将两个未知量x,y减少为一个未知量k，再通过一元函数求值域的方法或者基本不等式求出最值.【例6】已知，则的最小值为 .取等条件：所求最小值为取等条件：2. 凑系数【例7】 当0x4时， y=x(8-2x)的最大值为 【答案】8【分析】由0x0，利用基本不等式求最值，必须和为

7、定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值注意到2x+(8-2x)=8为定值，故只需将y=x(8-2x)凑上一个系数即可【解析】，当2x=8-2x，即x=2时取等号，当x=2时，y=x(8-2x)的最大值为8【评注】本题也可通过二次函数求最值的方法求解，当无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值【练习】已知实数x，y满足xy0，且x+y=2，则的最小值是 【分析】将凑出(x+3y)+(x-y)的形式（本质是换元法），即可使用均值不等式或者柯西不等式求出最小值：【解析】即，取等条件： 或者直接换元：令x+2y=m，2x-y=n，可得，即.3.

8、 凑完全平方式凑完全平方式用于条件与问题皆为一次、二次式的情况.【例8】已知4x2+y2+xy=5，求M=2x+y的最大值.解：取参数kR，M2=2x+y2+k4x2+y2+xy-5 =(4+4k)x2+(4+k)xy+(1+k)y2-5k当(4+4k)x2+(4+k)xy+(1+k)y2为完全平方式时，(4+k2)2=4+4k1+k时，即k=-85时，有M2=-35(2x-y)2+88.于是2x-y=04x2+y2+xy=5，x=22y=2时，2x+y有最大值22.【例9】若，则的取值范围是 .取参数，有当为完全平方式时，有最值.于是令当时，取等条件：.即当时，取等条件：，即于是所求的取值范

9、围是【评析】将问题中变为的形式，可得最小值；变为的形式可得最大值. 变形过程需要利用已知条件凑成完全平方，于是设出参数，列方程求解即可.4. 分离对于形式的分式函数，将分子降次，化为的形式运用不等式.【例10】 求的值域【分析】本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有x+1的项，再将其分离【解析】，当x-1，即x+10时，（当且仅当x=1时取“”号）【练习】已知a，b都是负实数，则的最小值是 .【答案】2(2-1)【解析】.【例11】已知，求的最小值.【解析】.取等条件：【例12】已知，且，则的最小值为【解析】取等条件：【练习】变形：已知，则的最小值为 .【解析】拆开运用基本不等式：

10、或用柯西不等式：，于是取等条件：.3.3 代换对于一些结构比较复杂，变元较多而变化关系不太清楚的不等式，可适当引进一些新的变量或等式进行代换，以简化其结构.主要目的：非标准问题标准化；复杂问题简单化；降次；化分式为整式；化无理式为有理式；化超越式为代数式.1. 消元【例13】已知实数，且，求的取值范围.【解析】由已知条件得，取等条件，.2. 整体代换（“1”的代换）多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错【例14】已知x0,y0，且1x+9y=1，求x+y的最小值【错解】 x0,y0，且1x+9y=1， x+y=(1x+9y)(x+y)29xy2xy=12，故(x+y

11、)min=12【错因】解法中两次连用基本不等式，在x+y2xy等号成立条件是x=y，在1x+9y29xy等号成立条件是1x=9y，即y=9x，取等号的条件的不一致，产生错误因此，在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法【正解】x0,y0,1x+9y=1x+y=(x+y)(1x+9y)=yx+9xy+106+10=16 ，当且仅当yx=9xy时，上式等号成立，又1x+9y=1，可得x=4,y=12时，(x+y)min=16【练习】已知正实数x,y满足，则的最小值为_【答案】7+43【解析】正实数x，y满足1x+1y=1，则：x+y=xy，则：

12、，故的最小值为7+43【例15】已知a，b为正实数，2b+ab+a30，求y=1ab的最小值【分析】这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行【解法一】由已知得a=30-2bb+1,ab=30-2bb+1b=-2b2+30bb+1a0，0b15令tb+1，则1t0,b0)的应用、不等式的解法及运算能力；如何由已知不等式ab=a+2b+30 (a0,b0)出发求

13、得ab的范围，关键是寻找到a+b与ab之间的关系，由此想到不等式，这样将已知条件转换为含ab的不等式，进而解得ab的范围【例16】已知且，求的最大值.【解析】将代入得，即可将二元变量问题转化为一元函数求值域问题，即时，有最大值6.部分使用“1的代换” 若形如“已知，求的最小值”，只需部分使用“1的代换”，即【例17】设正实数 满足的最小值为 【答案】1【解析】， 当且仅当即时取得等号【例18】设a + b = 2, b0, 则当a = 时, 取得最小值.【答案】【解析】因为，所以所以当且仅当，即时取等号，当时，；当时，；所以的最小值为，此时又，所以，即【例19】已知且，则的最小值是 .【答案】

14、32【解析】 ，当且仅当，即时取等号；，当且仅当，即时取等号；所以，当且仅当时取等号；所以的最小值为32【点评】在使用“1的代换”时，注意保持两和式是同次的.；在使用两次基本不等式时，注意两次等号成立的条件是否一致.3. 判别式法（万能K法）判别式法（万能K法）并不万能，很容易出错，因此求出最值后，必须验证取等条件！如果二次项系数不为0，此方程为关于x的一元二次方程。其中，当时（是含字母y的式子），将这个范围内的y值代入方程，都能够得到一个或两个与之对应的x值；而当时，方程无解，这说明在此范围内的y值没有x值与之对应，因此此范围内的值y不属于值域.如果二次项系数为0，此方程为关于x的一次方程，

15、将此时y的取值代入解析式可得到一个与之对应的x值，如果所得x值在定义域内，则该y值属于值域；如果所得x值不在定义域内，或所得解析式根本没有意义，则该y值不属于值域.3.1 一类分式函数值域问题【例20】求函数的值域.【解析】由已知条件可得：，当时，考虑关于x的二次方程，当时，可得，舍去.综上，函数值域为.【练习】求证：.证明：设，则，定义域为R（1） 时，是定义域中的一个值，是值域中的一个值。（2） 时，由，得。综上所述成立.3.2 二元二次函数最值问题【例21】设x，y0为实数，若，则2x+y的最大值为【解析】令k=2x+y，则y=k-2x，代入等式得：即关于x的方程有解，于是当k取到最大值

16、时，【例22】设x，y0为实数，若2x+y=1，则的最小值为【解析】令，将y=1-2x代入，若，求的最小值.【解析】已知等式可化为，令，将代入解得或（舍去）取等条件：【例23】若x和y满足不等式，求x+3y的最大值.【解析】令k=x+3y，将x=k-3y代入，关于y的二次不等式只有在时有解，当且仅当时取等，所以x+3y的最大值.【例24】已知，满足，求xy的取值范围.【解析】令k=xy,k0，将代入等式得，【例25】对于c0，当非零实数a，b满足且使最大时，的最小值为.【解析】设，将代入得，即取得最大值为，与已知等式联立，解得于是当且仅当时取等.【例26】已知实数x,y满足，求的最大值.【错解

17、】令，将代入等式得 ，关于y的方程有解，得.取等条件：当时，有，无实数解.错解原因：未考虑x,y的范围：由于，无法在处取值.【正解】化已知等式为：，令令，函数，在时取得最大值，于是最大值为取等条件为，即，于是错解原因就是在处取得的，显然取不到.一般地，已知条件与问题皆为二元二次式用判别式可能会得错解，此时需用三角换元.【例27】已知实数x,y满足，求的取值范围.【解一】设，令，代入等式得，得，解得.【解二】对已知条件进行配方：令于是【解三】令，已知条件可化为将代入已知条件得，关于y的二次方程有解，得于是.【解四】， 对于不等式，令，解得，于是若实数x,y满足，求的取值范围.【解一】将已知条件化

18、为，不是类型，考虑用平方差化为积式：，于是可令将代入得：取等条件：.4. 局部代换（换元）将多元变量问题减元，变为一元函数问题，或者变为具有一元函数结构的形式.即将的最值问题变为或的形式. 求出“一元”函数的定义域，即可运用所学知识求出值域（最值）.【例28】设正实数x,y满足x+y=1，则x2+y2+xy的取值范围为 .【答案】1,98【解析】因为1=x+y2xy，所以0xy14x2+y2+xy=(x+y)2-2xy+xy=1-2xy+xy设xy=t(0,12，所以x2+y2+xy=1-2t2+t=-2t2+t+1 (0b0，且a+b=2，则的最小值为_.【答案】【解析】由于a+b2，且ab

19、0，则0b1a2，将b=2-a代入得令t=2a-1(1,3)，则，当且仅当t=5t (1t0,b0,a+b=4，求的最大值.【解析】 以下有两种换元方式： 在处换元：此式为“分子一次，分母二次”的情况，可用的形式求最大值. 于是，令，于是，取等条件：即，与联立，解得 在处换元：令x=ab-1=a4-a-1=-a2+4a-1，a0，可得x3.于是（舍去）Mx在-,8-45单调递增，在8-45,3单调递减，于是MxM8-45=5+24.【例32】已知x,y0，求的最大值.【解析】 令，于是，而在单调递增，于是当k=4时，M有最大值.5. 三角代换运用公式：，对问题进行三角换元，从而简化问题. 根据

20、变量的范围设置范围.若，可设；若，可设；若，可设；若，可设，对于，可设，或；对于，可设或；对于，可设或；【例33】已知，求的最大值.【解析】：设，其中，原式可转化为：，原式，所求最大值为20.【例34】已知实数x0，求的最小值.【解析】换元：设，于是设，不等式可转化为，k的最大值即为所求函数的最小值.，其中，即所求最小值为.【例35】设实数a，b，c满足，求a的最大值.【解析】由，运用三角换元消元，均值代换：由于，令，代入判别式：代入，得，所以关于c的方程有解，得代入，得得数形结合：令，转化为直线与圆有公共点，于是圆心到直线的距离小于等于半径，即.已知实数a，b，c满足，则的取值范围为.可以看

21、做点与点的斜率，易得斜率取值范围为【例36】【换元消元】已知，有恒成立，求实数k的取值范围.【解析】原不等式等价为，即，用换元达到消元的目的，设，故k的取值范围为.6. 均值代换、比值代换对于类型的和式，可以用，形式的均值代换以达到消元的目的.对于分式类型的齐次式，可取形式的比值代换.可将二元变量式转化为一元函数问题，从而简化问题. 其中t的范围由a,b的范围确定.简例：已知已知a,b0，且，求ab的最大值.均值代换：令，于是，在时可得最大值1.【例37】已知a,b0，且，则a+b的最小值为.【解析】均值代换令令，即 取等条件：【另解】“1”的代换或判别式法也可解.，即令，.【例38】已知实数

22、x,y满足，则的最小值为.【解析】由于，令x+y=t，解得：或当时，当时，实数x,y是关于Z的一元二次方程的两个根，于是，此时于是. 综上，最小值为.【例39】设实数x,y0，且x+y=1，则的最小值为_【答案】【分析一】考虑通法，消元化为单元函数，而后可用导数法和判别式法求解函数的最小值；【解析一】“1”的代换或者柯西不等式 (x2x+2+y2y+1)(x+2)+(y+1)(x+y)2=1又x+2+y+1=4，于是x2x+2+y2y+114【解析二】考虑整体替换的方法，分母的和为常数设x+2=s，y+1=t，则s+t=4， 【解析三】令，将y=1-x代入得，关于x的方程有解，得，解得或（舍去

23、）即所求最大值为已知，求证：.增量法：不妨设，则，有，所以，于是 ，令，均值代换：令，（三元均值不等式）设，求证.比值换元：令，于是于是原不等式等价于：而 原不等式得证.【例40】已知，求证：辅助函数法（主元法）：取a为主元，为直线，于是，即原不等式得证. 【例41】设x,y为正实数，则的最小值为 【答案】3【解析一】配凑【解析二】比值代换令y=kx，k0则.当且仅当时，即时取等号. 【点评】由于分子，分母皆为x,y的一次方式子，通过减量换元的方法可将两个未知量x,y减少为一个未知量k，再通过一元函数求值域的方法或者基本不等式求出最值.【例42】已知，且，求的最小值.【解析】对已知等式取平方以

24、得到问题的式子，于是当且仅当时取等.3.4 构造1. 形式构造要求一个目标函数f(x,y)的最值，我们利用基本不等式构造一个以f(x,y)为主元的不等式（一般为二次不等式），解之即可得f(x,y)的最值【例43】设x,y为实数，若4x2+y2+xy=1，则2x+y的最大值是 【分析】利用基本不等式将已知定值式中4x2+y2,xy的均转化成含2x+y的不等式，再求2x+y的最大值【答案】2105【解析】1=4x2+y2+xy=(2x+y)2-32(2x)y(2x+y)2-32(2x+y2)2，可解得2x+y的最大值为2105【点评】本题的解法过程体现了“消元”的思想，所求目标函数是和的形式，那我

25、们就设法消去条件等式中的乘积，方法就是利用基本不等式，这里它的作用，一个是消元，还有就是把条件的等式变为了不等式【练习】若正实数x，y满足x+y+1x+1y=5，则x+y的最大值为 【分析】构成关于x+y的不等式，通过解不等式求最值 【解析】由x+y+1x+1y=5，得(x+y)+x+yxy=5. 即(x+y)+x+yxy=5(x+y)+4x+y，(x+y)2-5(x+y)+40.计算得出：1x+y4. x+y的最大值是.2. 对偶式构造在不等式过程中，合理地构造形式相似，具有某种对称关系的对偶关系式，并通过对偶关系式进行适当的和、差、积等运算，往往能使问题得到巧妙的解决，收到事半功倍的效果.

26、【例44】若x,y,z(0,1)，求证：解：构造对偶式：N=1-x+y+1-y+z+1-z+x=3，则M+N=11-x+y+(1-x+y)+11-y+z+(1-y+z)+11-z+x+(1-z+x)+11-y+z6而N=3，故M3，即.奇偶数对偶奇偶数对偶指利用整数的分类中奇数与偶数的对称性构造对偶式的方法.【例45】求证：.解：构造对偶式：，由于因此，从而，故.轮换对偶轮换对偶是指针对式子的结构，通过轮换字母而构造对偶式的方法.【例46】任意实数a1，b1，求的最小值.【解一】构造对偶式，则，即而，MN8，即M8. 当且仅当a=b=2时等号成立.【解二】化分式为整式取参数x,y0，运用基本不

27、等式：a2b-1+xb-12ax，b2a-1+ya-12by两式相加得， a2b-1+b2a-12x-ya+2y-xb+x+y，当&2x-y=0&2y-x=0&x=4&y=4时，有a2b-1+b2a-1x+y=8.利用导数求不等式最值3. 函数构造【例47】已知：，证明：思路：以为主元构造函数，再由函数单调性可证。证明：视为主元构造函数，此为一次函数。由知，又故有 即 。【例48】设，证明：证明：作 此为关于的一次函数由于 ，故有 类题演练：设，证明：4. 数形结合对于二元一次不等式，二元二次不等式可以考虑画出几何图形，由约束条件在图形上平移求解，或者利用几何关系如垂直，平行等求解.【例49】

28、已知x，y满足约束条件，当目标函数在该约束条件下取到最小值时，的最小值为().【解析】z=ax+by取最小值时，最优解为(2,1).所以，即转化为此条件下的最小值，易求出此二次函数最小值4.已知，求的取值范围.【解析】令，则问题可转化为直线在第一象限的圆上运动，取直线在y轴上的截距范围问题.于是当直线经过(0,1)时，k有最小值1；当直线与圆相切时，k有最大值.此时原点到直线的距离为1，可解得：，即k的最大值为.【错解】判别式法：将代入圆方程，得，关于x的二次方程有解，可得：，解得取最大值时的取等条件：，满足题设.取最小值时的取等条件：，与矛盾.【例50】已知a，b0，3a+2b=10，求函数

29、k=3a+2b的最大值【解析一】数形结合：令x=3a0，y=2b0，于是，如图，当直线y=-x+k与圆相切时，在y轴上可得最大截距，即k可取最大值为25.当直线y=-x+k经过10,0或0,10时，在y轴上可得最小截距，即k可取最小值为10.【解析二】三角代换因为，于是令，【解析三】均值不等式：k0，k2=3a+2b+23a2b=10+23a2b10+(3a)2+(2b)2=10+(3a+2b)=20 k25 【解析四】柯西不等式，得3.5 待定系数法有限定条件的二元不等式，如，进行一次不等式运算，对于取等条件而言，已经出现2个方程了，此时即可解出二元变量. 而有些情况下往往不好直接进行不等式

30、运算，如这样的无理式，于是就需要引入一个变量（参数），相当于变为三元变量，在有一个限定条件的情况下运算，此时即可进行2次不等式运算，从而利用三个方程解三个变量来得到取等条件. 所以，进行2次不等式运算可大大拓展可操作空间. 这就是待定系数添加参数的优越之处.1. 均值不等式添加参数【例51】已知x,y0，x+y=1，求的最小值.【解一】“1”的代换【解二】添加参数，取k0，取等条件：&1x=kx&4y=ky&x+y=1&x=13&y=23&k=9于是M9.【例52】若已知a,b,c0，则M=a2+b2+c2ab+2bc的最小值为 【解析】由于b在分母中出现3次，可将b2拆分为b2=b2+(1-

31、)b2，00,a2+b2+4c2=1，求ab+2ac+32bc 的最大值.解：引入参数:x,y(0,1),z(0,4)1=a2+b2+4c2=xa2+(1-x)a2+yb2+(1-y)b2+c2+(4-z)c22xyab+2(1-x)zac+2(1-y)(4-z)bc当12xy=22(1-x)z=322(1-y)(4-z)=t时，取等原式可化为：1=a2+b2+4c21t(ab+2ac+32bc)即：ab+2ac+32bct根据取等条件解得：x=12,y=14,z=1,t=2即所求最大值为2.2. 柯西不等式添加参数柯西不等式：a,b,c,d0(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2, (

32、ac-bd)2(a2-b2)(c2-d2)取等条件：ad=bc.添加参数：取,0，有 (x2+y2)(2+2)(x+y)2 提取2，有得(x2+y2)(1+k2)(x+ky)2，其中. 所以一个二维柯西不等式中引入一个参数即可，这样可以减少参数的数量.【例56】已知a,b0，且，求的最小值解：尝试利用柯西不等式将分式设法向转化.引入参数,0，取等条件：1a-1= ，取等条件：2b-1= 当上式右边取1+=2+ 时，即可得定值.联立，及1a+1b=23，可得：(,)=(54,14)(a,b)=(95,9)于是所求的最小值为74.练习.已知a,b0，且1a+1b=2，求1a+1+4b+1的最大值解

33、：(1a+2)(a+1)(1+)21a(1+)2a+1-2，取等条件：=1a (1b+2)(b+1)(1+)21b(1+)2b+1-2，取等条件：=1b 2=1a+1b(1+)2a+1+(1+)2b+1-2-2当上式右边取4(1+)2=(1+)2 时，即可得1a+1+4b+1的形式.联立，及1a+1b=2，可得(,)=(13,53)(a,b)=(3,35)于是，2169(1a+1+4b+1)-19-2591a+1+4b+1114.所求的最大值为114.【例57】已知实数x,y0，且2x+y=2，求x+x2+y2的最小值.【解一】取参数0，当时，右边可得2x+y的形式，此时，于是.取等条件：，所

34、求最小值为【解二】数形结合：在第一象限作直线，作O关于直线的对称点，设，即，过点作y轴的垂线，问题可转化为的最小值，即为的最小值，于是当所在直线垂直于y轴时，有最小值.所以.【解三】求导：，令，解得，易得在单调递减，在单调递增，于是为最小值点，. 【解四】判别式法：令，将代入得：，关于x的方程有解，则将代入方程，得.【例58】求y=4x2+25-3x的最小值.解一：柯西不等式设参：取，思考：，取等条件：2x=5.当时，即时，.解一：(4x2+25)(1+13)(2x+533)24x2+253x+52.y=4x2+25-3x52，取等条件：2x3=5，x=532.一般地，不等式题型中，ax2+b

35、可以通过柯西不等式去根号，变为ax2+bcx+d的形式：(ax2+b)(1+2)(ax+b)2ax2+ba1+2x+b1+2，其中a,b,x,0解二：柯西不等式反向：y52，取等条件：2x=3x2+254,x=532.【例59】面积为1，a，b，c为其三边，则的最小值为 .【答案】12.解：（基本不等式）此为关键步骤，将包含a，b，c的三元未知量变为只包含ab的一元函数.于是，对于，可转化为以下问题：已知，求函数的最小值.三角代换：代入，取 换元求导：令， ，令在单调递减，在单调递增，于是 反向柯西不等式：，于是的最小值为12.取等条件： ，得. 判别式法：关于x的二次方程有解，则有：当时，y

36、有最小值1.【例60】已知a,b0，a+b2+8=4，则的最小值是_【分析】若能将放缩为（x，y为参数）的形式，即可得到对问题进行代换：取参数， 据柯西不等式得，用柯西不等式得：，于是有：，当解一：（一般来说，应是一个整数，即等，解取等方程组时，猜根代入即可.）取等条件：，解二：取当式子为完全平方式时成立，其中，取等条件： ， ，即，取等条件： 联立及，解得，解三：调和平均值算术平均值，取等条件：，取等条件：综上，当时取到最小值4.【例61】已知x0,2,求1sinx+33cosx的最小值. 解：1sinx+33cosxsinx+cosx1+332，取等条件：sin2x=33cos2x sin

37、x+cosx=1+2sinx+1+2,其中：tan=， 取等条件：x+=2，sinx=sin2-=cos=11+2 联立，sin2x+cos2x=1，解得：sinx=12，cosx=32，=3 1sinx+33cosx1+3321+2=8 解二：令fx=1sinx+33cosx，fx=33cos3x-sin3xsin2xcos2x=0， tanx=13，x=6，当tanx13，fx0，当tanx13，fx0取等条件：即所求最小值为 已知x,y(0,1)，k0，x2+y2=1，求1x+ky的最小值.，取等条件： ，取等条件： ， 于是，联立，x2+y2=1，解得：. 当k=33时，1x+33y8.【例63在ABC中，2a,b,c成等差数列，则M=3sinA+2sinC的最小值为 .解：2a+c=2b，2sinA+sinC=2sinBcosB=a2+c2-(22a+c2)22ac=12a2+34c2-22ac2ac6-24【例64】已知x0，则f(x)=2x+2x2+12x+1的最小值为_ 取参数，取等条件：x=1 当时，右边可为定值. 此时=1.， 即当x=1=1时，f(x)有最小值2. 已知，求的最小值.解：柯西不等式待定系数：引入参数，