三点共线问题的一个重要结论及应用(共4页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上三点共线问题的一个重要结论及应用一命题及证明命题 已知非零向量、满足，若，则点A、P、B共线，且P分所成的比为证明：， ，即点A、P、B共线，且P分所成的比为 下面思考其逆命题，即逆命题 若点A、P、B共线，且P分所成的比为，则有且只有一对非零实数，使得，且（O为平面上不同于A、P、B的一点）文档来自于网络搜索证明：点A、P、B共线，设， 令，则有，且，于是，综上可得结论三点A、P、B共线的充要条件是存在实数满足，且使得（O为平面上不同于A、P、B的一点）特别地，当时，点P是线段AB的中点；当或时，点与点或重合二结论的应用例（1）已知点、三点共线，在直线外，设，且存在

2、实数使，则点分所成的比为（）33解：，点、三点共线， 点分所成的比为故选（2）已知如图1，点为线段的距较近的一个三等分点，点为线段的距较近的一个三等分点，则（）文档来自于网络搜索 解：由题意知：，故选 点评：根据结论不难得出，只要给出线段AB的任一分点，都可以利用向量、表示，此方法回避了通过向量的加减运算来转化的繁琐过程，显得十分简捷文档来自于网络搜索例2平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知、，若点满足，其中，则点的轨迹方程为（） (2002年全国新课程高考卷)解：因，由结论可得点A、B共线，所以点C在直线AB上运动，故点C的轨迹为直线AB，由、得轨迹方程为故选文档来自于网络搜索 点评：根据本

3、文结论的特殊情况及轨迹的完备性，可知点C的轨迹是直线AB例3如图2，平行四边形ABCD中，求证：E、F、C三点共线分析：根据题目条件，只需寻找、的关系即可证明：， ， 所以点E、F、C三点共线例4如图3，过抛物线的对称轴上任一点作直线与抛物线交于A，B两点，点Q是点P关于原点的对称点，设点P分有向线段所成的比为文档来自于网络搜索求证： （2004年湖南卷）证明：因为点分分有向线段所成的比为，则必然存在实数使 ，且点、在抛物线上，点Q是点P关于原点的对称点， 设， 图3则所以 显然有故只需证明即可而= 点评：本解法运用了结论的坐标形式，充分利用向量的知识解决解析几何问题，打破了利用直线与圆锥曲线位置关系进行转化的传统模式，体现了向量与解析的内在联系另外，设而不求、整体代换等基本方法使得解题思路更加清晰、条理化文档来自于网络搜索专心-专注-专业