2020届百师联盟高三练习题一(全国Ⅰ卷)数学(理)试题(解析版)(共20页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上2020届百师联盟高三练习题一（全国卷）数学（理）试题一、单选题1已知集合，则（ ）ABCD【答案】C【解析】解一元二次不等式，可确定集合P，解指数不等式确定集合Q，由集合并集运算即可求得.【详解】因为，所以故选：C.【点睛】本题考查了集合并集的简单运算，一元二次不等式和指数不等式的解法，属于基础题.2设，满足约束条件，则的最小值为（ ）ABCD5【答案】A【解析】由线性约束条件，画出可行域，结合直线的平移即可求得的最小值.【详解】根据线性约束条件，画出不等式组表示的可行域如图所示：由平移得到，由图可知当目标函数经过点处取得最小值，代入可得为故选：A.【点睛】本题考查

2、了线性规划的简单应用，线性目标函数最值的求法，属于基础题.3已知，则（ ）ABCD【答案】B【解析】根据正弦二倍角公式，化简可得，结合降幂公式及诱导公式，代入即可求得的值.【详解】由及正弦二倍角公式可知由余弦降幂公式及诱导公式化简可得故选：B.【点睛】本题考查了正弦二倍角公式的简单应用，余弦降幂公式及诱导公式化简求三角函数的值，属于基础题.4设为等差数列的前项和，若，则（ ）A8B7C6D5【答案】D【解析】由等差数列通项公式及前n项和公式，代入可得，再根据等差数列的前n项和性质，即可求得的值.【详解】根据等差数列通项公式及性质可知即解得得，则等差数列前n项和的性质可得，解得故选：D.【点睛】

3、本题考查了等差数列通项公式及前n项和公式及性质应用，属于基础题.5某学校为增加学生的阅读兴趣，特举办了“书友会”活动，最终通过评比选出6位“小书迷”进行合影留念，6人站成一排，其中甲只能在两边，丙和丁必须相邻，则6个人不同的排列方法共（ ）A144种B96种C48种D34种【答案】B【解析】先安排丙丁相邻，再将丙丁作为一个整体和另外三人一起全排列，最后将甲安排在两侧即可.【详解】先将甲排除在外，丙丁必须相邻，有种排法，然后甲排在两侧，有2种排法，因此共有种排法故选：B.【点睛】本题考查了排列问题的简单应用，对元素位置有要求的排列问题解法，属于基础题.6设函数的定义域为，则“，”是“在上的最小值

4、为”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】根据充分必要条件，函数最值可判断必要性，利用特殊函数形式，可判断充分性，即可得解.【详解】若“在上的最小值为”则“，”成立，即必要性成立；函数恒成立，则在上的最小值不是，即充分性不成立，“，”是“在上的最小值为”的必要不充分条件故选：B.【点睛】本题考查了充分必要条件的概念和判定，属于基础题.7九章算术是中国古代的数学专著，其中的“更相减损术”原文是：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也以等数约之”即（如果需要对分数进行约分，那么）可以折半的话，就折半（也就是用2来约

5、分）如果不可以折半的话，那么就比较分母和分子的大小，用大数减去小数，互相减来减去，一直到减数与差相等为止，用这个相等的数字来约分如图是“更相减损术”的程序框图，如果输入，则输出的值是（ ）A72B70C34D36【答案】D【解析】根据输入的值，结合程序框图，依次计算即可得解.【详解】依据题设中提供的算法流程图可知，当，时，此时，则，；这时，此时，这时，输出，运算程序结束故选：D.【点睛】本题考查了循环结构程序框图的简单应用，关键是理解题意，属于基础题.8某几何体的三视图如图所示（每个小正方形边长为1），则该几何体的最长棱的长度为（ ）A3BCD【答案】A【解析】根据三视图还原空间结合体的结构，

6、即可求得该几何体中最长的棱长.【详解】根据三视图可知几何体是一个四棱锥，直观图如图所示：该四棱锥底面是一个直角梯形，底面，且，所以该四棱锥最长棱的棱长为故选：A.【点睛】本题考查了三视图的简单应用，由三视图还原空间几何体，属于基础题.9已知椭圆：的左焦点为，、分别为的右顶点和上顶点，直线与直线的交点为，若且的面积为，则椭圆的标准方程为（ ）ABCD【答案】A【解析】根据椭圆的几何性质及，可得及的等量关系，结合的面积即可求得的值，进而得椭圆的标准方程.【详解】由，且，为坐标原点，可得，所以，又因为的面积为，所以，所以，所以椭圆的标准方程为故选：A.【点睛】本题考查了椭圆的几何性质简单应用，根据求

7、椭圆的标准方程，属于基础题.10设，则，大小关系是（ ）ABCD【答案】C【解析】根据所给的特征，构造函数，并求得，由导函数的符号可判断在的单调性，即可比较大小.【详解】构造函数，则，在上单调递增因为，所以，即，所以故选：C.【点睛】本题考查了导数在证明函数单调性中的应用，由函数单调性比较函数值大小，分析所给式子特征，建立合适的函数模型是解决问题的关键，属于中档题.11方程的一根在区间内，另一根在区间内，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】C【解析】由一元二次方程和二次函数关系，结合零点存在定理即可得关于的不等式组，解不等式组即可确定的取值范围.【详解】令，由二次函数根的分布性质，若一根在区间

8、内，另一根在区间（3，4）内，只需，即，解不等式组可得，即的取值范围为，故选：C.【点睛】本题考查了一元二次方程与二次函数的关系，函数零点存在定理的简单应用，属于基础题.12直线分别与曲线和曲线交于，两点，则的最小值为（ ）AB2CD【答案】D【解析】根据题意可设，即可表示出，构造函数并求得，令求得极值点并判断函数的单调性，即可求得的最小值.【详解】直线分别与曲线和曲线交于，两点，设，且，令解得，（舍），当时，则在上单调递减，当时，则在上单调递增所以，综上可知的最小值为故选：D.【点睛】本题考查了导数在求函数单调性、最值中的综合应用，属于中档题.二、填空题13曲线在点处的切线方程是_【答案】【

9、解析】求得导函数，即可求得切线的斜率，进而将代入函数解析式可知点在曲线上，即可由点斜式得切线方程.【详解】曲线，则，所以，将代入函数解析式可得，即点在曲线上，所以该函数在点处的切线方程是，即切线方程为故答案为：.【点睛】本题考查了导数的集合意义，切线方程的求法，属于基础题.14中，角，的对边分别为，若，则的面积为_【答案】【解析】由正弦定理将边化为角的表达式，结合正弦和角公式化简即可求得，再由同角三角函数关系式求得，将条件代入余弦定理即可求得，结合三角形面积公式即可得的面积.【详解】因为，由正弦定理，可得，即，因为，所以，由同角三角函数关系式可得，由余弦定理可知，解得或（舍）即故答案为：.【点

10、睛】本题考查了正弦定理与余弦定理在解三角形中的应用，三角形面积的求法，属于基础题.15边长为2正三角形中，为中点，为边上的点，且，则_【答案】【解析】根据题意画出几何图形，由平面向量线性运算以为基底表示出和，进而由平面向量数量积定义求得，即可由平面向量的运算律求得的值.【详解】由题意，画出几何关系如下图所示：为中点，所以，由平面向量的数量积定义可得，所以故答案为：.【点睛】本题考查了平面向量线性运算的简单应用，平面向量数量积定义及应用，属于中档题.16已知函数若函数有5个零点，则实数的取值范围是_【答案】或【解析】根据解析式，由导函数先判断当函数的单调性及极值，画出函数图像；将方程因式分解，即

11、可得或；结合图像可知由3个实数根，因而有2个实数根，结合图像即可求得的取值范围.【详解】当时，所以函数在上单调递增，在上单调递减，作出的图像如下图所示可变形为，即或，因为函数有5个零点，所以方程恰有5个不同的实数根，由函数图像可知，由三个实数根，所以恰有两个不同的实数根，即，的图像有两个交点，结合图像可知或故答案为：或.【点睛】本题考查了导函数与函数单调性与极值的关系，三次函数图像的画法，函数零点与方程根的关系，数形结合法由零点个数求参数的取值范围，属于中档题.三、解答题17某市环保部门为了让全市居民认识到冬天烧煤取暖对空气数值的影响，进而唤醒全市人民的环保节能意识。对该市取暖季烧煤天数与空气

12、数值不合格的天数进行统计分析，得出下表数据：（天）98754（天）76532（1）以统计数据为依据，求出关于的线性回归方程；（2）根据（1）求出的线性回归方程，预测该市烧煤取暖的天数为20时空气数值不合格的天数参考公式：，【答案】（1）（2）18【解析】（1）根据所给数据求得、和，代入回归方程公式即可求得及，即可得关于的线性回归方程.（2）根据（1）求出的线性回归方程，代入自变量值即可预测不合格的天数【详解】（1）由表中数据可求得，所以线性回归方程为（2）根据（1）式求出的线性回归方程，当时，代入可得，预测该市烧煤取暖的天数为20时空气数值不合格的天数为18.【点睛】本题考查了线性回归方程的求

13、法及简单应用，属于基础题.18如图，在棱长为的正方形中，、分别为，边上的中点，现将点以为轴旋转至点的位置，使得为直二面角 （1）证明：；（2）求异面直线与所成角的余弦值【答案】（1）证明见解析（2）【解析】（1）根据题意画出平面图形及空间几何图形，由中位线定理及正方形性质证明面，即可得.（2）过作，以OA，OB，OM为，轴建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，即可由平面向量数量积定义求得异面直线与所成角的余弦值【详解】（1）证明：在正方形中，连结交于连结，如下图所示：则因为、分别为，边上的中点，所以所以在空间几何体中如下图所示：所以在棱锥中，所以面，又因为面，所以（2）设过作，已知OA，OB，

14、OM两两垂直，如图分别以OA，OB，OM为，轴建立空间直角坐标系如下图所示：，所以与面所成角的余弦值为【点睛】本题考查了平面图形折叠为空间图形的应用，由线面垂直证明线线垂直，空间向量法求异面直线夹角的应用，属于基础题.19已知命题：，命题：（1）当时，为真命题，求的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围【答案】（1）（2）【解析】（1）解一元二次不等式分别可得集合A、B，代入可确定集合B，由为真命题可知两个命题均为真命题，即可解不等式组求得的取值范围；（2）根据逆否命题的性质由题意可得是的充分不必要条件，即可由集合的关系确定的取值范围【详解】命题：，解得，令命题：），解得，令（

15、1）当时，因为为真命题，所以真真，则所以（2）因为是的充分不必要条件，即是的充分不必要条件，所以集合是集合的真子集，所以解得经检验满足题意，所以的取值范围为【点睛】本题考查了一元二次不等式解法，由复合命题真假确定参数的取值范围，逆否命题的性质应用，由充分不必要关系确定参数的取值范围，属于基础题.20大气污染是我国目前最突出的环境问题之一，其中工厂废气是大气污染的重大污染源之一。工厂废气未经净化处理排放至空气中，除了对空气质量造成严重破坏，还会对人体的健康造成重大威胁。长期生活在污染的空气中，生活质量及身体健康将急剧下降。某工厂因为污染问题需改进技术，2019年初购进一台环保新机器投入生产，机器

16、的成本价为36万元，第年该机器包括维修费和机器护理费用在内，每年另需投人费用万元，购进该机器后每年盈利20万元（1）问该机器投入生产第几年，工厂开始盈利（即总收入大于所有投人的费用）?（2）由于机器使用年限越大维修等费用越高，所以工厂决定当年平均利润最大时将该机器以5万元低价处理，问使用该机器几年后工厂年平均利润最大?此时工厂获得的总利润为多少?【答案】（1）3（2）经过6年后年平均利润最大，工厂获得的总利润为万元【解析】（1）根据题意求得总收入减去机器成本和每年的额外投入费用之和，即为盈利的表达式，解不等式即可确定开始盈利的时间.（2）根据（1）中盈利表达式，即可求得年平均利润的表达式，再根

17、据基本不等式的性质即可确定年平均利润最大及总利润.【详解】（1）设引进该机器第年开始盈利，盈利为y元，则由，得解得，即引进该机器第3年，工厂开始盈利（2）平均盈利为，当且仅当，即时，年平均利润最大，所以引进该机器经过6年后年平均利润最大，工厂获得的总利润为万元【点睛】本题考查了数列与不等式在实际问题中的综合应用，基本不等式求最值，属于基础题.21已知函数在区间上的值域为（1）求，的值；（2）设若不等式在上有解，求实数的取值范围【答案】（1）（2）【解析】（1）根据二次函数解析式，可求得对称轴，进而确定函数在区间上单调递增，即可由值域求得的值.（2）将解析式代入可得，进而表示出；由题意，分离参数

18、后可得，利用换元法令，转化为二次函数形式，即可求得的取值范围【详解】（1），因为，对称轴为，所以在区间上是增函数，所以即，解得（2）由已知可得在上有解，化简得，令，则令，即只需，解得综上的取值范围为【点睛】本题考查由二次函数在定区间上的值域求参数值，分离参数法与换元法的综合应用，二次函数型恒成立问题的解法，属于中档题.22已知函数（1）求函数的极值；（2）若函数在上是单调递增函数，求实数的取值范围【答案】（1）当时，无极值；当时，有极小值为，无极大值（2）【解析】（1）根据解析式求得导函数，讨论与两种情况下导函数的符号，即可由单调性判断函数的极值.（2）将的解析式代入可得，并求得，根据函数在上是单调递增函数可知，分离参数并构造函数，求得，即可判断在上的单调性，进而由恒成立问题解法求得的取值范围即可.【详解】（1）函数定义域为，则，当时，所以在上单调递增，无极值当时，令，解得，若，解得；若，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以函数有极小值为，无极大值综上，当时，无极值；当时，有极小值为，无极大值（2），因为函数在上单调递增，所以，化简得在上恒成立，令，即在上单调递减又，所以综上【点睛】本题考查了利用导数判断函数的单调性与极值，分离参数法与构造函数法求参数的取值范围，分类讨论思想的综合应用，属于中档题.专心-专注-专业