第二节可分离变量的微分方程(共8页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上第二节 可分离变量的微分方程教学目的：熟练掌握可分离变量的微分方程的解法教学重点：可分离变量的微分方程的解法教学难点：可分离变量的微分方程的解法教学内容：本节开始,我们讨论一阶微分方程 (1)的一些解法.一阶微分方程有时也写成如下的对称形式: (2)在方程(2)中,变量与对称,它既可以看作是以为自变量、为未知函数的方程 ,也可看作是以为自变量、为未知函数的方程 ,在第一节的例1中，我们遇到一阶微分方程，或 把上式两端积分就得到这个方程的通解：。但是并不是所有的一阶微分方程都能这样求解。例如，对于一阶微分方程 （3）就不能像上面那样直接两端用积分的方法求出它的通解。原因

2、是方程（3）的右端含有未知函数积分求不出来。为了解决这个困难，在方程（3）的两端同时乘以，使方程（3）变为，这样，变量与已分离在等式的两端，然后两端积分得或 （4）其中C是任意常数。可以验证，函数（4）确实满足一阶微分方程（3），且含有一个任意常数，所以它是方程（3）的通解。一般地，如果一个一阶微分方程能写成 （5）的形式，就是说，能把微分方程写成一端只含的函数和，另一端只含的函数和，那么原方程就称为可分离变量的微分方程。假定方程（5）中的函数和是连续的，设是方程的解，将它代入（5）中得到恒等式将上式两端积分，并由引进变量，得设及依次为和的原函数，于是有 （6）因此，方程（5）满足关系式（6）

3、。反之，如果是由关系到式（6）所确定的隐函数 ，那么在的条件下，也是方程（5）的解。事实上，由隐函数的求导法可知，当时，这就表示函数满足方程（5）。所以如果已分离变量的方程（5）中和是连续的，且，那么（5）式两端积分后得到的关系式（6），就用隐式给出了方程（5）的解，（6）式就叫做微分方程（5）的隐式解。又由于关系式（6）中含有任意常数，因此（6）式所确定的隐函数是方程（5）的通解，所以（6）式叫做微分方程（5）的隐式通解。例1 求微分方程 （7）的通解。解 方程（7）是可分离变量的，分离变量后得两端积分 得 从而 。又因为仍是任意常数，把它记作C便得到方程（7）的通解。例2 放射性元素铀由于

4、不断地有原子放射出微粒子而变成其它元素，铀的含量就不断减少，这种现象叫做衰变。由原子物理学知道，铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M成正比。已知时铀的含量为，求在衰变过程中含量随时间变化的规律。解 铀的衰变速度就是对时间的导数。由于铀的衰变速度与其含量成正比，得到微分方程如下 （8）其中是常数，叫做衰变系数。前的负号是指由于当增加时M单调减少，即的缘故。由题易知，初始条件为 方程（8）是可以分离变量的，分离后得 两端积分 以表示任意常数，因为，得即 是方程（8）的通解。以初始条件代入上式，解得故得 由此可见，铀的含量随时间的增加而按指数规律衰落减。例3设降落伞从跳伞塔下落后，所受空气阻力与速

5、度成正比，设降落伞离开跳伞塔时（）速度为零，求降落伞下落速度与时间的函数关系解设降落伞下落速度为，降落伞在空中下落时，同时受到重力与阻力的作用重力大小为，方向与一致；阻力大小为（为比例系数），方向与相反，从而降落伞所受外力为根据牛顿第二运动定律（其中为加速度）得函数应满足的方程为（）按题意，初始条件为方程（）分离变量后得两端积分得 （10）将初始条件代入（10）式得于是所求的特解为专心-专注-专业例4 有高1cm 的半球形容器，水从它的底部小孔流出，小孔横截面面积为1cm(图12-1)。开始时容器内盛满了水，求水从小孔流出过程中容器里水面的高度（水面与孔 口中心间的距离）随时间变化的规律。解

6、由水力学知道，水从孔口流出的流量（即通过孔口横截面的水的体积对时间的变化率）可用下列公式计算： 其中0.62 为流量系数，为孔口横截面面积，为重力加速度，现在孔口横截面面积，故或 （9） 另一方面，设在微小时间间隔内，水面高度由降至，则又可得到 （10）其中是时刻的水面半径(图123)，右端置负号是由于，而的缘故。又因所以（10）式变成 。 （11）比较（9）和（11）两式，得 （12）这就是未知函数应满足得微分方程。此外，开始时容器内的水是满的，所以未知函数还应满足下列初始条件：。 （13）方程（13）是可分离变量的。分离变量后得两端积分，得即 （14）其中是任意常数。把初始条件（13）代入（14）式，得因此把所得的值代入（14）式并化简，就得。 补充例题 1.求方程的所有解解 变量分离得两边积分得 通解为 此外，还有解y=0无论C取怎样的常数，解y=0均不能由通解表达式y=得出,即直线y=0(x轴)虽然是原方程的一条积分曲线，但它并不属于这方程的通解所确定的积分曲线族y= (抛物线)内，称这样的解为方程的奇解 2.解 分离变量，得所以代入初始条件，得C=0，故所求特解为小结与思考：可分离变量方程的解法为变量分离后再积分。 应用微分方程解决综合型问题的方法和思路是怎样的和思路是怎样的？作业：作业见作业