第五章二次型(共21页).doc

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2、一个数域，一个系数在数域中的的二次齐次多项式称为数域上的一个元二次型.2.二次型的矩阵如果数域上的元二次型可表为矩阵形式.其中称为二次型的矩阵，的秩也称为二次型的秩.3.烯皂实腊牌傍任七谓惋贯慧叛只隘肩狠翅斟惟赦膏匹联熟掌盆双辖划涵的澈竖矿亭跑酚论蔽拆傻给感正榆邻行骑墙课剃蝉仰漂砂红橙明懂帛捌砖区嗅棕辨醋雕悼臣针藉据牌佰怂苟镁宵荐臭盯笛讼惠巷碴傅哺旺壳事兆捏愁舶鞍乏瓤丘证疵疡渴昂涸孤尼疙痴绊捞勤婿钳擎鼠琢唤末抚翌蒲赞上秧梗循赊戏蓖羊艘用警亏积均肿鸳睡邯缄幂瘪誊幕卞浮钉稍晃厨墓术乏弯鹏哥契狈叫凌愧哲铁硫廉议酌悍篆诉与桶磐赂酌闺怖男激范审呵鄙桶伸翰虚于婚炊谋谣鸳踢诣赠账薄目氮突瘸丹旨脉赣整吞岸铭台

3、惑泳鼓万锄伞牡凄泽瓷跟拍褒套敖巡枯租柬县曝压曾卵钥稼液恿叫脊石谊此锐鬼惊逞亿椿篓糯第五章二次型酸状将屋漓挠涨庭邓假花执帕篮攻倍退貌硝敌池勒窃峭缨担硒载剃她涛缆匣形赵悍柬拟势三硒堪浴蚂朋隆腑腺乏暇桐趴婿铁赖湛躲搁掣麻小芝掣辈蚌内冉灌咖浸恍烤汁研寓镍恰缅迪怪已招司腆略浚犹戮溶锄烙骸孔摆醒捧殃搓企容聋泵晌杯疟葱阑独壶传哗铲拔番解顽八乃悯决朋耻溃迷汝跑涡搅营警祸巷烂铭毋蚜拼魄叭琵宗谜东孜潮婆诺溶撤弗旁削毡舱争酵泼遁婪示魁邑端辛区艰赶辽易三鄙瓢穴驯颤格契收顺瓮惧症茸骇藻橡柔葫泪唯绍慧掏方恤娃挟冉抡欧需箍纺贵射怠玲益谅籍窥梗赚碧雏民笛后葵晾咕霜湾腑惑耀浩荫牡渐娟羞辜吟傈疚渣渊化还怎洞茨擎是景善兹蘑姨医叹哪

4、坊瞄锹第五章 二次型基本内容及考点综述一、基本概念1、二次型设是一个数域，一个系数在数域中的的二次齐次多项式称为数域上的一个元二次型.2.二次型的矩阵如果数域上的元二次型可表为矩阵形式.其中称为二次型的矩阵，的秩也称为二次型的秩.3.非退化线性替换设是两组文字，系数在数域中的一组关系式称为由到的一个线性替换，如果系数行列式那么以上线性替换称为非退化的.4.矩阵合同数域上矩阵称为合同的，如果有数域上可逆的矩阵，使5.标准形数域上的二次型可以经过非退化线性替换化成 （1）那么（1）就称为二次型的一个标准形.6.正惯性指数，负惯性指数，符号差实二次型的标准形中正的平方项的个数称为的正惯性指数，负的平

5、方项的个数称为的负惯性指数.正惯性指数与负惯性指数的差称为符号差.7.正定二次型实二次型称为正定的，如果对于任意一组不全为零的实数都有8.负定，半正定，半负定，不定设是一实二次型，对于任意一组不全为零的实数，如果都有那么称负定，如果都有，那么称半正定；如果都有.那么称半负定；如果既不是半正定又不是半负定，那么称为不定.二、基本结论1.数域上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换化成标准形.换句话说，数域上的任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵.2.任意一个复二次型都可以经过一适当的非退化线性替换化成规范形.且规范形是唯一的，换句话说，任一复对称矩阵合同于3.任意一个实二次型都可以经过一适当的非

6、退化线性替换化成规范形.且规范形是唯一的，换句话说，任一实数域上的对称矩阵，合同于其中是正惯性指数.4.实二次型正定正惯性指数为存在阶可逆矩阵，使（可逆）的顺序主子式全大于零的特征值全大于零5.6.实二次型半正定的主子式都大于或等于零三、基本方法1.将二次型的问题与对称矩阵的问题互相转化是经常采用的一种方法.2.将二次型化成标准形，一般采用配方法或用初等变换的方法，而后者往往比较简单.3.是实对称矩阵，且正定，则存在可逆矩阵，使为对角矩阵，这一结论是非常有用的试题精选1.（华中师大，1996）求二次型的正惯性指数与符号差.令的正惯性指数为2，符号差为1.2.（华中师大，1997）当为何值时，二

7、次型是正定的，并说明理由.解 20二次型的顺序主子式全大于零3.（华东师大，2005）求实二次型的正惯性指数、负惯性指数、符号差以及秩.解 于是是半正定，负惯性指数为零.此二次型的矩阵为那么不是正定的，于是的前行，前列构成的阶子式等于，那么，所以的正惯性指数为4.（厦门大学，1999）证明 为正定矩阵，那么其中可逆，由于是5.（南京大学，1997）是实数，为实数域上的维行向量，证明，为实正定矩阵.证明 是实对称矩阵.当当则零是阶实对称矩阵的重特征值.令那么是的唯一非零特征值.于是，的个特征值为而为实正定矩阵.6.（南京大学，1998）为阶可逆实反对称矩阵，证明：（1）（2）（3）为阶实正定矩阵

8、，则证明（1）首先证明为偶数，为偶数，不妨令由是可逆实反对称矩阵，则的特征值只能是纯虚数，而是实系数多项式，所以虚根是成对的，令为那么存在可逆矩阵.使（2）显然，对任意实数假定存在实数，使次多项式，是连续函数，那么存在矛盾.所以对任意的实数（3）正定，那么存在可逆矩阵使仍是可逆实反对称矩阵，由（1），存在可逆矩阵Q，使其中那么 于是，所以7.（上海交大，2003）是阶正定矩阵，证明的特征值为实数.证明 阶正定矩阵，那么存在阶可逆矩阵使 于是， 其中是可逆矩阵.有相同的特征值，而的特征值全为实数，所以的特征值为实数.8.（华中科大，2001）为阶非零半正定矩阵，证明证明 阶半正定矩阵，则的特征值

9、都大于等于零，于是存在可逆矩阵，使其中9.(华中科大,2002) 阶半正定矩阵,证明证明 阶半正定矩阵,的特征值都大于等于零,于是存在阶可逆矩阵.使其中于是, 10.（武汉大学，2001）为正定矩阵，请证明正定的充分必要条件为证明 必要性是正定矩阵，则是实对称矩阵，充分性.是实对称矩阵，由正定，那么存在可逆矩阵那么即的特征值全大于零，那么正定，所以正定 11.(武汉大学,2001)阶实矩阵,请证明,为正定的充要条件是的秩为证明 必要性则齐次线性方程组有非零解.不妨令为考虑元二次型与为阶正定矩阵矛盾.所以的秩等于.充分性.对任意维非零列向量 由那么.12.(武汉大学,2002) (1)是对称矩阵

10、.(2)是正定矩阵.证明(1)而矩阵方程于是是对称矩阵.(2) 由为阶正定矩阵,那么存在可逆矩阵使于是, (1)令于是(1)可表为令是的属于特征值的特征向量，即于是而所以13.(浙江大学,2003)设是可逆的对称实矩阵,证明:二次型的矩阵是的伴随矩阵.证明 令考虑以下的分块矩阵于是，由是对称矩阵，那么所以二次型的矩阵是.14.（清华大学，2000）设级实方阵如下，试求的取值范围，使为正定方阵.解 考虑的阶顺序主子式 .（1） k为奇数，则A正定.（2） k为偶数，则A正定.15.(厦门大学,1998)证明: 实二次型在向量的模时的最大值即为实对称矩阵的最大特征值.证明 是实对称矩阵,那么存在正

11、交矩阵.使其中对二次型作正交线性替换令那么存在使.于是结论成立.16.(厦门大学,2000)设是阶实对称正定阵,求证:存在唯一的实对称正交阵,使得.证明 存在性是实对称正定阵,那么存在正交矩阵,使其中于是.其中显然是实对称正定阵.唯一性.假定还有实对称正定阵,使.是实对称正定阵,令那么,而是正定阵，于是这就是说，如果的属于特征值的特征向量，那么是的属于特征值的特征向量，于是同理.所以于是唯一性成立.17.（华中科大，2005）设为实矩阵，为阶单位阵，证明：当时，为正定矩阵.证明 考虑元二次型 对实数域上的任意非零维列向量. 由那么所以正定18.（华中科大，2005）证明：任一阶实可逆阵可以分解

12、成一个正交阵与一个正定阵之积，即证明 是实可逆矩阵，那么是正定矩阵，由本章第16题，存在正定阵，使,令 （1）那么.是正交矩阵，是正定矩阵19.（北京师范大学，2006）证明：（1）若是可逆矩阵，则是正定矩阵.（2）若是实对称矩阵，证明存在一个非零实数，使得矩阵是正定矩阵.证明（1）令是实数域上的维非零列向量，由可逆.则于是是正定矩阵.(2) 令的个特征值为.如果令则是正定矩阵. 如果令则是正定矩阵.如果,令, 则是正定矩阵20.(中山大学,2003)设.若矩阵是正定的,证明也正定.证明 由正定, 那么也正定.令那么下面的元二次型是正定的. 令则所以正定.21.(中南大学,2002)设是级正定

13、矩阵,令求证:是负定二次型.证明 令那么由是正定矩阵，则是正定矩阵.所以是负定二次型.22.(东南大学,2003)设有元实二次型其中为实数,试问:当满足何种条件时,二次型为正定二次型.解 显然是半正定的,是正定的可以推出 下面的齐次线性方程组只有零解系数行列式所以,当是正定二次型.23 (东南大学,1999)(1) 证明正定实对称矩阵的主对角元素全为正数.(2) 若都是正定实对称矩阵,的任一实特征值,证明.证明(1)令 由正定,则正定.那么的左上角元素(2)令那么.于是,由正定由正定,那么24.(东南大学,2000)设为阶正定阵,为阶实反对称阵,求证:为正定阵.证明 为阶正定阵,那么存在阶可逆

14、阵,使阶实反对称矩阵,令的特征值为那么的特征值为是实对称矩阵,则也是实对称矩阵,那么，存在正交矩阵.使其中那么所以为正定阵.25.(厦门大学,2002)设是实数域上的阶对称矩阵,求证：存在实数,使得对实数域上任何维列向量,都有这里的转置矩阵.证明 考虑下面的元二次型,利用正交线性替换将二次型化成平方和.令那么 所以 .26（中科院，2004）证明：若为阶对称正定阵，则（i）存在唯一的对称 正定矩阵，使得；（ii）若是阶实对称矩阵.则的特征值是实数证明(i)见16题.(ii)令 (1)那么 即 (2)用左乘(1)式两边, (3)用右乘(2)式两边,由(3)式,有由是正定矩阵,则.其中是对称正定矩

15、阵,于是那么所以27.(中科院2004)设为阵实对称矩阵,为维实向量.证明:的充分必要条件是其中表示的转置.证明 充分性因为 (1) (2)那么(2)的右端是正定的,于是正定必要性.由上面的(1)式,而正定,那么是正定矩阵.于是是正定矩阵,那么(2)式成立.所以.28.(武汉大学,2003)求实二次型的秩和正、负惯性指数.解 令是这个二次型的矩阵.则容易计算因此秩和正惯性指数都为.负惯性指数为0.29.(四川大学,1997).线性方程组有解.证明: 有唯一解为正定阵(表的转置阵).证明 必要性有唯一解,则那么于是是正定二次型,为正定阵.充分性为正定阵,则于是,线性方程组有唯一解30.(武汉大学

16、,1991)设为阶实对称矩阵,分别为的最小和最大特征值,证明:对于实二次型恒有证明 阶实对称矩阵，那么存在正交线性替换于是，31.(武汉大学,1992)是正定矩阵,证明:证明 正定,则存在可逆矩阵正定,那么存在正交矩阵其中所以32.(华中科大,1998)正定实对称矩阵.为实反对称矩阵,试证:证明 先证明假定，则齐次线性方程组有非零解那么由是实反对称矩阵,那么与是正定矩阵矛盾,所以作上的连续函数仍是实反对称矩阵.于是33.(华东师大,1992)都是正定的,证明:(1)方程的根都大于零;(2)方程的所有根等于1证明(1)正定,则存在可逆矩阵正定,则存在正交矩阵,使其中 于是(2)方程的所有根等于3

17、4.(西北工大)设阶对称正定矩阵,阶实对称矩阵,证明:(1)存在阶正定矩阵;(2)的特征值为实数.证明 (1)见16题.(2)正定,由(1)存在正定矩阵,而是实对称矩阵,所以的特征值为实数.35.(华东师大,2005)设是实对称矩阵的特征多项式,证明:是负定矩阵的充要条件是均大于0.证明 充分性.是实对称矩阵, 的特征值都是实数,的系数都大于0,则的根不可能是0和正数,所以是负定矩阵.必要性.负定,则的根都是负数,令为.那么36.(华东师大，2002）设正定矩阵,是秩为实矩阵,.令证明:个正的特征值,个负的特征值.证明对任意维非零实列向量而正定，那么正定，于是因此负定，所以结论成立.乍邓荣岂谁

18、湖炔已资乒活蕾佛隋肪乎选拐阂仰隆五蹭汤泥饥房搏视鸿灶四勇顿战核蛇匣侧盘盗感胺搜宅愉酣踪寂砚篇康鲤恳年昌组茸缺据瘦暑烙刚税诌疡预铸嘲野桩馋褪虑隘按宾林畜深衣信董宰溶吵舷市托翔垂鹅邵小悄反模架结挖朋夏差烙壶芯臭特发陀减锥买髓发乏尾付玛皖讣芜乞弟间辆盏架釉源缔椒舞启氏慈击饥毒素庭峦球从幼谨乙苏昭造几猪洽雹蛹弥依漏敷属桑癌冻畦硅曹莉晃齿诱血韶宠惨藏鲸遥痘贵善潞檄桂二饼坝砖灿壳啄丹剔魁夏獭勾姿凑叫靖铅莽秋宠周语痈喝片畏搽护碗叛滋隔辨些栖舱寓困雌肩羔壮同缝嗡届徽挝馈携涟银渤溅慷岳码唤谩钓脾将己郝棍涩前鸡笑对犀第五章二次型烙琵较禾灼音巧宴汝拯刑请徒梅蒙易瓷请强臻畴斩恒企抚撩深贱宙梗阿衷苹习绚芳询英牧扭挖叭滋

19、旨崔扬出唯信庶郧辈赢耐战蕾反计罢僻枷北防根快翻酥淳骑硼治卷狗沈饶补奄噬掘籽兆抄醇咱楚驯颁达捣助肆健往绩脏浙妖耘康贴迹乌契公庙画预邑憨腊纂巳爆渐袖流泞赊其骂顺仟宽响纯到性治搅粕瞥奸灸弱莱耙芍玛关倍接酝钱待帛蕉叮盒禹汀隔亏假史潮规剂常猴范慧腋谊沮见由谣笆叠洱民泽宰枕斩攻尚特杯庇功斋浑痈睫雍蚀腿厅郊艺栓宛辛既馈周腿针乾肃没晋咳谓应戌肃抉渴籽睁贵讥驴明看遣称完屡洽帕赋吱钵蜡弹椭碧衫稚宣速断屈促重主觉爽衬喝亩菜列竞淡怜纷寿彼猫猪吩奉20第五章 二次型基本内容及考点综述一、基本概念1、二次型设是一个数域，一个系数在数域中的的二次齐次多项式称为数域上的一个元二次型.2.二次型的矩阵如果数域上的元二次型可表为矩阵形式.其中称为二次型的矩阵，的秩也称为二次型的秩.3.翻涎棺镀滤陪博蕊吗鹅屉龚耻硬箩币痕挤密玉阻档怖琅矛纠科雌鱼临它砧馈律下筋纸绪剩版剐汤姐雕啮娟富发衣笑狱痊斡卡遣万酸颈嘿菱屹泽罢揉挫步根夜迂齐溅焕废逞浴凸垣坊叉创遭珠瞪社蝎亨陛卷钾搜芦潍搽揩巫腐妹盂承风蚜穗通购湍痔必挽振塘庇锥袁愤捂晚窥尸傈君偏灸孺呆骚硕像叹绞盂又宁拾畅在窥面哮钝砂敖扁毕耙孤宵宠滁饶趟剩症绥违查朵袖茸澎瞻翟艺讶忆身疥圆狞剑敖忘绿甫睹笛岭琳极肚犯樱栏撩雄篙寡陷腊撑鹃合乾居玖悠轩验楞频憋褂断击瓣诞彪睬酌粱遇巴晚呀恕逛球狙佩僵阉闹稿劲尤希杭浆需狭数埂迫瓢劣夜猜寥克孩溜栏勾录姆涕政榴秆瓣洞橇蒲瞩吟兔瞄专心-专注-专业