《概率论与数理统计》习题及答案--第三章(共15页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上概率论与数理统计习题及答案第三章 1掷一枚非均质的硬币，出现正面的概率为，若以表示直至掷到正、反面都出现时为止所需投掷次数，求的分布列。 解 表示事件：前次出现正面，第次出现反面，或前次出现反面，第次出现正面，所以 2袋中有个黑球个白球，从袋中任意取出个球，求个球中黑球个数的分布列。 解 从个球中任取个球共有种取法，个球中有个黑球的取法有，所以的分布列为 ， 此乃因为，如果，则个球中可以全是白球，没有黑球，即；如果则个球中至少有个黑球，此时应从开始。 3一实习生用一台机器接连生产了三个同种零件，第个零件是不合格品的概率，以表示三个零件中合格品的个数，求的分布列。 解

2、设第个零件是合格品。则 ， ， ， .即的分布列为 . 4一汽车沿一街道行驶，需通过三个设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且每一信号灯红绿两种信号显示的概率均为，以表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数，求的概率分布。 解 (第一个路口即为红灯), (第一个路口为绿灯，第二个路口为红灯)，依此类推，得的分布列为 . 5将一枚硬币连掷次，以表示这次中出现正面的次数，求的分布列。 解 为重贝努里试验中成功出现的次数，故，的分布列为 6一电话交换台每分钟接到的呼叫次数服从参数为4的泊松分布，求（1）每分钟恰有8次呼叫的概率；（2）每分钟的呼叫次数大于10的概率

3、。 解 设为每分钟接到的呼叫次数，则 （1） （2） 7某商店每月销售某种商品的数量服从参数为5的泊松分布，问在月初至少库存多少此种商品，才能保证当月不脱销的概率为0.99977以上。 解 设为该商品的销售量，为库存量，由题意 即 查泊松分布表知，故月初要库存14件以上，才能保证当月不脱销的概率在0.99977以上。 8已知离散型随机变量的分布列为：，试写出的分布函数。 解 的分布列为 所以的分布函数为 9设随机变量的概率密度为 求：（1）常数；（2）使成立的. 解 （1），； （2）， 可见 ， 。 10设随机变量的分布函数为 ，求：（1）系数与；（2）；（3）的概率密度。 解 （1）由分布

4、函数的性质 于是 ，所以的分布函数为 ， （2）； （3）的概率密度为， . 11已知随机变量的概率密度为，.求的分布函数. 解 12设随机变量的概率密度为 求的分布函数. 解 的图形为 的分布函数为 012x(1，1)f(x) 13设电子管寿命的概率密度为若一架收音机上装有三个这种管子，求（1）使用的最初150小时内，至少有两个电了管被烧坏的概率；（2）在使用的最初150小时内烧坏的电子管数的分布列；（3）的分布函数。 解 为在使用的最初150小时内烧坏的电子管数，其中 ， （1）所求概率为 ； （2）的分布列为，即 . （3）的分布函数为 14设随机变量的概率密度为 现对进行次独立重复观测

5、，以表示观测值不大于0.1的观测次数，试求随机变量的概率分布。 解 ，其中 ，所以的概率分布列为 . 15设随机变量，求方程有实根的概率. 解 设方程有实根，则 发生 即 ，因，所以 发生所以 . 16设随机变量，现对进行3次独立观测，试求至少有两次观测值大于3的概率. 解 设为三次观测中，观测值大于3的观测次数，则，其中 ，所求概率为. 17设顾客在某银行窗口等待服务的时间（单位：分），服从参数为的指数分布。若等待时间超过10分钟，则他就离开。设他一个月内要来银行5次，以表示一个月内他没有等到服务而离开窗口的次数，求的分布列及。 解 由题意，其中 ，于是的分布为 . 18一大型设备在任何长为

6、的时间内发生故障的次数服从参数为的泊松分布。（1）求相继两次故障之间时间间隔的概率分布；（2）求在设备已经无故障工作了8小时的情况下，再无故障运行8小时的概率。 解 （1）设的分布函数为，则 事件表示两次故障的间隔时间超过，也就是说在时间内没有发生故障，故，于是，可见，的分布函数为 即服从参数为的指数分布。 （2）所求概率为. 19设随机变量。求 （1）；（2）常数，使； （3）常数，使。 解 （1） ； （2），查表知 ，所以； （3） 所以 ，查正态分布表知 ，故 。 20设随机变量，且，求。 解 ，所以 ，。 21某地抽样结果表明，考生的外语成绩（百分制）近似服从正态分布，平均成绩（即参

7、数之值）为72分，96分以上的占考生总数的2.3%，试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率。 解 所求概率为 22假设测量的随机误差，试求在100次重复测量中，至少有三次测量误差的绝对值大于19.6的概率，并利用泊松分布求出的近似值。 解 设为误差的绝对值大于19.6的测量次数，则，其中 ，所求概率为利用泊松定理. 23在电源电压不超过，在和超过三种情况下，某种电子元件，损坏的概率分别为0.1，0.001和0.2，假设电源电压服从正态分布，试求：（1）该电子元件损坏的概率；（2）该电子元件损坏时，电源电压在的概率。 解 设电子元件损坏，电源电压在第档，则 （1） （2）. 24假设随机变

8、量的绝对值不大于1；，在事件出现的条件下，在内任意子区间上取值的概率与该子区间的长度成正比。试求：（1）的分布函数；（2）取负值的概率. 解1 设的分布函数为，则 当 时，且， 当 时， ， 当 时，由题意 ，而 ，所以 。于是 此时 ，故的分布函数为 （2）. 解2 设的分布函数为，则 当 时， 且 当 时， 当时，设，且，由题意 ，即 由此得 ，两边同除以得 令取极限得 两边积分得 ，由及得 解之得 故 ，综上所述，的分布函数为 （2） 25已知离散型随机变量的分布列为 求的分布列. 解 的分布列为 . 26设随机变量的概率密度为 求的概率密度 解1 当时函数单调增，反函数为，于是的概率密

9、度为 解2 设的分布函数为，则 27设随机变量的概率密度为 求随机变量的概率密度 解1 函数严格单调，反函数为，则 解2 设的分布函数为，则 ，所以。 28设，求（1）的概率密度；（2）的概率密度。 解 的密度为 （1）在上单调增，反函数为，所以的密度为 （2）在上单调减，反函数为，所以的密度为 29设，求的概率密度。 解1 函数在上单调减，反函数为， 在上单调增，反函数为，所以的密度为 即 30设随机变量服从参数为2的指数分布，试证在区间上服从均匀分布。 证 只须证明的分布函数为 31设随机变量的概率密度为 求的概率密度. 解1 函数在上单调增，反函数为 在上单调减，反函数为.的概率密度为： 解2 设的分布函数为，则 所以 32设随机变量的分布函数连续，且严格单调增加，求的概率密度. 解 设的分布函数为，则 ，当时，当时，故 于是的概率密度为 专心-专注-专业