2022年关于高等数学复习题及答案.pdf

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1、精品 word ，欢迎共阅高等数学期末试卷一、填空题（每题2 分，共 30 分）1函数1142xxy的定义域是. 解. ),22,(。2若函数52) 1(2xxxf，则)(xf解. 62x3_sinlimxxxx答案： 1 正确解法：101sinlim1lim)sin1(limsinlimxxxxxxxxxxx4. 已知22lim222xxbaxxx，则a_, b_。由所给极限存在知, 024ba, 得42ab, 又由23412lim2lim2222axaxxxbaxxxx, 知8,2 ba5. 已知) 1)(lim0 xaxbexx，则a_, b_。) 1)(lim0 xaxbexx, 即0

2、1)1)(lim0babexaxxx, 1,0 ba6函数0101sin)(xxxxxxf的间断点是x。解：由)(xf是分段函数，0 x是)(xf的分段点，考虑函数在0 x处的连续性。因为1)0(1)1(lim01sinlim00fxxxxx所以函数)(xf在0 x处是间断的，又)(xf在)0,(和),0(都是连续的，故函数)(xf的间断点是0 x。7. 设nxxxxy21, 则1ny(1)!n82)(xxf，则_)1)(xff。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 9 页 - -

3、- - - - - - - - 精品 word ，欢迎共阅答案：2) 12( x或1442xx9函数)1ln(4222yxyxz的定义域为。解：函数z 的定义域为满足下列不等式的点集。1040141101042222222222222yxxyyxyxxyyxyxyxz 的定义域为：10|),(22yxyx且xy42 10已知22),(xyyxyxyxf,则),(yxf. 解令xyu， xyv ，则,22uvuvxy，()()()f xyxyxy xy)(4222),(22vuuuvuvuvuf，22( , )()4xf x yxy11设22),(yxxxyyxf,则) 1 ,0(xf。)1 ,

4、0(yf( 0 , 1 )00f2000(,1)(0,1)1(0,1)limlim2xxxxxfxfxfxx00(0,1)(0,1)00(0,1)limlim0yyyfyffyy。12 设,cos,sin32tytxyxz则tzdd。解22 sin3cosdzxttydt13.dxxfdddxd)(. 解：由导数与积分互为逆运算得，)()(xfdxxfdddxd. 14. 设)(xf是连续函数，且xdttfx103)(，则)7(f . 解：两边对x求导得1)1(332xfx，令713x，得2x，所以12131)7(22xxf. 15若21de0 xkx，则_k。答案：)d(e1limde210

5、0kxkxbkxbkxkkkkkbbbkxb1e1lim1e1lim02k精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 精品 word ，欢迎共阅二、单项选择题（每题2 分，共 30 分）1函数)1,0(11)(aaaaxxfxx（）A. 是奇函数；B. 是偶函数；C.既奇函数又是偶函数；D.是非奇非偶函数。解：利用奇偶函数的定义进行验证。)(11)1()1 (11)()(xfaaxaaaaxaaxxfxxxxxxxx所以 B正确。2若函数22

6、1)1(xxxxf，则)(xf（）A.2x；B. 22x；C.2) 1(x；D. 12x。解：因为2)1(212122222xxxxxx，所以2)1()1(2xxxxf则2)(2xxf，故选项 B 正确。3设1)(xxf，则)1)(xff=（） A xBx + 1 Cx + 2Dx + 3 解由于1)(xxf，得) 1)(xff1)1)(xf2)(xf将1)(xxf代入，得)1)(xff=32)1(xx正确答案： D 4已知0)1(lim2baxxxx，其中a,b是常数，则（）(A) 1, 1 ba, (B) 1, 1 ba(C) 1, 1 ba(D) 1, 1 ba解. 011lim)1(l

7、im22xbxbaxabaxxxxx, 1,1,0,01babaa答案： C 5下列函数在指定的变化过程中，（）是无穷小量。A.e1xx,()；B.sin,()xxx；C. ln(),()11xx；D.xxx110,()解：无穷小量乘以有界变量仍为无穷小量，所以0sinlimxxx精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 精品 word ，欢迎共阅而 A, C, D 三个选项中的极限都不为0，故选项 B 正确。6下列函数中，在给定趋势下是无

8、界变量且为无穷大的函数是（）(A)(1sinxxxy; (B)(1nnyn; (C)0(lnxxy；(D)0(1cos1xxxy解. 111sinlim1sinlimxxxxxx, 故不选 (A). 取12km, 则0121limlim1knknn, 故不选 (B). 取21nxn, 则01cos1limnnnxx, 故不选 (D). 答案： C 7设0,0,1sin)(xxxxxxf，则)(xf在0 x处（）A连续且可导B连续但不可导C不连续但可导D既不连续又不可导解： （B）0lim)(lim00 xxfxx，01sinlim)(lim00 xxxfxx，0)0(f因此)(xf在0 x处连

9、续xxxxxfxffxxx1sinlim001sinlim0)0()(lim)0(000，此极限不存在从而)0(f不存在，故)0(f不存在8曲线xxy3在点（ 1，0）处的切线是（） A22xyB22xy C22xyD22xy解由导数的定义和它的几何意义可知，13)()1 (xxxy2)13(12xx是曲线xxy3在点（ 1，0）处的切线斜率，故切线方程是)1(20 xy，即22xy正确答案： A 9已知441xy，则y=（） 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 9 页 - - -

10、 - - - - - - - 精品 word ，欢迎共阅A .3xB.23xC.x6D. 6 解直接利用导数的公式计算：34)41(xxy, 233)(xxy正确答案： B10若xxf)1(，则)(xf（） 。Ax1B21xCx1D21x答案： D 先求出)(xf，再求其导数。1122lnyxz的定义域为（）A122yxB022yxC122yx D022yx解 z 的定义域为0),(22yxyx个，选 D。12.设函数项级数1)(nnxu，下列结论中正确的是( ). （A）若函数列)(xun定义在区间I上，则区间I为此级数的收敛区间（B）若)(xS为此级数的和函数，则余项)()()(xSxSx

11、rnn，0)(limxrnn（C）若Ix0使10)(nnxu收敛，则|0 xx所有x都使1)(nnxu收敛（D）若)(xS为此级数的和函数，则10)(nnxu必收敛于)(0 xS解：选（ B）. 13. 设0a为常数，则级数)cos1()1(1nann（）. （A）绝对收敛（B）条件收敛（C）发散（D）敛散性与a有关解：因为22222sin2)cos1()1(nananan，而1222nna收敛，因此原级数绝对收敛. 故选（A）. 14. 若级数1)()1(nnnnax在0 x时发散，在0 x处收敛，则常数a（） . （A）1 （B）-1 （C）2 （D）2 精品资料 - - - 欢迎下载 -

12、 - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 精品 word ，欢迎共阅解：由于1)() 1(nnnna收敛，由此知1a. 当11a时，由于1)() 1(nnnnax的收敛半径为1，因此该幂级数在区间) 1, 1(aa内收敛，特别地，在)1,0(a内收敛，此与幂级数在0 x时发散矛盾， 因此1a.故选（B）. 15.xeyyyx2cos52的特解可设为（）（A）;2cos*xAeyx（B）;2cos*xAxeyx（C）;2sin2cos*xBxAxeyx（D）.2sin2cos

13、*xBxAeyx解：C 三、解答题（任选4 题完成，每题10 分，共 40 分）1.设函数0sin001sin)(xxxxaxbxxxf问（ 1）ba,为何值时，)(xf在0 x处有极限存在？（2）ba,为何值时，)(xf在0 x处连续？解： （1）要)(xf在0 x处有极限存在，即要)(lim)(lim00 xfxfxx成立。因为bbxxxfxx)1sin(lim)(lim00所以，当1b时，有)(lim)(lim00 xfxfxx成立，即1b时，函数在0 x处有极限存在，又因为函数在某点处有极限与在该点处是否有定义无关，所以此时a可以取任意值。（2）依函数连续的定义知，函数在某点处连续的充

14、要条件是)()(lim)(lim000 xfxfxfxxxx于是有afb)0(1，即1ba时函数在0 x处连续。2求方程中y是x的隐函数的导数（1）1eeyxxy,y解：方程两边对自变量x求导，视y为中间变量，即1)e()e()(yxxy1sinlim)(lim00 xxxfxx精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 精品 word ，欢迎共阅0eeyyxyyxyyxxye)e(整理得yxxyyee（2）设)sin(yxy，求dxdy，2

15、2dxyd；解：)1()cos(yyxy)cos(1)cos(yxyxyyyxyyxy)cos()1 ()sin(2，33)cos(1)cos(1)sin(yxyyxyxy3设函数)(xf在0,1 上可导，且1)(0 xf，对于（ 0 ,1）内所有x 有, 1)( xf证明在（ 0,1）内有且只有一个数 x 使xxf)(. .)(,)1 ,0(, 1)(01)(0)(,),(, 1 ,0,0)()(,1 ,0)(.)(1 ,0,)()(21212121xxfxffFccRollecccFcFccxFxFxxfxF使内有且只有一个与题设矛盾，故在即使定理可得至少有由，即上存在两个零点在反设至少有

16、一个零点上用零点定理，得在设7.求函数12)1(xxy的单调区间和极值. 解 函数12)1(xxy的定义域是),1()1,(221)1)(1()1(2xxxxy22)1()1(2xxxx2)1()2(xxx令0)1()2(2xxxy，得驻点21x，02x)2,( - 2 ) 1, 2()0 , 1(0 ),0()(xf+ 0 - 0 + )(xf极大值极小值精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 精品 word ，欢迎共阅故函数的单调增加

17、区间是)2,(和),0(，单调减少区间是)1,2(及)0, 1(，当x- 2 时，极大值4)2(f；当x0 时，极小值0)0(f. 4求下列积分(1)xxd1131解：)1(23lim1311limd1limd132132131131bxxxxxbbbbb极限不存在，则积分发散. (2)222222ayxdyxa解222( , )f x yaxy是 D 上的半球面，由222dDIaxy的几何意义知I=V半球=323a(3) Dyd，D 由1,1,0 xyxyx的围成。解关于 x 轴对称，且( , )f x yy是关于 y 的奇函数，由 I 几何意义知，d0Dy。5判别级数nnnln1)1(2的

18、敛散性 . 如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛? 解：记)1ln(1)1(1nunn，则nnvnu11. 显见11nn去掉首项后所得级数1nnv仍是发散的，由比较法知1nnu发散，从而2nnu发散 . 又显见) 1ln(1)1(11nnn是 Leibniz 型级数，它收敛. 即nnnln1)1(2收敛，从而原级数条件收敛. 6求解微分方程(1) 0122ydydxyx的所有解 . 解 原方程可化为xdxyydy212， （当12y） ，两边积分得cxy221，即cyx221为通解。当12y时，即1y， 显然满足原方程， 所以原方程的全部解为cyx221及1y。(2) ;22yxyyx精品资料 -

19、 - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 精品 word ，欢迎共阅解 当0 x时，原方程可化为21xyxyy，令uxy，得xuy，原方程化为21uux，解之得cxulnarcsin；当0 x时，原方程可化为21xyxyy，类似地可解得cxulnarcsin。综合上述，有.0ln;0lnarcsinxcxxcxxy。(3) ;2sin21cosxxyy解 由公式得xxdxxdxcexcdxxeeysincoscos1sin2sin21。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - - -